Większość decyzji z zakresu zarządzania finansami związana jest z porównywaniem wartości strumieni pieniężnych teraz i w przyszłości.

Pieniądz jak każde dobro ma swą wartość, którą wyraża jego cena - stopa procentowa, która podlega wahaniom w czasie ( spowodowane jest to zjawiskiem aprecjacji i deprecjacji pieniądza pod wpływem zmian cen towarów i usług). Konsekwencją zmiennej wartości pieniądza w czasie jest to, że przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju działań mających skutki finansowe, zachodzi konieczność porównywania kwot pieniężnych pochodzących z różnych okresów. Podstawowe narzędzia analityczne umożliwiające prawidłowe porównywanie strumieni pieniężnych w czasie stanowią formuły na wyznaczanie wartości przyszłej (FV) i wartości obecnej (PV). Relację pomiędzy FV i PV wyznacza stopa procentowa (r) oraz ilość jednostek czasu (n).

Określanie wartości przyszłej i obecnej pieniądza związane jest z dwoma operacjami rachunkowymi: oprocentowaniem (kapitalizacją) i dyskontowaniem.

Operacja oprocentowania polega na ustaleniu kwoty do jakiej wzrośnie - po określonym czasie - uruchomiony kapitał, służy zatem poszukiwaniu przyszłej wartości pieniądza. Poszukiwanie obecnej wartości pieniądza na podstawie jego przyszłej wartości nosi nazwę dyskontowania.

1. Przyszła wartość pieniądza

Wartość przyszła (FV) to wielkość do jakiej będzie rosnąć przepływ środków pieniężnych w danym okresie (wartość jaką otrzymamy na koniec analizowanego okresu). Możliwe jest jej ustalenie przez zastosowanie:

1. procentu prostego

2. procentu składanego.

Prosta stopa procentowa to stopa od nie kapitalizowanej podstawy. Stosuje się ją wówczas, gdy odsetki nie podlegają kapitalizacji tzn. po zakończonym podokresie nie są doliczane do kapitału. W powyższym przypadku wartość przyszłą obliczamy ze wzoru:

FV = PV x (1 + n x r)

FV_n - wartość przyszła,

PV - wartość obecna,

r - stopa procentowa,

n - liczba okresów

Przykład 1:

Wpłacamy do banku 1000 zł. Roczna stopa procentowa jest stała i wynosi w badanym kresie 10 %. Ile otrzymamy po 3 latach przy założeniu, że odsetki nie są kapitalizowane?

W przypadku stosowania prostej stopy procentowej odsetki dla wszystkich podokresów są identyczne.

Zastosowanie złożonej stopy procentowej oznacza, że odsetki są kapitalizowane tzn. po zakończonym podokresie są dopisywane do kapitału i w następnym podokresie odsetki obliczamy od podstawy, którą stanowi wartość początkowa powiększona o odsetki z poprzednich podokresów. Formuły na obliczenie wartości przyszłej metodą procentu składanego są następujące:

Wartość przyszła przy kapitalizacji rocznej

FV = PV x (1 + r)ⁿ

Przykład 2:

Oblicz przyszłą wartość 500 zł ulokowanych na 4 lata na rachunku bankowym oprocentowanym 8% w skali roku (założenie: kapitalizacja roczna)

Wartość przyszła przy zmiennej stopie procentowej

FV = PV x (1 + r₁) x (1 + r₂) x (1 + r₃) x ..... x (1 + r_n)

Przykład 3:

Przedsiębiorstwo lokuje w banku 400 tys. zł na okres 3 lat. Bank zastrzega sobie prawo zmiany oprocentowania lokaty. Przewidywana roczna stopa procentowa wyniesie: W I roku 5%, w II 6%, w III-7%. Oblicz wartość tej lokaty po 3 latach.

