WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

1

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

2.1. Ćwiczenie projektowe numer 2

Wyznaczyć położenie środka ciężkości, momenty bezwładności w dowolnym układzie osi środko-

wych oraz kierunek główny i główne momenty bezwładności przekroju przedstawionego na rysunku 2.1.

280

240

120x80x10

Rys. 2.1. Przekrój pręta

2.2. Środek ciężkości przekroju

Rysunki 2.2, 2.3 i 2.4 przedstawiają wymiary ceownika, dwuteownika oraz kątownika nierównora-

miennego odczytane z tablic do projektowania konstrukcji metalowych. Charakterystyki geometryczne
ceownika wynoszą

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

2

[cm]

2,23

8,5

X

X

Y

Y

12

,0

12

,0

24

,0

sc

Rys. 2.2. Wymiary ceownika

14

,0

14

,0

28

,0

[cm]

X

X

Y

Y

11,9

sc

1,01

Rys. 2.3. Wymiary dwuteownika

A=42,3 cm

2

,

J

X

=

3600 cm

4

,

J

Y

=

248,0 cm

4

.

Charakterystyki geometryczne dwuteownika wynoszą

A=61,1cm

2

,

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

3

X

X

Y

Y

[cm]

8,0

1,95

3,

92

12

,0

sc

1

1

2

2

Rys. 2.4. Wymiary kątownika nierównoramiennego

J

X

=

7590 cm

4

,

J

Y

=

364,0 cm

4

.

Charakterystyki geometryczne kątownika nierównoramiennego wynoszą

A=19,1 cm

2

,

J

X

=

276,0 cm

4

,

J

Y

=

98,1 cm

4

,

J

2

=

56,8 cm

4

.

Rysunek 2.5 przedstawia podział przekroju na figury składowe oraz początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

.

Współrzędne środka ciężkości ceownika wynoszą

y

P1

=

24,0

2

=

12,0 cm , z

P1

=

8,5−2,23=6,27 cm

.

Współrzędne środka ciężkości dwuteownika wynoszą

y

P2

=

24,0−

11,9

2

=

18,05 cm, z

P2

=

8,5

28,0

2

=

22,50 cm

.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

4

[cm]

Y

P

Z

P

Y

01

Z

01

Y

02

Z

02

Z

03

Y

03

sc

1

sc

2

sc

3

12,0

12,0

8

,0

18,05

13,63

11,90

12,10

8,

5

14

,0

14

,0

6,

27

2

2,

50

2

4,

4

5

Rys. 2.5. Podział przekroju pręta na figury składowe

Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego wynoszą

y

P3

=

24,0−

11,9

2

−

1,01

2

−

3,92=13,63 cm , z

P3

=

8,5

28,0

2



1,95=24,45cm

.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

5

[cm]

Y

0

Z

0

Y

01

Z

01

Y

02

Z

02

Z

03

Y

03

sc

1

sc

3

3,27

1,64

11,90

12,10

8,

5

14

,0

14

,0

10

,9

3

5

,3

0

7,

25

15,27

17

,2

0

sc

sc

2

2,78

Rys. 2.6. Układ osi środkowych

Współrzędne środka ciężkości przekroju wynoszą

y

C

=

42,3⋅12,061,1⋅18,0519,1⋅13,63

42,361,119,1

=

15,27 cm

,

z

C

=

42,3⋅6,2761,1⋅22,5019,1⋅24,45

42,361,119,1

=

17,20 cm

.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

6

2.3. Momenty bezwładności w układzie osi środkowych

Rysunek 2.3 przedstawia podział przekroju na figury składowe oraz układ osi środkowych Y

0

Z

0

.

Współrzędne środka ciężkości ceownika wynoszą

y

01

=

12,0−15,27=−3,27 cm

z

01

=

6,27−17,20=−10,93 cm

.

Współrzędne środka ciężkości dwuteownika wynoszą

y

02

=

18,05−15,27=2,78 cm

z

02

=

22,50−17,20=5,30 cm

.

Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego wynoszą

y

03

=

13,63−15,27=−1,64 cm

z

03

=

24,45−17,20=7,25cm

.

Osiowe momenty bezwładności w układzie osi środkowych wynoszą

J

Y0

=

248,0



−

10,93



2

⋅

42,3



75905,30

2

⋅

61,1



98,17,25

2

⋅

19,1=15710 cm

4

,

J

Z0

=

3600



−

3,27



2

⋅

42,3



364,02,78

2

⋅

61,1



276,0



−

1,64



2

⋅

19,1=5216 cm

4

.

Pierwszy niezmiennik dla kątownika nierównoramiennego wynosi

I

1



3

=

276,098,1=374,1cm

4

.

Minimalny główny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego odczytany z tablic wynosi

J

2



3

=

56,8 cm

4

.

Maksymalny główny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi

J

1



3

=

374,1−56,8=317,3 cm

4

.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

7

Drugi niezmiennik dla kątownika nierównoramiennego wynosi

I

2



3

=

317,3⋅56,8=18020 cm

8

.

Wartość bezwzględna dewiacyjnego momentu bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi



J

Y03Z03



2

=

276,0⋅98,1−18020=9056 cm

8

,

∣

J

Y03Z03

∣

=

95,16 cm

4

.

J

Y03Z03

=

95,16 cm

4

.

Dewiacyjny moment bezwładności całego przekroju wynosi więc

J

Y0Z0

=

0,0



−

3,27



⋅



−

10,93



⋅

42,3



0,02,78⋅5,30⋅61,1



95,16



−

1,64



⋅

7,25⋅19,1=2280 cm

4

.

2.2. Główne momenty bezwładności

Tangens podwójnego kąta nachylenia osi głównych wynosi

tg 2⋅

gl

=

−

2⋅



2280



15710−5216

=−

0,4345

.

Kąt główny wynosi więc



gl

=−

11,74

o

.

Główne momenty bezwładności wynoszą więc

J

Ygl

=

157105216

2



15710−5216

2

⋅

cos



2⋅



−

11,74

o





−

2280⋅sin



2⋅



−

11,74

o





=

=

16180 cm

4

,

J

Zgl

=

157105216

2

−

15710−5216

2

⋅

cos



2⋅



−

11,74

o







2280⋅sin



2⋅



−

11,74

o





=

=

4742 cm

4

.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

8

Y

0

sc

Z

0

Y

gl

Z

gl

11,74

O

Rys. 2.7. Położenie głównych osi bezwładności

Główne momenty bezwładności po uporządkowaniu wynoszą

J

1

=

16180 cm

4

, J

2

=

4742 cm

4

.

Główne momenty bezwładności wynoszą także

J

1/ 2

=

157105216

2

±





15710−5216

2



2





2280



2

=

{

16180 cm

4

4742 cm

4

.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I

WM

2. Ćwiczenie projektowe numer 2 – przykład 4

9

Pierwszy niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

I

1

=

157105216=20930 cm

4

,

Pierwszy niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

I

1

=

161804742=20920 cm

4

.

Drugi niezmiennik w układzie osi środkowych wynosi

I

2

=

15710⋅5216−2280

2

=

76740000 cm

8

,

Drugi niezmiennik w układzie osi głównych wynosi

I

2

=

16180⋅4742=76730000 cm

8

.

Położenie osi głównych przedstawia rysunek 2.7.

Dr inż. Justyna Grzymisławska

BS-I