2. Przekroje normalne i linia geodezyjna na powierzchni elipsoidy obrotowej, związki różniczkowe pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej.

Prowadząc przez normalną do elipsoidy w punkcie P pęk płaszczyzn otrzymamy przekroje normalne elipsoidy, czyli ślady przecięcia powierzchni elipsoidy z płaszczyznami przekroju.

Można znaleźć 2 wzajemnie prostopadłe przekroje normalne, których krzywe charakteryzują się ekstremalnymi parametrami krzywizn. Są to przekroje w kierunkach głównych:

1. przekrój podłużny główny – w kierunku południka geodezyjnego – promień minimalny M=min, a krzywizna maksymalna M^-1=max

2. przekrój poprzeczny główny – w kierunku wertykału prostopadłego do południka, zwanego pierwszym wertykałem – promień maksymalny N=max, krzywizna minimalna N^-1=min.

Promień przekroju normalnego w dowolnym azymucie:

Średni promień krzywizny w dowolnym azymucie:

Normalne do powierzchni elipsoidy obrotowej w punktach P1 i P2 są wichrowate, z wyjątkiem szczególnego wzajemnego usytuowania punktów (obydwa punkty znajdują się na tym samym południku lub równoleżniku). Zatem płaszczyzny przekrojów z P1 do P2 i z P2 do P1 (tzw. Wzajemnych przekrojów normalnych) i krzywe tych przekrojów z reguły nie pokrywają się. Linia łącząca jednoznacznie dwa punkty na elipsoidzie to linia geodezyjna, czyli najkrótsza odległość dwóch punktów na powierzchni.

Związki różniczkowe pierwszego rzędu dla linii geodezyjnej:

Równanie Clairauta linii geodezyjnej:

NcosBsinA=c=const

Równanie to wyraża własność linii geodezyjnej mówiącą o tym, że iloczyn promienia równoleżnika (p=NcosB) i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest wielkością stałą dla całej linii.

Różniczkując równanie Clairauta względem s otrzymamy trzecie równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Źródło: Czarnecki, rozdział 2.1.3 str. 34, rozdział 2.2.1 str. 40

20. Technologia pomiaru i opracowanie wyników pomiarów niwelacji precyzyjnej

Technologia pomiaru sieci niwelacyjnej

Sprawdzenie i rektyfikacja sprzętu w terenie

Sprawdzenie i rektyfikacja sprzętu powinny być przeprowadzone przed rozpoczęciem pomiarów w terenie, a w czasie pomiarów co dwa tygodnie. Sprawdzeniu i ew. rektyfikacji podlegają:

1. pionowość siatki kresek. Warunek ten sprawdza się celując dokładnie spoziomowanym niwelatorem na znajdującą się w odległości 15-20 m nić zawieszonego pionu.

2. stopka łaty. Sprawdzeniu podlega warunek prostopadłości płaszczyzny stopki łaty do osi podziału łaty i warunek różnicy zer (w) łat tworzących parę, który ma postać |w| 0,2 mm.. Warunki te sprawdza się za pomocą niwelatora i łaty znajdującej się w odległości 15-20 m. Łaty stawia się kolejno na klinie różnymi częściami stopki wg ustalonego schematu. Obserwacje obu łat wykonywane są w dwóch seriach w kolejności: łata 1 – 1 seria, łata 2 – 1 i 2 seria, łata 1 – 2 seria. Jeśli różnica między skrajnymi wartościami średnich odczytów z dwóch serii dla różnych ustawień stopki jednej łaty zawiera się w granicach 0,25 – 0,50 mm, łatę wykorzystuje się tylko łącznie z podkładką (ostrogą). Przy różnicach większych niż 0,5 mm, łaty nie używa się do pomiarów precyzyjnych. Nie używa się również pary łat, dla której różnica zer, wyznaczona jako różnica średnich z obu serii, nie spełnia warunku |w| 0,2 mm.

3. błędy systematyczne kompensatora. Sprawdzenie poprawnego działania kompensatora wykonuje się na 40 metrowej bazie. Na stabilnie ustawionym pośrodku bazy instrumencie, tak aby jedna ze śrub ustawczych skierowana była na łatę, wykonuje się trzykrotny pomiar przewyższenia po doprowadzeniu pęcherzyka stycznie do okręgu wytrawionego na ampułce libeli pudełkowej, kolejno do przodu, do tyłu, w prawo i w lewo względem położenia wyjściowego. Serię obserwacji zamyka się trzykrotnym pomiarem przewyższenia przy wyjściowym położeniu pęcherzyka libeli. Jeśli różnice między poszczególnymi średnimi przewyższeniami przy ekscentrycznych położeniach pęcherzyka a średnim przewyższeniem, wyznaczonym przy centralnym położeniu pęcherzyka są większe od 0,1 mm, co odpowiada 0”,5, to należy uznać, że działanie kompensatora obarczone jest błędami systematycznymi. Jeśli wartość ta przekracza 0,2 mm, to system kompensacyjny naley poddać justowaniu.

