SETLA BARTOSZ	Ćwiczenie nr M6 Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa.
FIZYKA I ROK	Ocena z kolokwium:	Ocena ze sprawozdania:	Ocena końcowa:
dr E. Jakubczyk

CZEŚĆ TEORYTYCZNA

Przepływ płynów

Jednym ze sposobów opisu ruchu płynu jest podzielenie płynu na nieskończenie małe elementy objętości, które możemy nazwać cząstkami płynu, i śledzenie ruchu każdej z tych cząstek. Jest to ogromne zadanie. Musielibyśmy przypisać każdej takiej cząstce współrzędne x, y, z i określić je jako funkcje czasu t. Dla cząstki płynu, która w chwili t₀ znajdowała się w punkcie x₀, y₀, z₀, współrzędne x, y, z w chwili t byłyby okreś1one przez funkcje x(x₀, y₀, z₀, t₀, t), y(x₀, y₀, z₀, t₀, t) i z(x₀, y₀, z₀, t₀, t) służące następnie do opisu płynu. Takie postępowanie, rozwinięte po raz pierwszy przez Josepha Louisa Lagramge’a (1736-1813), jest bezpośrednim uogólnieniem pojęcia mechaniki punktów materialnych.

­1. Przepływ być ustalony (laminarny) albo nieustalony. Mówi się, że ruch płynu jest ustalony, kiedy prędkość płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie. Oznacza to, że w dowolnym punkcie przepływu ustalonego prędkość każdej przechodzącej przez ten punkt cząstki płynu jest zawsze taka sama. W pewnym innym punkcie cząstka może poruszać się z inną prędkością, ale każda następna cząstka przechodząca przez ten drugi punkt zachowuje się w nim zupełnie tak samo, jak zachowywała się cząstka pierwsza.

2. Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy wtedy, gdy w żadnym punkcie element płynu nie ma względem tego punktu wypadkowej prędkości kątowej. Możemy sobie wyobrazić małe kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Ruch płynu jest bezwirowy, gdy kółko nie obraca się podczas ruchu; w przeciwnym razie ruch jest wirowy. Ruch różnego rodzaju wirów jest przepływem wirowym.

3. Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Zazwyczaj można przyjmować, że przepływ cieczy jest nieściśliwy. Jednak nawet bardzo ściś1iwy gaz może czasami podlegać nieistotnym zmianom gęstości. Przepływ jego jest wtedy praktycznie biorąc nieściśliwy.

4.Wreszcie przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych. W wielu przypadkach, takich jak zagadnienia smarowania, lepkość jest bardzo istotną cechą. Czasem jest jednak do pominięcia. Lepkość wywołuje pojawienie się sił stycznych między warstwami płynu poruszającymi się względem siebie. Wynikiem lepkości są również stopniowe straty (dysypacja) energii mechanicznej.

Przy omawianiu dynamiki płynów ograniczymy się głównie do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich.

Przepływ turbulentny cieczy:

Gdy wartość liczby Reynoldsa dla przepływu cieczy lepkiej w rurze przekracza 1160, przepływ zmienia swój charakter: z laminarnego staje się turbulentny. Tę zmianę charakteru możemy za Reynoldsem pokazać za pomocą doświadczenia pokazanego niżej

Rozkład szybkości przepływu cieczy wzdłuż średnicy rurki ma przy przepływie turbulentnym inny przebieg niż przy przepływie laminarnym, co przedstawia rysunek:

T – przepływ turbulentny, L – przypływ laminarny.

Ruch ciał w płynach.

Zagadnienie oporów, które występują przy ruchu ciał w cieczach i gazach ma duże znaczenie praktyczne, gdyż zjawiska te obserwujemy na co dzień. Wszystkie ciała w naszym otoczeniu poruszają się w powietrzu. Występowanie oporów ruchu w płynach wiąże się z lepkością tych substancji.

W cieczy wytwarza się gradient prędkości: warstwy cieczy, których głębokości różnią się o ∆z mają różnicę prędkości ∆v, przy czym ∆v/∆z = v/d. Sąsiednie warstwy ślizgają się więc po sobie, a przy tym występuje opór. Występowanie oporów przy ruchu względem warstw wewnątrz cieczy nazywamy tarcie wewnętrznym.

Pamiętając, że siła lepkości F_L ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości możemy zapisać wzór:

i_v – wersor prędkości.

Jednostką współczynnika lepkości jest [1N s m^-2 =1kg m^-1 s^-1] (w starszych podręcznikach spotyka jest jednostkę: [1 puaz = 10^-1 kg m^-1 s^-1]).

Na ciało poruszające się w płynie z prędkością v działa ze strony płynu siła F_C, którą możemy rozłożyć na składowe: siłę oporu czołowego F_o = -i_v F_o skierowaną przeciwnie do wektora prędkości v oraz siłę nośną F_N prostopadłą do wektora v. Będziemy się obecnie zajmowali tylko siłą oporu czołowego F_o. Zamiast napisać gotowy wzór na siłę F_o sporóbujemy odgadnąć ten postać tego wzoru na podstawie ogólnych rozważań. Wymieńmy więc najpierw czynniki, od których może zależeć siła F_o: właściwości fizyczne płynu, a więc jego gęstość ς i współczynnik lepkości η, prędkość ciała względem płynu v, a także wielkość ciała, którą można scharakteryzować przez jego wymiary liniowe l w kierunku prostopadłym do v (np. długość, promień). Z wymienionych wielkości można utworzyć tylko jedną wielkość bezwymiarową: jest nią iloraz vlς /η zwany liczbą Reynoldsa i oznaczony przez Re:

Wzór na siłę można więc przedstawić w postaci następującej:

gdzie: k = k(Re) jest pewną funkcją liczby Reynoldsa, Re. Wykładniki potęg we wzorze na siłę można ze sobą powiązać uwzględniając wymiary występujących tam wielkości fizycznych. Okazuje się, że wzór należy przepisać w postaci:

gdzie występuje nieznana funkcja liczby Reynoldsa, Re.

