dr hab. Andrzej Fierla, profesor SGH
Wykład & laboratorium komputerowe, poziom V, 30 godzin, nr 6589-01
semestr zimowy 2008/2009
1. Opcje
1.1. Definicja opcji, opcje na akcje i opcje na indeksy giełdowego rynku akcji (indeksy akcji)
1.2. Podstawowe parametry opcji na akcje i indeksy akcji, serie opcji
1.3. Opcje po cenie, w cenie i nie w cenie; wartość wewnętrzna i wartość czasowa opcji
1.4. Sposoby rozliczania realizowanych opcji
1.5. Graficzna forma prezentacji strategii opcyjnej (cena instrumentu bazowego / wynik finansowy)
2. Organizacja giełdowego rynku opcji
2.1. Zasady notowania opcji, system obrotu - rola animatorów rynku
2.2. System rozliczeń: izba rozrachunkowa, depozyty zabezpieczające
2.3. Standard opcji na indeks WIG-20 notowanych na GPW w Warszawie
3. Podstawy analitycznej wyceny opcji giełdowych
3.1. Czynniki wpływające na premię opcji, szacowanie zmienności cen akcji lub indeksu, kalkulacja stopy procentowej wolnej od ryzyka
3.2. Najważniejsze założenia wyceny analitycznej opcji
3.3. Modele Blacka-Scholesa i Mertona
3.4. Parytet opcji sprzedaży-opcji kupna; ogólne zasady tworzenia opcji syntetycznych, akcje (forward'y) syntetyczne
3.5. Model dwumianowy
3.6. Parametry greckie: delta opcji i inne
4. Wybrane strategie spekulacji - wstęp
4.1. Prosta spekulacja na wzrost cen akcji; problem wyboru serii opcji
4.2. Prosta spekulacja na spadek cen akcji
4.3. Spread pionowy; spread poziomy
4.4. Straddle i strangle jako typowe strategie spekulacji na zmienność instrumentu bazowego
4.5. Motyle, kondory i wybrane, podobne strategie
4.6. Podstawy strategii o neutralnej delcie
5. Główne strategie hedgingu
5.1. Współczynnik beta jako podstawa hedgingu z wykorzystaniem opcji indeksowych
5.2. Zabezpieczenie posiadanych akcji opcjami sprzedaży
5.3. Zabezpieczenie krótkiej pozycji akcyjnej opcjami kupna
5.4. Delta hedge (zmienne zabezpieczenia) i ograniczenia jego zastosowania przez drobnych inwestorów
6. Podstawy arbitrażu
7. Laboratorium komputerowe
Bloki (dot. egzaminu): 1) 1, 2, 2) 3 + lab. (odpowiednia część), 3) 4 + lab. (odpowiednia część), 4) 5, 6.
Literatura (wybrane pozycje):
A. J. Baird Rynek opcji; Dom wydawniczy ABC, Warszawa 1998
A. Fierla Opcje na akcje; Difin, Warszawa 2004
D. Ford Opcje giełdowe. Metody i strategie; KE Liber, Warszawa 1997
D. Gątarek, R. Maksymiuk Wycena i zabezpieczenie pochodnych instrumentów finansowych; KE Liber, Warszawa 1998
J. Hull Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie; WIG Press, Warszawa 1997 i kolejne
R. W. Kolb Wszystko o instrumentach pochodnych; WIG Press, Warszawa 1997
I. Wojciechowski Opcje na wybrane instrumenty finansowe jako narzędzia ograniczające ryzyko; Zakamycze, Kraków 1999
Do punktu 3
Stopa procentowa wolna od ryzyka stosowana w wycenie opcji r (w prawie wszystkich modelach wyceny opcji akcyjnych i indeksowych) jest wyznaczana zgodnie ze wzorem:
r = ln(1 + ro),
gdzie:
ln(x) - logarytm naturalny z x,
ro - wolna od ryzyka stopa procentowa ( w skali rocznej) wyrażona w sposób “tradycyjny”.
Zmienność cen (poziomu) instrumentu bazowego (akcji lub indeksu) jest definiowana jako odchylenie standardowe stopy zwrotu z tego instrumentu w ciągu roku, przy czym stopa zwrotu jest wyrażona przy wykorzystaniu ciągłej kapitalizacji. Większość analityków i inwestorów wykorzystuje dwie metody estymacji zmienności cen: historyczną i rynkową.
Historyczna zmienność cen wyznaczana jest na podstawie notowań w przeszłości. Można wykorzystać zarówno kursy zamknięcia z poszczególnych sesji giełdowych, jak i dane tygodniowe, miesięczne czy kwartalne. Na podstawie zebranych danych o cenach instrumentu bazowego należy obliczyć stopę zwrotu, przy założeniu ciągłości, dla każdego okresu:
ui = ln( Si/Si-1),
gdzie:
i = 1, 2, ..., n,
n + 1 - liczba obserwacji,
ui - stopa zwrotu w okresie i-tym,
Si - cena instrumentu bazowego (akcji lub poziom indeksu) na koniec okresu i-tego, z tym, że licząc stopę zwrotu w dniu po przyznaniu praw do dywidendy z akcji przyjmuje się dla tego dnia:
Si = Si’ + D1,
Si’ - cena akcji lub poziom indeksu w dniu następującym bezpośrednio po przyznaniu prawa do dywidendy,
D1 – zaktualizowana kwota dywidendy lub wpływ przyznania prawa do dywidendy na obniżkę poziomu indeksu.
W kolejnym etapie określania zmienności historycznej należy wyznaczyć odchylenie standardowe stopy zwrotu, stosując wzór:
n
os = { [1/(n-1)] (ui - uśr)2}0,5,
i=1
gdzie:
os - odchylenie standardowe stopy zwrotu,
uśr - średnia arytmetyczna stopa zwrotu obliczona na podstawie wszystkich n okresów.
W obliczeniach należy uwzględnić także na podstawie jakich informacji określono zmienność, to jest danych dobowych, tygodniowych, miesięcznych czy kwartalnych. Dokonuje się tego licząc zmienność cen instrumentu bazowego na podstawie wzoru:
z = os/o0,5,
gdzie:
z - zmienność cen akcji lub indeksu,
o - czas między pomiarami wyrażony w latach, np. jeżeli wykorzystane zostały obserwacje z końca kolejnych miesięcy, to o = 1/12.