Codziennie przed pomiarem należy sprawdzić:

• Sprawność działania śrub i pokręteł niwelatora

• Libelę pudełkową

• Powierzchnie sferyczne klinów

• Naciąg taśm inwarowych

• Libele pudełkowe na łatach. Prostopadłość płaszczyzny libeli pudełkowej do osi podziału na taśmie inwarowej łaty sprawdza się za pomocą siatki krzyża kresek niwelatora. Obraz pionowej nitki siatki kresek porównuje się z obrazem krawędzi spoziomowanej łaty ustawionej w odległości 40-60m . błąd ten usuwa się kolejno dla dwóch płaszczyzn za pomocą śrubek rektyfikacyjnych libeli na łacie.

• Nachylenie quasihoryzontu – w granicach ±5”. Sprawdza się przez dwukrotne wyznaczenie przewyższenia, raz ze stanowiska instrumentu na środku (obie celowe o długości po 20 m), a drugi raz ze stanowiska mimośrodowego (celowe o długości 8m i 32m). Różnica ∆ między przewyższeniem wyznaczonym ze stanowiska na środku i ze stanowiska mimośrodowego nie powinna przekraczać 0,5 mm. Rektyfikację wykonuje się przez obrót płytki klinowej na odpowiednią kreskę podziału łaty, po ustawieniu odczytu na mikrometrze, lub przez przesunięcie siatki kresek na odpowiednią kreskę podziału łaty, po ustawieniu odczytu na mikrometrze. We współcześnie używanych niwelatorach kodowych istnieje oprogramowanie, które po sprawdzeniu nachylenia quasihoryzontu automatycznie poprawia odczyty.

Zasady obserwacji i obchodzenia się ze sprzętem niwelacyjnym

• Wyłącznie w odpowiednich warunkach atmosferycznych (temp. Od 0 do 25 stopni, wiatr o prędkości mniejszej niż 6m/s). najlepiej przy zachmurzonym niebie, w dni pochmurne przez cały dzień, w dni słoneczne w godzinach rannych i popołudniowych. Nie wykonuje się pomiarów niwelacyjnych w okresie wyraźnego występowania refrakcji.

• Przystosowanie sprzętu niwelacyjnego do temperatury i warunków otoczenia (czas przystosowania sprzętu do warunków otoczenia, wyrażony w minutach powinien być równy podwójnej różnicy między temperaturą otoczenia i aktualną temperaturą sprzętu, wyrażonej w stopniach Celsjusza.

• Statyw ustawia się na poboczu, na twardym gruncie, nie na asfalcie

• Łaty ustawia się na stalowych klinach lub na żabkach

• Kliny wbija się w zwarte podłoże na ok. 5 min przed pomiarem

• Unika się celowych przebiegających blisko obiektów wydzielających ciepło lub wilgoć

• Niwelator przenosi się ze stanowiska na stanowisko na statywie w prawie pionowym położeniu

• Przed ustawieniem łaty na reperze zdejmuje się z niej ostrogę. Staranne pionowanie łaty, niedopuszczalne opieranie się na podpórkach lub zostawianie łaty podpartej i opuszczanie stanowiska.

• W czasie pomiaru i przenoszenia łat nie można dotykać taśmy inwarowej

• Długość celowej 5-35 m

• Różnica długości celowych max. 0,5 m

• Celowa na wysokośći 1,5 m nad powierzchnią terenu, w trudnych warunkach nie niżej niż 0,8 m (dla krótkich celowych dopuszcza się 0,5 m)

• Kolejność obserwacji łat i ich podziałów: wstecz 1, wstecz 2, w przód 1, w przód 2 lub wstecz1, przód 1, przód 2, wstecz 2.

• Poziomowanie za pomocą libeli pudełkowej – na stanowisku nieparzystym przy lunecie skierowanej na łatę wstecz, na stanowisku parzystym na łatę wprzód

• Różnica n między dwoma wyznaczonymi przewyższeniami nie może być większa niż 0,16mm dla celowych krótszych od 20 m i 0,20mm dla celowych dłuższych od 20 m. w przypadku otrzymania wartości większej powtarza się pomiar na danym stanowisku.

• Parzysta liczba stanowisk

• Sprawdzanie prostoliniowości łat

• Dwa razy w sezonie komparacja polowa łat

• W przypadku stwierdzenia błędu grubego większego od 5 cm, po przeanalizowaniu zapisów poprawia się odczyt, opisując ten fakt w uwagach.

