Bryªa sztywna. Zasady zachowania p¦du i momentu p¦du 3 grudnia 2012

1 Przykªady

1.1 Przykªad 1

W koniec le»¡cego na stole pr¦ta o dªugo±ci d i masie M uderza pocisk masa punktowa m poruszaj¡cy si¦ z pr¦dko±ci¡ v. Tor ruchu pocisku jest prostopadªy do pr¦ta. Zakªadaj¡c brak oporów ruchu opisa¢

zachowanie si¦ ukªadu w przypadku:

1. Zderzenia idealnie niespr¦»ystego (masa wbija si¦ w ko«cówk¦ pr¦ta); 2. Zderzenia idealnie spr¦»ystego.

Rozwi¡zanie przypadek 1

Ka»dorazowo gdy zachodzi zderzenie masy punktowej (albo dowolnego ciaªa) poruszaj¡cego si¦ ruchem

liniowym z ciaªem posiadaj¡cym sko«czone rozmiary nale»y przeanalizowa¢ jak zachowa¢ si¦ mog¡ oba ciaªa po zderzeniu. W przypadku nr. 1 wiadomo, »e nie mo»e by¢ zachowana energia pocisk wbijaj¡c si¦ w pr¦t traci cz¦±¢ swojej energii. Uderzenie w koniec pr¦ta mo»e spowodowa¢, »e zacznie on si¦ obraca¢

zachowany wi¦c musi by¢ moment p¦du L. Ponadto pr¦t nie jest zakotwiczony, co oznacza, »e jego poªo»enie równie» mo»e ulega¢ zmianie oznacza to, »e ±rodek masy ukªadu b¦dzie poruszaª si¦ ruchem liniowym, a wi¦c obowi¡zuje zasada zachowania p¦du. Rozpisuj¡c powy»sze uzyskuje si¦ ukªad dwóch równa«: ZZP :

mv = ( m + M ) u

(1)

ZZMP :

mvx = Icω,

gdzie przez x rozumie si¦ odlegªo±¢ uderzaj¡cego pocisku od wspólnego ±rodka masy stanowi¡cego punkt wokóª którego zacznie wirowa¢ pr¦t.

Zasada zachowania p¦du zapisywana jest jak w przypadku zderzenia centralnego (albo dwóch mas punk-towych): mv = ( M + m) u, gdzie u jest pr¦dko±ci¡ liniow¡ ukªadu po zderzeniu.

Odlegªo±¢ x wyznacza si¦ z zale»no±ci okre±laj¡cej ±rodek masy (kªad¡c miejsce uderzenia w punkcie 0): m 0 + M d

M d

x =

2 =

,

(2)

m + M

2( m + M )

a wi¦c moment p¦du przed zderzeniem dany jest zale»no±ci¡: M d

Lp = mvx = vd

.

m + M

1

W kolejnym kroku nale»y okre±li¢ caªkowit¡ warto±¢ momentu bezwªadno±ci, która skªada si¦ z momentu bezwªadno±ci pr¦ta I 0 = 1 Md 2 którego o± przesuni¦ta jest o warto±¢ x′ = d − x =

md

( I

12

2

2( m+ M )

pc) oraz mo-

mentu bezwªadno±ci masy punktowej poruszaj¡cej si¦ w odlegªo±ci x od osi obrotu. Zaczynaj¡c od momentu bezwªadno±ci pr¦ta

M d 2

m 2 d 2

M d 2 M 2 + 2 mM + 4 m 2

Ipc = I 0 + M x′ 2 =

+ M

=

.

12

4( m + M )2

12

( M + m)2

Do tej warto±ci dodajemy moment bezwªadno±ci masy punktowej poruszaj¡cej si¦ w odlegªo±ci x: d 2 M 2

Im = mx 2 = m

,

( M + m)2

co w celu zachowania spójno±ci przeksztaªcamy do zale»no±ci: M d 2

12 mM

Im =

,

12 ( M + m)2

przez caªkowity moment bezwªadno±ci uzyskuje warto±¢: (

)

M d 2

12 mM

M 2 + 2 mM + 4 m 2

M d 2 M 2 + 14 mM + 4 m 2

M d 2

Ic =

+

=

=

X,

(3)

12

( M + m)2

( M + m)2

12

( M + m)2

12

gdzie X wprowadzono w celu uproszczenia zapisu.

Ostatecznie mo»emy przepisa¢ ukªad równa« 4 do nast¦puj¡cej postaci: ZZP :

mv = ( m + M ) u

ZZMP :

mv

M d

= Md 2 Xω,

2( m+ M )

12

Z czego wynika, »e pr¦dko±ci po zderzeniu: liniowa u i k¡towa ω s¡ wielko±ciami od siebie niezale»nymi, a wi¦c ostatecznie:

u =

mv

M + m

ω = mv

M d

12

,

2( m+ M ) XM d 2

co po przeksztaªceniach daje warto±¢:

12 mv

6 mv( M + m)

ω =

=

.