Zmienność rynkowa, czyli stosowana (implied volatility), jest wyznaczana przy wykorzystaniu metody kolejnych przybliżeń i formuł wyceny użytych wobec rzeczywistych cen rynkowych opcji opiewających na dany instrument finansowy. Znane są wszystkie parametry, w tym premie opcji, a wielkością poszukiwana jest zmienność. Na podstawie zmienności wyznaczonych dla róznych serii opcji (ale raczej nie wszystkich serii opcji, nierzadko tylko opcji ATM lub ATM oraz o sąsiednich cenach wykonania opcji) obliczana jest średnia ważona lub, rzadziej, arytmetyczna. Tak więc metoda zmienności rynkowej oparta jest na badaniu, jaki poziom zmienności danego instrumentu bazowego przyjmują przeciętnie inni inwestorzy.
Wzory modelu Blacka-Scholesa dla opcji stylu (rodzaju) europejskiego mają następującą postać:
c = S N(d1) - X e-r . t N(d2),
p = X e-r . t N(-d2) - S N(-d1),
gdzie:
c - cena (premia) opcji kupna rodzaju europejskiego,
p - cena (premia) opcji sprzedaży rodzaju europejskiego,
S - aktualna cena akcji lub poziom indeksu,
X - cena rozliczenia (bazowa) opcji,
r - wolna od ryzyka stopa procentowa wyznaczona przy założeniu ciągłej kapitalizacji,
t - okres do terminu wygaśnięcia opcji (w latach),
z - zmienność cen akcji lub poziomu indeksu,
d1 = [ln(S/X) + (r + z2/2) t]/(z t0,5),
d2 = [ln(S/X) + (r - z2/2) t]/(z t0,5) ,
natomiast N() jest wartością dystrybuanty (skumulowaną wartością funkcji gęstości) standardowego rozkładu normalnego.
Modyfikację formuł Blacka-Scholesa pozwalającą na wycenę opcji stylu (rodzaju) europejskiego opiewających na akcje spółek wypłacających dywidendy (oraz - w praktyce - także odpowiednie indeksy cen akcji) sformułował R. Merton. Zgodnie z przedstawionym przez niego modelem opcje należy wyceniać zgodnie z wzorami:
c = S e-d . t N(d1) - X e-r . t . N(d2), oraz
p = X e-r . t N(-d2) - S e-d . t N(-d1),
gdzie:
d - stopa dywidendy, przy założeniu ciągłej kapitalizacji,
d1 = [ln(S/X) + (r -d + z2/2) . t]/[z t0,5],
d2 = [ln(S/X) + (r -d - z2/2) . t]/[z t0,5].
Parytet opcji sprzedaży-opcji kupna (parytet put-call, od angielskiego: put-call parity) dla opcji stylu (rodzaju) europejskiego:
c + X e-r t = p + S, lub równoważnie:
c - p = S - X e-r t .
Równania te stanowią podstawowe narzędzia pozwalające na wycenę opcji oraz wykorzystanie tzw. opcji “syntetycznych”, a także konwersji, odwrotnej konwersji (reversal) i podobnych metod arbitrażu. Otóż na przykład zgodnie z wzorami parytetu:
-p = -c + S - X e-r t.
Wystawienie opcji sprzedaży (-p) można zastąpić wystawieniem opcji kupna (-c), nabyciem akcji (danej spółki lub równoważnych indeksowi) za cenę rynkową S i zaciągnięciem pożyczki w wysokości odpowiadającej zaktualizowanej cenie bazowej. Możliwe jest także tworzenie innego z popularnych rodzajów opcji “syntetycznych” - nabycia “syntetycznej” opcji kupna. Określane jest ono jako:
c = p + S - X e-r t.
Nabycie opcji kupna można zastąpić zakupem opcji sprzedaży i akcji oraz zaciągnięciem pożyczki.
Niestety parytet put-call nie może być z równym powodzeniem stosowany w stosunku do opcji stylu (rodzaju) amerykańskiego. Przybiera on dla nich postać nierówności:
S - X ca - pa S - X e-r t, lub równoważnie:
ca + X e-r t - S pa ca + X - S,
gdzie:
ca - cena (premia) opcji kupna rodzaju amerykańskiego,
pa - cena (premia) opcji sprzedaży rodzaju amerykańskiego.
Jeżeli uwzględnimy dywidendy (D - suma zaktualizowanych dywidend z okresu ważności opcji) parytet put-call dla opcji rodzaju europejskiego przyjmuje postać:
c + D + X e-r t = p + S, lub
c - p = S - D - X e-r t,
a dla opcji rodzaju amerykańskiego:
S - D - X ca - pa S - X e-r t.
Trzy ostatnio podane formuły, mimo że większość spółek, na których akcje opiewają opcje lub bazowe indeksy opcji, wypłaca dywidendy, są stosowane rzadko.
Syntetyczne akcje lub indeksy (precyzyjniej: syntetyczne kontrakty forward na akcje lub indeksy). Sprzedaż akcji syntetycznej (indeksu syntetycznego) polega na wystawieniu opcji kupna i nabyciu opcji sprzedaży o identycznych: cenie bazowej i terminie wygasania. Nabycie akcji syntetycznej (indeksu syntetycznego) to połączenie nabycia opcji kupna i wystawienia opcji sprzedaży o identycznych: cenie bazowej i terminie wygasania.
Znaczna część inwestorów działających na rynku opcji wykorzystuje model dwumianowy (dwudzielny, binomial model). Jest on oparty na dwumianowym (dwudzielnym) drzewie decyzyjnym i stochastycznie modelowanym rozkładzie prawdopodobieństw. Podstawową rolę odgrywa założenie, że w każdym z wielu analizowanych okresów akcja lub indeks - bazowy instrument, na który opiewa opcja, może w z góry określonym stopniu podrożeć (wzrosnąć) lub stanieć (spaść). Inne zmiany poziomu notowań nie są możliwe. Założenie to pozwoliło na podanie wzorów, dzięki którym można określić niezmienne we wszystkich okresach prawdopodobieństwa wzrostu albo spadku kursu akcji lub poziomu indeksu. Zbudowany algorytm odpowiada więc dwudzielnemu drzewu decyzyjnemu o stałych prawdopodobieństwach sukcesów i porażek (odpowiednio wzrostów i spadków cen akcji lub notowań indeksu), czyli spełnia warunki schematu Bernouliego. Wykorzystanie związanych z tym zależności pozwoliło na określenie ogólnych formuł wyceny opcji kupna i sprzedaży Poniższe wzory - przy założeniu braku przyznania prawa do dywidendy w okresie ważności opcji):