Wzór na siłę oporu czołowego przy ruchu ciał w płynach zapisuje się najczęściej w postaci zwanej wzorem Newtona:

S – powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora prędkości v,

C – bezwymiarowy współczynnik zależny od kształtu ciała, jego orientacji względem płynu oraz od liczby Reynoldsa: C = f(Re).

Wartość współczynnika C wyznacza się doświadczalnie, tylko w bardzo szczególnych przypadkach, można ją znaleźć z rozważań teoretycznych.

Ruch kuli w płynie przy Re<<1.

W tym przypadku siła oporu czołowego zgodnie ze wzorem Stokesa, jest proporcjonalna do pierwszej potęgi prędkości kuli:

gdzie:

Przyjmijmy, że kula spada w płynie pod wpływem siły ciężkości. W tym wypadku zatem siłą zewnętrzną F działającą na kulę jest różnica ciężaru kuli i siły wyporu (siły Archimedesa):

m – masa kuli, m_p – masa płynu o objętości równej objętości kuli.

Równanie ruchu kuli będzie więc miało postać:

Siły F i F₀ są skierowane wzdłuż jednej prostej (kierunku pionowego), możemy więc przepisać równanie ruchu w postaci skalarnej:

Możemy teraz scałkować to równanie, aby znaleźć zależność prędkości kuli v od czasu t. Przepiszmy więc równanie w postaci:

i rozdzielmy zmienne v i t:

Niech w chwili t₀ prędkość kuli wynosi v₀. całkując powyższe równanie otrzymamy:

czyli:

ostatecznie więc otrzymujemy zależność prędkości od czasu w postaci:

Wyrażenie:

maleje w czasie, a więc dla dostatecznie długiego czasu t jest on zaniedbywalnie mały i prędkość kuli osiąga wartość graniczną:

która nie zależy od prędkości początkowej v₀.

Korzystając z wcześniej wprowadzonych wzorów możemy prędkość graniczną przedstawić w postaci:

lub też, uwzględniając fakt, że:

ρ – gęstość kuli,

ρ_p – gęstość płynu, w którym porusza się kula.

Z powyższego wzoru korzysta się przy wielu zagadnieniach praktycznych.

Wszystkie omawiane przeze mnie wzory dotyczą ruchu w płynie o nieograniczonych wymiarach, natomiast przy użyciu ciał w płynie ograniczonym rozmiarami naczynia należy wprowadzić poprawki związane z istnieniem ścianek. Dlatego wzór na prędkość graniczną opadania kuli w płynie przyjmie postać:

jest to tzw. wzór Ladenberga.

Tabela wyników pomiarów nr 1.

Lp.	m [g]	2r [mm]	r [mm]	Vk [mm^3]	ρ [g/mm^3]
1	0,562	9,87	4,935	503,4427	0,001116313
2	0,561	9,92	4,960	511,1326	0,001097562
3	0,563	9,93	4,965	512,6799	0,001098153
Wartości średnie	0,562	9,90	4,953	508,6721	0,001104009
1	0,641	9,89	4,945	380,4325	0,001684935
2	0652	9,80	4,900	492,8069	0,001323051
3	0,654	9,97	4,985	518,9004	0,001260358
Wartości średnie	0,649	9,88	4,943	463,3213	0,001442278

Tabela wyników pomiarów nr 2.

Lp	t [s]	s [m]	R [m]
1	5,6	0,033	4,280
2	5,3	0,031
3	5,4	0,034	4,270
Wartości średnie	5,433	0,326
1	4,0	0,031
2	3,9	0,031	4,305
3	4,1	0,038
Wartości średnie	3,9	0,333	4,285

Wyznaczam objętości kulek:

Wyznaczam gęstości kulek:

Wyznaczam współczynniki lepkości kulek:

z uwzględnieniem poprawki do siły tarcia:

(do obliczeń przyjmuje g = 9810 mm/s² i gęstość cieczy ρ_p = 0,000854 g/mm³)

* dla kulki białej: η = 1,156367534 g/mm · s

po uwzględnieniu poprawki do siły tarcia współczynnik ten wynosi: η = 0,0009235974563

* dla kulki czarnej: η = 1,124270151 g/mm · s

po uwzględnieniu poprawki do siły tarcia współczynnik ten wynosi: η = 0,0009956248732

Przy wyznaczaniu niepewności pomiaru uwzględniam poprawkę do siły tarcia. Niepewność wyznaczam metodą różniczki zupełniej:

* dla kulki białej: ∆ η = ± 0,0000052567 g/mm · s

* dla kulki czarnej: ∆ η = ± 0,00000416390, g/mm · s

Wyznaczam niepewności procentowe pomiarów:

* dla kulki białej: Np = ± 5,698%

* dla kulki czarnej: Np = ± 4,135%

WNIOSEK:

Wyniki moich pomiarów obarczone są niepewnościami. Niepewności ta nie są znaczące. Jest to związane z niedokładnością używanych przeze mnie przyrządów, panującymi warunkami otoczenia, a także niedokładnością moich zmysłów. Niedokładność pomiarów jest również spowodowana przez ograniczenie płynu przez naczynie.