1

Teoretyczne podstawy wyceny

opcji metodą Blacka-Scholsa

Andrzej Kasprzak

25.04.06

2/20

Plan:

Motywacja

Co to za Opcja?

Cena opcji

Teoretyczne wyprowadzenie

sprawiedliwej ceny opcji

– model B&S

Dlaczego

cena sprawiedliwa

jest

niesprawiedliwa?

3/20

Motywacja

1)

Próba zrozumienia otaczającego nas
świata (finansowego)

2)

$$$

3)

Roczny wolumen w 2004 (sztuki):

4/20

Co to za Opcja?

Opcja=Zakład

Opcje kupna, sprzedaży; wystawcy i
kupujący.

Prawo kupna (sprzedaży)
określonego instrumentu
finansowego po określonej cenie w
określonym momencie czasu.

5/20

Cena opcji

Nabywca opcji za prawo zakupu
(sprzedaży) danego instrumentu po
określonej cenie w przyszłości płaci
wystawcy pewną kwotę – tzw. premię
opcyjną.

6/20

Zasadnicze pytanie:

JAKA POWINNA BYĆ CENA

OPCJI, ABY TEN ZAKŁAD BYŁ
SPRAWIEDLIWY?

7/20

Odpowiedź:
Scholes&Black(&Merton)

1973 – „The Pricing of Options and Corporate Liabilities”
1997 – Nagroda Nobla (Scholes&Merton)

8/20

Wyprowadzenie teoretyczne

Założenia (idealny rynek):

1)

Ciągły w czasie obrót instrumentami finansowymi

2)

Stała, wolna od ryzyka stopa procentowa r

3)

Brak kosztów transakcyjnych i podatków

4)

Nie ma możliwości arbitrażu

5)

Brak dywidend z instrumentu bazowego w
badanym okresie

6)

Logarytm stopy zwrotu z instrumentu
bazowego ma rozkład normalny

9/20

Wyprowadzenie c.d

Oznaczenia:

-

S: kurs instrumentu bazowego w momencie
wykonania (nieznany)

-

S

0

: obecny kurs instrumentu bazowego (znany)

-

T:okres ważności opcji

-

X=ln(S/S

0

): zmienna losowa o rozkładzie normalnym

ze średnią T i wariancją 

2

T.

-

C(S

0

,T): cena opcji

-

K- kurs wykonania opcji

10/20

Wyprowadzenie c.d.

Zysk kupującego opcję kupna:

Max(S-K,0)

Cena sprawiedliwa powinna być taka,

żeby obu stronom było wszystko jedno,
czy zawrzeć taką transakcję, czy nie.

11/20

Wyprowadzenie c.d.

Stąd:

C(S

0

,T)=e

-rT

E(max(S-K,0))

Tzn. cena opcji powinna być wartością

bieżącą (PV) wartości oczekiwanej
zysku.

12/20

Wyprowadzenie c.d.

Dalej to już czysta statystyka

matematyczna (której nie będę tutaj
przedstawiał ;)

Ostatecznie wynik jest następujący:

13/20

Wyprowadzenie c.d

gdzie

a N oznacza dystrybuantę

standardowego rozkładu normalnego
N(0,1)

14/20

Komentarz

Powyższe wyprowadzenie – znacznie uproszczone.

Prawdziwa analiza oparta na koncepcji porfela
pozbawionego ryzyka połączona z procesem
błądzenia przypadkowego prowadzi do cząstkowego
równania różniczkowego B&S opisującego ewolucję
wartości V opcji:

=

15/20

Komentarz c.d.

Do pełnego rozwiązania potrzebujemy warunki
brzegowe (dla opcji kupna):

dla

16/20

Dlaczego ta cena jest niewłaściwa?

-założenia dość silne, choć część można modyfiować
(np. uwzględnić wypłacane dywidendy, koszty
transakcyjne i podatki)

-najważniejsze założenie obliczeniowe (o rozkładzie
normalnym) nie jest spełnione

17/20

18/20

Black- MIT, Goldman Sachs co.

Scholes – sektor instrumentów

pochodnych w Salomon Brothers

Obaj stracili duuużo pieniędzy...

19/20

Czy to jest ważne?

Krótki okres – zachowania ludzi mogą
kształtować ceny zgodne z wyceną B&S

Długi okres – raczej nie (choć wtedy
odstępstwa od rozkładu normalnego są
mniejsze)

Najbardziej istotne – prognozowanie
zachowania instrumentu bazowego

20/20

Dziękuję za uwagę.