n
* c = 1/rrn {[(n)/(k(n-k))] prk (1 - pr)n-k max (0, uk fn-kS - X)},
k=0
n
** p = 1/rrn {[(n)/(k(n-k))] prk (1 - pr)n-k max (0, X - uk fn-kS)}.
k=0
Poszczególne, nie wyjaśnione uprzednio symbole oznaczają:
n - liczba analizowanych okresów (iteracji),
k - kolejne okresy,
rr - współczynnik dyskonta dla pojedynczego okresu, wyznaczany zgodnie z wzorem:
rr = 1 + r t / n,
pr - prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji lub poziomu indeksu w pojedynczym okresie, wyznaczane jako:
pr = (rr - f) / (u - f),
u - dynamika wzrostu ceny akcji lub poziomu indeksu w pojedynczym okresie wynosząca:
u = exp [z (t / n) 0,5],
f - dynamika spadku ceny akcji lub poziomu indeksu w pojedynczym okresie wynosząca:
f = 1/u.
W praktycznych szacunkach premii opcyjnych, zwłaszcza dla mniejszej liczby analizowanych okresów, można wykorzystać formuły (*) i (**). Jednak prawie nikt, poza przykładami akademickimi, tak nie robi. Analitycy stosujący model dwumianowy opierają się na procedurze iteracyjnej pozwalającej także wyceniać opcje stylu (rodzaju) amerykańskiego oraz uwzględnic dywidendy, której podstawą są zależności:
*** Ci,j = max{ [pr Ci+1,j + (1 - pr) Ci+1,j+1] / rr, Si,j - X},
**** Pi,j = max{ [pr Pi+1,j + (1 - pr) Pi+1,j+1] / rr, X - Si,j },
gdzie:
Ci,j - cena opcji kupna w i - tym okresie (iteracji) na j - tym z możliwych dla i - tego okresu, poczynając od najwyższego, poziomie,
Pi,j - cena opcji sprzedaży w i - tym okresie (iteracji) na j - tym z możliwych dla i - tego okresu, poczynając od najwyższego, poziomie,
Si,j - cena akcji bazowej lub poziom indeksu w i - tym okresie (iteracji) na j - tym z możliwych dla i - tego okresu, poczynając od najwyższego, poziomie,
i = 1, 2, ..., n - okresy (iteracje),
j = 0, ..., i - numery możliwych w i - tym okresie, poczynając od najwyższego, poziomów cen odpowiednio: opcji kupna, opcji sprzedaży oraz akcji bazowej lub poziomu indeksu.
Procedura obejmuje 2 etapy: “tworzenia drzewa cenowego” oraz wuceny opcji.
Obliczenia pierwszego etapu rozpoczyna się od wyznaczenia, na podstawie rynkowej ceny akcji lub poziomu indeksu w momencie wyceny opcji, możliwych cen akcji lub poziomów indeksu dla każdego okresu (iteracji), oznaczonych jako Si,j. Kalkulację zaczyna się od okresu pierwszego. Potem wyznaczane są ceny akcji lub poziomy indeksu dla okresów drugiego, trzeciego i kolejnych, aż do ostatniego (n-tego).
Następnie przeprowadzany jest drugi etap procedury. Rozpoczyna się on od wyznaczenia, dla poszczególnych cen akcji lub poziomów indeksu w n-tym okresie (iteracji), wypłat (równych premiom opcji) związanych z realizacją opcji w terminie wygaśnięcia. Potem, na podstawie wzorów (***) lub (****), przechodzi się kolejno przez poszczególne, coraz wcześniejsze okresy. Szukana premia opcji to cena opcji na początku pierwszego okresu (iteracji)1. Procedura taka, chociaż pozornie żmudna, pozwala na szybkie wyznaczenie premii opcyjnych, niemniej niewątpliwie jest bardziej złożona od modeli Blacka-Scholesa i Mertona. Ale pozwala także na wycenę opcji stylu (rodzaju) amerykańskiego) oraz uwzglednienie dywidend.
Zależności (***) i (****) można wykorzystać także do wyceny opcji na akcje spółek wypłacających dywidendy oraz opcji indeksowych z uwzględnieniem dywidend. Podstawą jest wówczas obniżenie (o kwotę dywidendy lub, co stosowane jest częściej, chociaż nie jest precyzyjne, zgodnie ze wskaźnikiem równym ilorazowi dywidendy i ceny akcji, przyjętej jako jednolita wielkość, a nie wielkość odmienna dla różnych poziomów prognozowanej ceny w danej iteracji) cen akcji bazowej lub poziomu indeksu dla okresów następujących po przyznaniu prawa do dywidendy.
Przykład (przy odpowiadajacym rzeczywistości założeniu o braku dywidend). Procedura wyceny przy wykorzystaniu modelu dwumianowego (przyjęto 10 okresów - iteracji) na przykładzie wyceny opcji po cenie, ATM (czyli o cenie bazowej równej 10 zł) o 1-miesięcznym okresie ważności. Podstawowe parametry wycenianej opcji na akcje Uniwersalu S.A. (celowo została wybrana spółka już od dawna nie notowana i nieaktualne, ale prawdziwe wówczas dane) wynoszą:
- rynkowa cena akcji 2 IV 1997 r.: S = 9,55 zł,
- cena wykonania opcji: X = 10 zł,
- historyczna zmienność notowań akcji: z = 61% (bardzo wysoka na tle typowej zmienności akcji innych spółek i indeksów giełdowego rynku akcji),
- okres ważności opcji: t = 1 miesiąc (1/12 roku),
- stopa procentowa przy założeniu ciągłej kapitalizacji: r = 18,23% (znacznie wyższa od obecnej wielkości).
Na podstawie podanych wielkości wyznaczono:
rr = 1,0015, pr = 0,4997, u = 1,0573, f = 0,9458.
W pierwszym etapie dokonujący wyceny opcji metodą dwumianową, po obliczeniu powyższych wartości, powinien wyznaczyć dla każdej iteracji możliwe poziomy ceny akcji. Ilustruje to ogólnie schemat 1. Punktem wyjścia jest aktualna, w momencie wyceny, rynkowa cena akcji (oznaczona jako S). Następnie określane są ceny dla pierwszej iteracji, wynoszące odpowiednio Su oraz Sf. Potem kolejno wyznaczane są możliwe ceny akcji w iteracjach drugiej, trzeciej i kolejnych, aż do dziesiątej. Odpowiednie wzory podano na schemacie 12, natomiast wyniki opisanego postępowania zostały przedstawione na schemacie 2.