Opracowanie wyników pomiarów

Polowe obliczenia i analiza wyników:

Po zakończeniu pomiaru odcinka w jednym kierunku należy wykonać następujące czynności:

• Obliczyć przewyższenie na całym odcinku z podziału pierwszego i drugiego wg wzorów: h₁= w1- p1, h₂= w2- p2

• Obliczyć sumę różnic n

• Sprawdzić czy dla odcinka spełniona jest równość h₁- h₂= n

• Obliczyć średnie przewyższenie, jako h’_{głów (powr)}=0,5( h₁+ h₂)

• Do przewyższenia odcinka oddzielnie dla pomiaru w kierunku głównym i powrotnym wprowadza się poprawkę q_T, uwzględniającą wpływ zmian temperatury, wg przybliżonego wzoru

q_T=hα_śr(t-t₀)

gdzie:

h – przewyższenie odcinka niwelacyjnego

α_śr – średnia wartość współczynnika rozszerzalność taśm inwarowych danej pary łat

t-t₀ - różnica między średnią temperaturą taśm łat (t) w czasie pomiaru odcinka w danym kierunku a temperaturą komparacji łat (t₀).

Po wprowadzeniu poprawki q_t otrzymuje się:

h_gł(powr)=h’_głów(powr)+q_T

• Obliczyć długość odcinka ( w km) jako sumę długości celowych

Po zakończeniu pomiaru odcinka niwelacyjnego w obu kierunkach należy wykonać następujące czynności:

• Obliczyć średnią długość odcinka (w km)

• Obliczyć różnicę między przewyższeniami wyznaczonymi z pomiarów w kierunku głównym i powrotnym ρ= h_głów-h_powr

Wartość ρ powinna spełniać kryterium

Dla niwelacji I klasy: ρ≤±1,2 mm,

Dla niwelacji II klasy: ρ≤±1,5 mm.

• Obliczyć średnie przewyższenie odcinka z obu kierunków. Do średniego przewyższenia odcinka h oblicza się poprawkę komparacyjną łat q_k=hε_śr, gdzie ε_śr to średnia poprawka do długości średniego metra pary łat.

• ρ obliczona dla odcinków całej sekcji lub linii, powinna spełniać kryterium:

Dla niwelacji I klasy ρ≤±2,25 mm,

Dla niwelacji II klasy ρ≤±3 mm

L – długość linii lub sekcji w km.

• Średni błąd pomiaru 1 km niwelacji obliczony dla sekcji lub linii

Dla niwelacji I klasy m≤±0,40 mm/km

Dla niwelacji II klasy m≤±0,50 mm/km

• Po wykonaniu pomiaru wszystkich linii wchodzących w skład danego poligonu należy skontrolować jego zamknięcie.

Odchyłka zamknięcia φ ≤±2 dla poligonów zamkniętych, φ ≤±3 dla poligonów otwartych, F – długość obwodnicy poligonu w km.

Kameralne opracowanie materiału pomiarowego

• Sprawdzenie dzienników pomiarowych

• Sprawdzenie obliczeń polowych

• Przygotowanie materiału niwelacyjnego do wyrównania oraz ocenę dokładności pomiaru niwelacji sekcji, linii, sieci na podstawie materiału przed wyrównaniem. Wszystkie obliczeniowe wykonywane niezależnie przez dwóch wykonawców.

• Po sprawdzeniu obliczeń polowych do przewyższeń w kierunku tam i powrót wprowadza się poprawki niwelacyjne ze względu na dobowe zmiany kierunku linii pionu, spowodowane przez przyciąganie Księżyca i Słońca.

• Ze względu na nierównoległość powierzchni poziomych dla każdego odcinka niwelacji wyznacza się poprawkę normalną P_N i dodaje ją do pomierzonej wartości przewyższenia, otrzymując przewyższenie w systemie wysokości normalnych. (poprawkę można wziąć z tablic).

• Po wyznaczeniu przewyższeń poprawionych, odchyłka zamknięcia φ poligonu niwelacji I i II klasy, wyznaczona z przewyższeń po wprowadzeniu wszystkich przewidzianych poprawek (oprócz z wyrównania), powinna spełniać kryterium φ≤±1,5 . Dla poligonów otwartych φ≤±2,5

• Dokładność pomiaru sekcji, linii, sieci niwelacyjnej przed wyrównaniem ocenia się na podstawie wzorów na: średni błąd pomiaru 1 km niwelacji, średni błąd systematyczny pomiaru 1 km niwelacji, średni błąd przypadkowy pomiaru 1 km niwelacji.

Średnie błędy pomiaru	Wartości dopuszczalne [mm/km]
	I klasa	II klasa
Średni błąd pomiaru 1 km niwelacji (dla odcinków)	±0,40	±0,50
Średni błąd pomiaru 1 km niwelacji (dla linii lub sekcji)	±1,00	±1,50
Średni błąd systematyczny pomiaru 1 km niwelacji	±0,10	±0,20
Średni błąd przypadkowy pomiaru 1 km niwelacji	±0,40	±0,50

Dla określenia błędu systematycznego i przypadkowego sporządza się wykres ρ

Źródło: S. Margański, Pomiary niwelacyjne w podstawowych sieciach wysokościowych, rozdz.4 – Technologia pomiaru sieci niwelacyjnej, rozdz.5 – opracowanie wyników pomiaru sieci niwelacyjnej.