CIĄGI LICZBOWE

Definicja . Ciągiem liczbowym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych.

Oznaczać go będziemy .

Przykłady ciągów

Definicja. Ciąg nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla dowolnej liczby naturalnej n mamy ,

.

Analogicznie definiuje się ciąg malejący, niemalejący, nierosnący.

Przykład. Sprawdzić, że ciąg o wyrazie ogólnym jest rosnący.

Definicja. Ciąg nazywamy ciągiem ograniczonym, jeżeli istnieje taka liczba M > 0, że dla dowolnej liczby naturalnej n, tzn .

.

Przykład. Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym jest ograniczony.

Definicja. Ciąg nazywamy ciągiem zbieżnym jeżeli istnieje taka liczba g, że

.

Zapisujemy to w następujący sposób:

lub .

Uwaga. Każdy ciąg stały jest zbieżny.

Przykłady. Nietrudno pokazać, że

1. , ( dla każdego p > 0),

2. dla dowolnej liczby a >0,

3. 

Uwaga. Ciąg nazywamy rozbieżnym jeśli nie jest zbieżny

Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym jest rozbieżny.

WŁASNOŚCI CIĄGÓW ZBIEŻNYCH

Twierdzenie (o zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy). Jeżeli dla ciągów i spełnione są warunki

dla n Î N,

i ,

to a £ b ( £ ).

Twierdzenie (o trzech ciągach). Jeżeli ciągi , i spełniają warunki

dla n Î N,

,

to .

Przykład. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym .

Twierdzenie (o działaniach na granicach). Jeżeli ciągi i są zbieżne, to ciągi , i są zbieżne oraz

,

.

Jeśli założymy dodatkowo, że dla n Î N i , to

.

Przykład. Obliczyć granicę .

CIĄGI ROZBIEŻNE DO +¥ i DO -¥

Definicja. Ciąg nazywamy ciągiem rozbieżnym do+¥ (-¥) jeżeli

( )

Uwaga. O takich ciągach mówimy, że mają granicę niewłaściwą +¥ (-¥) i zapisujemy ( ).

Przykład. Ciąg o wyrazie ogólnym jest rozbieżny do +¥.

Własności ciągów rozbieżnych do + ¥ (-¥).

4. ¥ + ¥ = ¥ (tzn. jeśli i , to ).

5. ¥ × ¥ = ¥ (tzn. jeśli i , to ).

6. (-¥) + (-¥) = (-¥) (tzn. jeśli i , to ).

7. (-¥) × ¥ = -¥ ; (-¥) × (-¥) = ¥

8. a + ¥ = ¥ (tzn. jeśli i , to ).

9. a × ¥ = ¥ (gdy a >0); a × ¥ = -¥ (gdy a <0)

Przykład. Obliczyć granicę .

CIĄGI CAUCHY’EGO, LICZBA e

Definicja. Ciąg nazywamy ciągiem Cauchy’ego (lub mówimy, że ciąg ten spełnia warunek Cauchy’ego), jeżeli

.

Twierdzenie. Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego.

Twierdzenie. Jeżeli ciąg jest ograniczony i monotoniczny to jest zbieżny.

Definicja (liczby e).

(e »2,71...).

Zbieżność ciągu dowodzi się w oparciu o ostatnie twierdzenie pokazując, że ciąg ten jest ograniczony i spełnia warunek Cauchy’ego.