Opisane postępowanie jest jednakowe zarówno w przypadku opcji kupna, jak i opcji sprzedaży. Następny, drugi etap procedury wymaga jednak odrębnego postępowania dla obu typów opcji. Jako pierwsza zostanie przedstawiona wycena opcji kupna.
Wycena opcji kupna metodą dwumianową jest oparta na wykorzystaniu możliwych cen akcji dla poszczególnych iteracji (przedstawionych na schemacie 2). Znajomość tych cen dla iteracji ostatniej (w przykładzie jest to iteracja 10) oraz ceny wykonania opcji pozwala na wyznaczenie przychodu inwestora z realizacji opcji kupna w terminie zapadalności. Przychód ten jest równy dodatniej różnicy ceny akcji i ceny wykonania opcji lub zeru (gdy ta różnica nie jest dodatnia). Ilustruje to schemat 3. Dalsze postępowanie oparte jest na wykorzystaniu wzoru (***). Formuła ta pozwala na wyznaczanie premii opcji dla poszczególnych poziomów cen akcji w iteracjach dziewiątej, ósmej, siódmej i tak, kolejno, aż do iteracji pierwszej i zerowej. Otrzymana na końcu (dla iteracji 0) liczba jest szukaną premią opcji kupna. Jak wynika za schematu 3 wynosi ona, w skali 1 akcji, 0,55 zł.
Podobny jest przebieg wyceny opcji sprzedaży. Znajomość ceny wykonania opcji oraz możliwych cen akcji, przedstawionych na schemacie 2, dla iteracji ostatniej (w przykładzie jest to iteracja 10) pozwala na wyznaczenie przychodu inwestora z realizacji opcji sprzedaży. Przychód ten jest równy dodatniej różnicy ceny wykonania opcji i ceny akcji lub zeru (gdy ta różnica nie jest dodatnia). Ilustruje to schemat 4. Dalsze postępowanie oparte jest na wykorzystaniu wzoru (****). Formuła ta pozwala na wyznaczanie premii opcji dla poszczególnych poziomów cen akcji w iteracjach dziewiątej, ósmej, siódmej i tak, kolejno, aż do iteracji pierwszej i zerowej. Otrzymana na końcu liczba jest szukaną premią opcji sprzedaży. Jak wynika za schematu 4 wynosi ona, w skali 1 akcji, 0,87 zł.
Schemat 1. Formuły wyznaczania możliwych cen akcji w poszczególnych iteracjach modelu dwumianowego (dla n=10)
Iteracja:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Su10
Su9
Su8 Su8
Su7 Su7
Su6 Su6 Su6
Su5 Su5 Su5
Su4 Su4 Su4 Su4
Su3 Su3 Su3 Su3
Su2 Su2 Su2 Su2 Su2
Su Su Su Su Su
S S S S S S
Sf Sf Sf Sf Sf
Sf2 Sf2 Sf2 Sf2 Sf2
Sf3 Sf3 Sf3 Sf3
Sf4 Sf4 Sf4 Sf4
Sf5 Sf5 Sf5
Sf6 Sf6 Sf6
Sf7 Sf7
Sf8 Sf8
Sf9
Sf10
Schemat 2. Możliwe ceny akcji w poszczególnych iteracjach modelu dwumianowego wyceny jednomiesięcznych opcji na akcje Uniwersalu S.A.
Iteracja:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16,67
15,76
14,91 14,91
14,10 14,10
13,34 13,34 13,34
12,62 12,62 12,62
11,93 11,93 11,93 11,93
11,29 11,29 11,29 11,29
10,68 10,68 10,68 10,68 10,68
10,10 10,10 10,10 10,10 10,10
9,55 9,55 9,55 9,55 9,55 9,55
9,03 9,03 9,03 9,03 9,03
8,54 8,54 8,54 8,54 8,54
8,08 8,08 8,08 8,08
7,64 7,64 7.64 7,64
7,23 7,23 7,23
6,84 6,84 6,84
6,47 6,47
6,12 6,12
5,79
5,47
Schemat 3. Wycena jednomiesięcznych opcji kupna akcji Uniwersalu S.A. metodą dwumianową (dla n = 10)
Iteracja:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16,67
6,67
15,76
5,76
14,91 14,91
4,91 4,91
14,10 14,10
4,10 4,10
13,34 13,34 13,34
3,34 3,34 3,34
12,62 12,62 12,62
2,66 2,62 2,62
11,93 11,93 11,93 11,93
2,05 1,99 1,93 1,93
11,29 11,29 11,29 11,29
1,54 1,46 1,37 1,29
10,68 10,68 10,68 10,68 10,68
1,12 1,03 0,93 0,81 0,68
10,10 10,10 10,10 10,10 10,10
0,79 0,71 0,61 0,49 0,34
9,55 9,55 9,55 9,55 9,55 9,55
0,55 0,47 0,38 0,29 0,17 0,00
9,03 9,03 9,03 9,03 9,03
0,31 0,24 0,16 0,08 0,00
8,54 8,54 8,54 8,54 8,54
0,14 0,09 0,04 0,00 0,00
8,08 8,08 8,08 8,08
0,05 0,02 0,00 0,00
7,64 7,64 7.64 7,64
0,01 0,00 0,00 0,00
7,23 7,23 7,23
0,00 0,00 0,00
6,84 6,84 6,84
0,00 0,00 0,00
6,47 6,47
0,00 0,00
6,12 6,12
0,00 0,00
5,79
0,00
5,47
0,00
Schemat 4. Wycena jednomiesięcznych opcji sprzedaży akcji Uniwersalu S.A. metodą dwumianową (dla n = 10)
Iteracja:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
16,67
0,00
15,76
0,00
14,91 14,91
0,00 0,00
14,10 14,10
0,00 0,00
13,34 13,34 13,34
0,00 0,00 0,00
12,62 12,62 12,62
0,01 0,00 0,00
11,93 11,93 11,93 11,93
0,07 0,03 0,00 0,00
11,29 11,29 11,29 11,29
0,17 0,12 0,06 0,00
10,68 10,68 10,68 10,68 10,68
0,35 0,28 0,21 0,11 0,00
10,10 10,10 10,10 10,10 10,10
0,58 0,52 0,47 0,35 0,23
9,55 9,55 9,55 9,55 9,55 9,55
0,87 0,82 0,76 0,69 0,60 0,45
9,03 9,03 9,03 9,03 9,03
1,17 1,13 1,08 1,03 0,97
8,54 8,54 8,54 8,54 8,54
1,52 1,49 1,47 1,46 1,46
8,08 8,08 8,08 8,08
1,91 1,91 1,92 1,92
7,64 7,64 7.64 7,64
2,34 2,36 2,36 2,36
7,23 7,23 7,23
2,77 2,77 2,77
6,84 6,84 6,84
3,16 3,16 3,16
6,47 6,47
3,53 3,53
6,12 6,12
3,88 3,88
5,79
4,21
5,47
4,53