2 Xd( M + m)

d( M 2 + 14 mM + 4 m) Jak wygl¡daªoby rozwi¡zanie gdyby przyj¡¢ m ≪ M, co pozwoliªoby na nast¦puj¡ce uproszczenia: (a)

±rodek masy pr¦ta nie ulega przesuni¦ciu, (b) caªkowity moment bezwªadno±ci po zderzeniu dany jest tylko przez moment bezwªadno±ci pr¦ta (ZZP bez zmian)? Czy wykorzystuj¡c powy»sze rozwi¡zanie mo»liwe jest uproszczenie do takiej postaci?

Rozwi¡zanie przypadek 2

W przypadku gdy nie nast¦puje sklejenie si¦ ciaª, pocisk mo»e si¦ odbi¢ (nast¦puje zmiana warto±ci pr¦dko±ci do warto±ci v′, a znak zmienia si¦ na przeciwny) lub dalej porusza¢ si¦ w tym samym kierunku (znak si¦ nie zmienia) dalsze rozwa»ania prowadzone dla pierwszego przypadku. Poza tym pr¦t zaczyna si¦ obraca¢ (z pr¦dko±ci¡ u), a jego ±rodek masy przemieszcza¢ si¦ ze staª¡ pr¦dko±ci¡ linow¡ u. Nie istnieje tutaj problem zmiany ±rodka masy, obowi¡zuj¡ wszystkie zasady zachowania: p¦du (ZZP), momentu p¦du (ZZMP) i energii mechanicznej (ZZEM):

ZZP :

mv = M u − mv′

ZZMP :

mvd = I

(4)

2

0 ω − mvd

2

ZZEM :

mv 2 = mv′ 2 + Mu 2 + I 0 ω 2 , 2

2

2

2

2

co zdecydowanie komplikuje obliczenia.

Podstawiaj¡c mv z ZZP do ZZMP, maj¡c na uwadze, »e I 0 = 1 Md 2 uzyskuje si¦

12

6 u

ω =

.

d

Z zasady zachowania p¦du wyznacza si¦ v′: M

v′ =

− v,

m

a nast¦pnie obie wielko±ci podstawia do zasady zachowania energii, dostaj¡c (po zredukowaniu mv 2 wyst¦-

puj¡cego po obu stronach):

4 m + M

2 M uv =

M u 2

m

Jednym z rozwi¡za« powy»szego jest: u = 0, a wi¦c ω = 0 oraz v′ = −v rozwi¡zanie takie chocia»

maªoprawdopodobne mo»e zaj±¢ w przypadku, gdy m ≪ M.

Drugim rozwi¡zaniem jest:

u =

2 m

v

M +4 m

ω =

12 m

v

d( M +4 m)

v′ = M− 4 m .

M +4 m

1.2 Przykªad 2

Obliczy¢ z denicji moment bezwªadno±ci pr¦ta o masie M i dªugo±ci L je»eli o± obrotu przechodzi przez: 1. ±rodek pr¦ta,

2. jeden z ko«ców pr¦ta.

Rozwi¡zanie

Aby skorzysta¢ z denicji dI = x 2 dm nale»y w pierwszej kolejno±ci zdeniowa¢ element masy dm. Naj-pro±ciej jest to zrobi¢ prowadzaj¡c g¦sto±¢ liniow¡ masy pr¦ta τ = M/L, a wówczas element pr¦ta o dªugo±ci dx b¦dzie miaª mas¦ dm = τ dx = M/Ldx. Zale»no±¢ t¡ podstawiamy do denicji momentu bezwªadno±ci: M

dI =

x 2 dx

L

Odpowiednie poªo»enie osi obrotu wprowadza si¦ okre±laj¡c prawidªowo granice caªkowania: Przypadek 1

O± równoodlegªa od obu ko«ców (z jednej i drugiej strony najdalszy punk jest na odlegªo±ci L/ 2: L

2

∫

L

(

)

M

M

2

M

L 3

L 3

M L 3

M L 2

I =

x 2 dx =

x 3 | =

+

=

=

L

3 L

− L

3 L

8

8

3 L 4

12

− L

2

2

Przypadek 2

O± w jednym z ko«ców ( x = 0), a wi¦c druga z granic w x = L.

L

∫

M

M

L

M (

)

M L 2

I =

x 2 dx =

x 3 | =

L 3 − 0 =

.

L

3 L

0

3 L

3

0

3