Dobierając metodę wyceny opcji inwestor w miarę możliwości powinien próbować w pierwszej kolejności wykorzystać model najprostszy (Blacka-Scholesa), następnie model nieco bardziej złożony (Mertona). Tylko w przypadku gdy zastosowanie tych modeli nie jest uzasadnione należy zastosować model najbardziej złożony (dwumianowy). W praktyce w pełni zadowalające wyniki daje wycena:
opcji kupna (stylu europejskiego oraz stylu amerykańskiego) na akcje spółek nie przyznających prawa do dywidendy w okresie życia opcji oraz, odpowiednio, na indeksy ważnych w okresie, w którym żadna ze spółek portfelowych nie przyzna prawa do dywidendy - modelem Blacka-Scholesa,
opcji kupna na akcje spółek przyznających prawa do dywidendy w okresie życia opcji (stylu europejskiego) oraz, odpowiednio, na indeksy - modelem Blacka-Scholesa po dodatkowej korekcie rynkowej ceny akcji (lub, odpowiednio, poziomu indeksu) o zaktualizowaną wartość dywidendy (czyli po przyjęciu S' = S - D) lub modelem Mertona,
opcji kupna na akcje spółek przyznających prawa do dywidendy w okresie życia opcji (stylu amerykańskiego) oraz, odpowiednio, na indeksy - modelem dwumianowym,
opcji sprzedaży na akcje spółek nie przyznających prawa do dywidendy w okresie życia opcji (stylu europejskiego) oraz, odpowiednio, na indeksy - modelem Blacka-Scholesa,
opcji sprzedaży na akcje spółek przyznających prawa do dywidendy w okresie życia opcji (stylu europejskiego) oraz, odpowiednio, na indeksy - modelem Blacka-Scholesa po dodatkowej korekcie rynkowej ceny akcji (lub odpowiednio poziomu indeksu) o zaktualizowaną wartość dywidendy (czyli po przyjęciu S' = S - D) lub modelem Mertona,
opcji sprzedaży na akcje (zarówno spółek przyznających prawa do dywidendy jak i nie przyznających prawa do dywidendy w okresie życia opcji) stylu amerykańskiego oraz, odpowiednio, na indeksy - modelem dwumianowym.
Delta opcji to zmiana premii opcyjnej podzielona przez niewielką zmianę ceny instrumentu bazowego (ceny akcji lub indeksu).
W celu wyznaczenia delty wykorzystuje się analityczne modele wyceny opcji. Najczęściej jest to model Blacka-Scholesa albo model Mertona. Zgodnie z nimi delta posiadanej opcji kupna jest określona wzorem:
Deltacall = N(d1) albo Deltacall = e-d . t N(d1)
gdzie d1 określone jest tak, jak podano podczas prezentacji wzorów Blacka-Scholesa oraz Mertona, natomiast N() jest wartością dystrybuanty (skumulowaną wartością funkcji gęstości) dla rozkładu normalnego.
Gelta posiadanej opcji kupna jest liczbą z przedziału (0;1).
Delta posiadanej opcji sprzedaży odpowiada wzorowi:
Deltaput = N(d1) - 1 albo Deltaput = e-d . t [N(d1) - 1] .
Jest ona wielkością niedodatnią nie mniejszą od -1.
Zgodnie z parytetem put-call dla opcji europejskich i przy braku dywidend deltacall - deltaput = 1.
Do punktu 4
Strategia spread (czasem stosowane polskie określenia, np. rozpiętość, strategia rozpiętościowa) polega na jednoczesnym nabyciu i wystawieniu identycznych liczb opcji tego samego typu (albo opcji kupna albo opcji sprzedaży) o:
- identycznym terminie wygasania, lecz różnych cenach wykonania (spread pionowy),
- identycznych cenach wykonania, lecz różnych terminach wygasania (spread poziomy, czasowy),
- różnych cenach wykonania i różnych terminach wygasania (spread ukośny, diagonalny).
Straddle (stelaż) polega na jednoczesnym:
- nabyciu jednakowej liczby opcji kupna i opcji sprzedaży o tym samym terminie wygasania i cenie wykonania (kupno straddle, długi straddle),
- wystawieniu jednakowej liczby opcji kupna i opcji sprzedaży o tym samym terminie wygasania i cenie wykonania (wystawienie straddle, krótki straddle).
Strangle (rozszerzony stelaż) polega na jednoczesnym:
- nabyciu jednakowej liczby opcji kupna i opcji sprzedaży o tym samym terminie wygasania, lecz o różnych cenach wykonania (kupno strangle, długi strangle),
- wystawieniu jednakowej liczby opcji kupna i opcji sprzedaży o tym samym terminie wygasania, lecz o różnych cenach wykonania (wystawienie strangle, krótki strangle).
Motyl (określany też jako spread motyl, butterfly spread) w najprostszej formie polega na zajęciu pozycji opcyjnej opartej na opcjach tego samego typu (albo opcje kupna albo opcje sprzedaży) o identycznym terminie wygasania, ale o trzech różnych cenach wykonania. Wystawienie motyla (short butterfly, dosł.: “krótki motyl”) polega na wystawieniu opcji o niższej (X1) i wyższej (X3) cenach wykonania przy równoczesnym nabyciu dwóch opcji o przeciętnej (X2) cenie wykonania. Działanie przeciwne określane jest jako kupno motyla (long butterfly, dosł.: “długi motyl”). Polega ono na nabyciu po jednej opcji o niskiej i wysokiej cenie wykonania przy jednoczesnym wystawieniu dwóch opcji o przeciętnej cenie wykonania.
Żelazny motyl (iron butterfly) jest połączeniem straddle i strangle, przy czym:
nabycie żelaznego motyla polega na zakupie straddle i sprzedaży strangle,
sprzedaż (wystawienie) żelaznego motyla polega na sprzedaży straddle i zakupie strangle.
Przykładowy zakup żelaznego motyla, czyli “długi żelazny motyl” (long iron butterfly), to jednoczesne:
a) zakup opcji kupna z ceną wykonania X2 zł,
b) zakup opcji sprzedaży ceną wykonania X2 zł,
c) sprzedaż opcji kupna z ceną wykonania X3 zł,
d) sprzedaż opcji sprzedaży z ceną wykonania X1 zł,
X1 < X2 <X3.
Odwrotne transakcje, czyli np. równoczesne:
a) sprzedaż opcji kupna z ceną wykonania X2 zł,
b) sprzedaż opcji sprzedaży ceną wykonania X2 zł,
c) nabycie opcji kupna z ceną wykonania X3 zł,
d) nabycie opcji sprzedaży z ceną wykonania X1 zł,
X1 < X2 <X3
ilustrują sprzedaż (wystawienie) żelaznego motyla, lub “krótki żelazny motyl” (short iron butterfly).
Kondor jest oparty na 4 seriach opcji. Ceny wykonania każdej z serii opcji są różne, a wszystkie opcje są tego samego typu (opcje kupna albo opcje sprzedaży), wygasają w tym samym terminie.
Przykładowe kupno kondora (“długi kondor”, long condor) to:
a) nabycie opcji kupna o cenie wykonania X1,
b) sprzedaż opcji kupna o cenie wykonania X2,
c) sprzedaż opcji kupna o cenie wykonania X3,
d) nabycie opcji kupna o cenie wykonania X4,
X1 < X2 < X3 < X4.
Przykładowa sprzedaż (wystawienie) kondora (“krótki kondor”, short condor), opartego na identycznych opcjach kupna:
a) sprzedaż opcji kupna o cenie wykonania X1,
b) nabycie opcji kupna o cenie wykonania X2,
c) nabycie opcji kupna o cenie wykonania X3.
d) sprzedaż opcji kupna o cenie wykonania X4,
X1 < X2 < X3 < X4.
Choinka (stosowana także nazwa drabina, na niektórych rynkach choinka jest definiowana inaczej niż w niniejszym opisie; na rynku walutowym stosowana jest częściej nazwa ratio spread, momo że właściwie jest to określenie szerszej grupy) jest metodą opartą na trzech seriach opcji tego samego typu, o tym samym terminie wygasania. Kupno choinki (określane także jako “długa choinka”, long Christmas tree) polega na:
I. Nabyciu opcji kupna o niskiej cenie wykonania połączonym z jednoczesną sprzedażą dwóch opcji kupna o wyższych, a zarazem różnych, cenach wykonania. Jest to nabycie choinki opartej na opcjach kupna (long call Christmas tree).
II. Nabyciu opcji sprzedaży o wysokiej cenie wykonania połączonym z jednoczesną sprzedażą dwóch opcji sprzedaży o niższych, a zarazem różnych, cenach wykonania. Jest to nabycie choinki opartej na opcjach sprzedaży (long put Christmas tree).
Przeciwne czynności określane są jako sprzedaż choinki (“krótka choinka”, short Christmas tree). Może to być:
III. Sprzedaż opcji kupna o niskiej cenie wykonania połączona z jednoczesnym nabyciem dwóch opcji kupna o wyższych, a zarazem różnych, cenach wykonania. Jest to sprzedaż (wystawienie) choinki opartej na opcjach kupna (short call Christmas tree).
IV. Sprzedaż opcji sprzedaży o wysokiej cenie wykonania połączona z jednoczesnym kupnem dwóch opcji sprzedaży o niższych, a zarazem różnych, cenach wykonania. Jest to sprzedaż (wystawienie) choinki opartej na opcjach sprzedaży (short put Christmas tree).
Paski (strips) i uchwyty (straps) są metodami zbliżonymi do straddle, z tym, że nabywane lub sprzedawane są nie równe liczby opcji kupna i opcji sprzedaży, lecz:
dwukrotnie większa liczba opcji sprzedaży (paski, strips), albo
dwukrotnie większa liczba opcji kupna (uchwyty, straps).
Ceny wykonania wszystkich opcji powinny być identyczne oraz, najczęściej, zbliżone do aktualnej rynkowej ceny akcji lub poziomu indeksu. Specyficzną cechą pasków i uchwytów jest sporadyczne wykorzystywanie przez inwestorów strategii opartych na wystawianiu odpowiednich opcji (krótki pasek - short strip oraz krótki uchwyt - short strap). Najczęściej wykorzystuje się strategie oparte na nabyciu opcji (długi pasek - long strip oraz długi uchwyt - long strap).
Podstawowym celem inwestora wykorzystującego strategie o neutralnej delcie (delta pozycji jest początkowo zbliżona do 0) jest gra na zmienność cen akcji bazowych (niezależnie od kierunku zmiany cen). Najprostsze strategie o neutralnej delcie oparte na wystawionych opcjach przyniosą dochód, jeżeli obniży się zmienność cen akcji bazowych. Natomiast jeżeli zmienność znacznie się zwiększy, to dochody osiągną nabywcy opcji, z których składa się strategia o neutralnej delcie. Wykorzystywane są również liczne strategie bardziej złożone. Większość z nich zaliczana jest do kategorii spreadów opartych na zmienności (volatility spreads).
Spread oparty na zmienności (volatility spread) powinien spełniać następujące, podstawowe warunki:
Neutralna (czyli równa 0 lub bliska 0) delta.
Wartość pozycji powinna się zmieniać po zmianie ceny akcji bazowej lub indeksu bazowego.
Wartość pozycji powinna się zmieniać po korekcie zmienności cen akcji bazowej lub indeksu bazowego.
Wartość pozycji powinna się zmieniać w miarę upływu czasu.
Do specyficznych3 form nabycia spreadu opartego na zmienności należy zaliczyć tzw. spready wsteczne (określane po angielsku jako backspreads, ratio backspreads lub long ratio backspreads). Są to spready o zerowej delcie zbudowane z większej liczby nabytych opcji o niższych deltach oraz mniejszej liczby wystawionych opcji tego samego typu, ale o wyższych deltach, przy czym termin wygasania wszystkich opcji jest identyczny.
Pozycja inwestycyjna odwrotna do spreadu wstecznego określana jest jako spread pionowy zrównoważony (spread pionowy o neutralnej delcie, po angielsku: ratio vertical spread, ratio spread, short ratio spread lub front spread). Wykorzystywana jest ona przez inwestorów uważających, że rynkowe ceny akcji lub poziom indeksu będą stabilne. Dla większości inwestorów indywidualnych spread pionowy zrównoważony jest mniej atrakcyjny od spreadu wstecznego ze względu na ograniczony poziom potencjalnych dochodów przy bardzo wysokich, możliwych stratach.
Do spreadów opartych na zmienności można zaliczyć także szereg innych strategii. Część inwestorów decyduje się na wykorzystanie zmodyfikowanych straddle lub strangle opartych nie na równych liczbach opcji obu typów, lecz takich, aby delta pozycji wynosiła 0. Także grę na różnicę czasu (spread poziomy) liczni inwestorzy przekształcają w technikę o neutralnej delcie. Liczba opcji o bliższym terminie wygasania, czyli opcji o niższych deltach, jest wówczas większa od liczby opcji o dłuższym okresie ważności. Podobne działania mogą dotyczyć praktycznie wszystkich złożonych strategii spekulacji.
Do nabywanych spreadów opartych na zmienności, czyli takich, których gamma jest dodatnia, a zarazem inwestor osiągnie dochód po wzroście zmienności cen akcji bazowych, są zaliczane m. in. następujące strategie o neutralnej delcie:
spread wsteczny (backspread),
nabycie straddle,
nabycie strangle,
wystawienie motyla.
Do wystawianych spreadów opartych na zmienności, czyli takich, których gamma jest ujemna, a zarazem inwestor osiągnie dochód po zmniejszeniu zmienności cen akcji bazowych, są zaliczane m. in. następujące strategie o neutralnej delcie:
spread pionowy zrównoważony (ratio vertical spread),
wystawienie straddle,
wystawienie strangle,
kupno motyla.
Do punktu 5
Zgodnie z tradycyjną (i nadal najlepszą dla “zwykłych” inwestorów) strategią, jeżeli zabezpieczeniem posiadanych akcji są:
opcje na akcje, to nabywana jest liczba opcji sprzedaży opiewająca na liczbę posiadanych przez inwestora akcji; np. zabezpieczeniem 1500 akcji spółki TP S.A. są opcje sprzedaży opiewające na 1500 akcji tej spółki,
opcje indeksowe, to nabywana liczba opcji sprzedaży zależy od współczynnika beta akcji danej spółki; np. zabezpieczeniem 1500 akcji spółki TP S.A. (o beta równym 1,5) są indeksowe opcje sprzedaży opiewające na 1500 *1,5 = 2250 jednostek indeksu (o wartości równej zabezpieczanemu kursowi akcji); gdy zabezpieczany kurs akcji wynosi 20 zł, a wartość opcji indeksowej obliczona na podstawie ceny wykonania (3200 pkt.) to 32000 zł, zabezpieczeniem jest nabycie 2250 . 20 / 32000 = 1,4 opcji indeksowej (czyli, w praktyce, 1 albo 2 opcji, przy czym zabezpieczenie będzie niepełne albo nadmierne).
Beta jest najczęściej (i najprościej) obliczana na podstawie danych historycznych zgodnie z wzorem:
n n
beta = [(RMi -RMs)(Rai -Ras)] / [(RMi -RMs)2
i=1 i=1
gdzie:
n - liczba okresów analizy cen akcji i indeksów,
RMi - stopa zwrotu z indeksu w okresie i - tym,
RMs - średnia arytmetyczna stopa zwrotu z indeksu,
Rai - stopa zwrotu z akcji danej spółki w okresie i - tym,
Ras - średnia arytmetyczna stopa zwrotu z akcji danej spółki.
Uwaga: podana metoda liczenia współczynnika beta jest różna od zasad liczenia korelacji; w rezultacie korelacja zawarta jest w przedziale <-1;1>, natomiast beta nie ma takich ograniczeń (tu czasem błędy, nawet w publikacjach).
Wyznaczona delta pozwala inwestorowi między innymi na określenie, jaka liczba instrumentów bazowych (np. akcji) stanowi zabezpieczenie wystawionych opcji kupna lub jaką liczbę instrumentów bazowych (np. akcji) należy sprzedać, aby zabezpieczyć wystawione opcje sprzedaży. Odpowiadają one wzorom:
Acall = Deltacall Lcall Icall,
gdzie:
Acall - liczba instrumentów bazowych (np. akcji), którą należy zabezpieczyć wystawione opcje kupna,
Lcall - liczba instrumentów bazowych (np. akcji), na jaką opiewa pojedyncza opcja,
Icall - liczba wystawionych opcji kupna,
Aput = - Deltaput Lput Iput,
gdzie:
Aput - liczba sprzedanych instrumentów bazowych (np. akcji), którą należy zabezpieczyć wystawione opcje sprzedaży,
Lput - liczba instrumentów bazowych (np. akcji), na jaką opiewa pojedyncza opcja,
Iput - liczba wystawionych opcji sprzedaży.
Czasem zamiast delty wykorzystywana jest wielkość określana jako stopa hedgingu równa:
Hcall = 1/Deltacall,
Hput = - 1/Deltaput,
gdzie Hcall jest stopą hedgingu dla opcji kupna, a Hput stopą hedgingu dla opcji sprzedaży. Stopa hedgingu jest interpretowana jako taka liczba opcji (z których każda opiewa na 1 sztukę instrumentu bazowego, np. na 1 akcję), że łączna zmiana wartości tych opcji równoważy zmianę wartości 1 sztuki instrumentu bazowego o jednostkę.
Do punktu 6
Konwersja (conversion) polega na połączeniu kupna akcji (lub akcji z portfela indeksu) ze sprzedażą akcji syntetycznych (lub indeksu syntetycznego), przy czym początkowe saldo wpływów i wydatków inwestora powinno być takie aby, niezależnie od późniejszych rynkowych cen akcji, inwestor osiągał zysk.
Odwrócona konwersja (reversal) polega na krótkiej sprzedaży akcji (lub akcji z portfela indeksu) połączonej z kupnem akcji syntetycznych (indeksu syntetycznego).
Pudełka (boxes) są oparte na podobnych, co konwersja i odwrócona konwersja, założeniach, ale dodatkowo następuje pełna eliminacja pozycji na rynku akcji.
Kupno pudełka (“długie” pudełko, long option box) jest połączeniem zakupu akcji syntetycznej (indeksu syntetycznego) o niższej cenie wykonania i sprzedaży akcji syntetycznej, czyli krótkiej sprzedaży akcji syntetycznej (indeksu syntetycznego) o wyższej cenie wykonania. Odpowiada to równoczesnemu:
a) zakupowi opcji kupna i wystawieniu opcji sprzedaży o jednakowej cenie wykonania,
b) wystawieniu opcji kupna i zakupowi opcji sprzedaży o jednakowej, ale wyższej niż w punkcie a, cenie wykonania.
Terminy wygasania wszystkich opcji powinny być identyczne.
Wystawienie (sprzedaż) pudełka to połączenie sprzedaży akcji syntetycznej, czyli krótkiej sprzedaży akcji syntetycznej (indeksu syntetycznego) o niższej cenie wykonania i kupna akcji syntetycznej (indeksu syntetycznego) o wyższej cenie wykonania. Odpowiada to równoczesnemu:
a) zakupowi opcji sprzedaży i wystawieniu opcji kupna o jednakowej cenie wykonania,
b) wystawieniu opcji sprzedaży i zakupowi opcji kupna o jednakowej, ale wyższej niż w punkcie a, cenie wykonania.
Terminy wygasania wszystkich opcji, tak jak i dla kupna pudełka, powinny być identyczne.
Podobnie, jak dla konwersji oraz odwróconej konwersji, powodzenie inwestora stosującego pudełka zależy od relacji i różnic premii opcji, natomiast nie jest zależne od rynkowej ceny akcji (lub indeksu). Także ta strategia arbitrażu, ze względu na wyższe koszty transakcyjne, nie jest w praktyce dostępna dla inwestorów nie będących animatorami rynku (market-makers) lub członkami giełdy i izby rozrachunkowej.
Jelly Rolls (rolls)4 są strategią arbitrażu, w której wykorzystano opcje różniące się terminem wygasania. Można też określić je jako połączenia konwersji i odwróconych konwersji o identycznych cenach wykonania, lecz różnych terminach zapadalności opcji, przy czym pozycje akcyjne związane z konwersją i odwróconą konwersją wzajemnie się znoszą.
Precyzyjnie Jelly Rolls można określić jako połączenie zakupu akcji syntetycznej na jeden termin oraz krótkiej sprzedaży akcji syntetycznej na inny termin, przy czym ceny bazowe wszystkich opcji są identyczne. Przykładem takiej operacji jest jednoczesne:
- nabycie opcji kupna z terminem zapadalności 18 marca,
- nabycie opcji sprzedaży z terminem zapadalności 21 czerwca,
- wystawienie opcji kupna z terminem zapadalności 21 czerwca,
- wystawienie opcji sprzedaży z terminem zapadalności 18 marca.
Strategia ta ma zasadniczo sens tylko dla opcji stylu amerykańskiego.
Oprócz przedstawionych inwestorzy działający na dużą skalę, najczęściej będący członkami giełdy, wykorzystują także inne, dostępne okazje do osiągnięcia dochodów z arbitrażu. Określane są one ogólnie jako arbitraż z wykorzystaniem wartości teoretycznych opcji. Szanse takiego arbitrażu mogą być pochodną układu premii opcji o różnych cenach bazowych.
Cechą specyficzną większości strategii arbitrażu z wykorzystaniem wartości teoretycznych opcji jest zależność wyniku finansowego osiąganego przez inwestora od rynkowej ceny akcji (lub poziomu indeksu). Natomiast opisane wcześniej strategie (konwersje i odwrócone konwersje, pudełka i Jelly Rolls) charakteryzował stały, dodatni wynik finansowy.
Arbitraż na giełdowym rynku opcji nie jest, wbrew ogólnej definicji tej kategorii, pozbawiony ryzyka. Podstawowe, najczęściej podawane czynniki ryzyka to:
- możliwość zmiany stóp procentowych, a więc i zmiany kosztów związanych z utrzymywaniem akcji lub krótką pozycją (krótką sprzedażą akcji),
- dotyczące przede wszystkim opcji stylu amerykańskiego ryzyko realizacji poszczególnych transakcji w różnych warunkach cenowych (np. wystawiona przez inwestora opcja została zrealizowana, a nieco późniejsze zamknięcie pozostałych elementów pozycji nastąpiło po mniej korzystnych cenach),
- ryzyko “ukłucia szpilką” (pin risk), dotyczące tylko opcji na akcje rozliczanych przez rzeczywistą dostawę,
- ryzyko dywidendy, czyli ryzyko związane z nieznaną kwotą przyszłej dywidendy z akcji.
Do wymienionych można dodać także inne, rzadziej występujące kategorie ryzyka, jak np. ryzyko zmiany poziomu kosztów transakcyjnych czy ryzyko zmiany sposobu określania depozytów zabezpieczających.
1 W przypadku wyceny opcji europejskich lub opcji amerykańskich, gdy na pewno nie jest celowa realizacja opcji wcześniej niż w terminie wygaśnięcia, można zastosować uproszczoną procedurę drugiego etapu. Polega ona na zdyskontowaniu na moment 0 wypłat z realizowanej opcji dla poszczególnych poziomów ceny w ostatniej iteracji. Poszczególne zdyskontowane wielkości są ważone wielkościami odpowiednich prawdopodobieństw (osiągnięcia danego poziomu ceny w ostatniej iteracji) a następnie sumowane. Takie uproszczone postępowanie nie może być jednak wykorzystane w przypadku opcji amerykańskich, gdy realna jest przedterminowa realizacji opcji. A właśnie wtedy najczęściej stosuje się model dwumianowy.
2 Dokonujący obliczeń powinien dodatkowo uwzględnić, że f = 1/u, a więc np. u4 f = u3, u2 f4 = f2 lub u4 f4 = 1, itd.
3 Wiele z poprzednio opisanych strategii spekulacji można skonstruować jako strategie oparte na zmienności (w praktyce w momencie otwierania pozycji powinna mieć ona deltę równą - w przybliżeniu - zero, co przy płynnym rynku serii o różnych cenach bazowych nie jest trudne do spełnienia).
4 Nazwa ta została wprowadzona przez uczestników obrotu na amerykańskiej giełdzie CBOE. Obecnie nie tylko nie ma ona polskiego odpowiednika, ale trudno zaproponować tłumaczenie oddające sens oryginalnego, amerykańskiego określenia.