Wartość przyszła przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku

FV = PV x (1 +
)^{n x m}

m - ilość równych okresów kapitalizacji w okresie rocznym

Przykład 4:

Kwota 100 zł została ulokowana na rachunku bankowym oprocentowanym 7 % w skali roku na 3 lata. Oblicz przyszłą wartość tej kwoty przy kapitalizacji półrocznej i kwartalnej.

Podsumowanie: Wartość przyszła zależy od: wartości początkowej, stopy procentowej oraz ilości okresów (jest zawsze większa gdy odsetki są kapitalizowane).

Obliczanie przyszłej wartości pieniądza w przypadku nieregularnych w czasie przepływów pieniądza:

FVCF =
= CF₀(1+r)ⁿ + CF₁(1+r)^n-1 +..........+ CF_n (1+r)^n-n

FVCF - wartość przyszła przepływów pieniężnych

CF_t - przepływ pieniężny w okresie t

Przykład 5:

Oblicz przyszłą wartość następujących przepływów pieniężnych płatnych:

1. na koniec okresów (z dołu)

2. na początek okresów (z góry)

CF₁ = 1000 zł, CF₂= 2000 zł, CF₃ = 3000 zł, r = 10 %.

Podsumowanie: Wartość przyszła jest wyższa dla wpływów dokonywanych z góry, gdyż każdy przepływ procentuje o okres dłużej.

Obliczanie wartości przyszłej annuitów (seria stałych płatności w równych odstępach czasu)

1. z góry

FVA = An x (

b) z dołu

FVA = An x (

FVA - przyszła wartość płatności okresowych (annuitów)

An - płatność okresowa

Przykład 6:

Rodzice córki odbywającej 3 - letnie studia licencjackie wpłacają do banku co roku 1000 zł. Wiedząc, że oprocentowanie wynosi 10% oblicz jaka będzie przyszła wartość tej lokaty w momencie ukończenia studiów przez córkę

1. w przypadku, gdy rodzice wpłacają pieniądze na początek roku akademickiego,

2. w przypadku, gdy rodzice wpłacają pieniądze na koniec roku akademickiego

2. Wartość obecna pieniądza

Wartość obecna (zaktualizowana) „PV” wyraża obecną (dzisiejszą) wartość przychodów spodziewanych w przyszłości. Jest to proces „powracania wartości w czasie”, który nosi nazwę dyskontowania, a stosowana stopa (cena pieniądza) nazywana jest stopą dyskontową.

Formuły na obliczanie PV są następujące:

Wartość obecna przy stałej stopie procentowej

1. procent prosty

PV =

2. procent składany

PV = FV x

Przykład 7:

Oblicz obecną wartość 1000 zł uzyskanych przy stopie dyskontowej równej 10%

1. po 3 latach

2. po 2 latach

3. po roku

Podsumowanie: Wartość zaktualizowana jest tym niższa im bardziej oddalony jest w czasie moment uzyskania danej kwoty oraz im wyższa jest stopa dyskontowa.

Wartość obecna przy zmiennej stopie procentowej

PV = FV x
x
x ... x

Przykład 8:

Oblicz aktualną wartość kwoty 600 mln zł uzyskanej za 3 lata wiedząc, że stopa procentowa wyniesie w I roku 6%, w II - 8%, w III - 7%.

Wartość obecna przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku

PV = FV x

Przykład 9:

Roczna stopa dyskontowa wynosi 6 %. Oblicz bieżące wartości kwoty 400 zł po upływie 4 lat i przy założeniu kapitalizacji półrocznej i kwartalnej.

Wartość obecna dla regularnych przyszłych wpływów o różnej wartości:

PVCF =

PVCF - wartość obecna przepływów pieniężnych

Przykład 10:

Zobowiązaliśmy się zapłacić za towar w III miesięcznych ratach, które kolejno wynoszą: 2600 zł, 2500 zł, 2000 zł. Ile faktycznie kosztuje zakupiony towar, jeśli założono, że miesięczna stopa dyskontowa wyniesie 2%, a wpłaty wystąpią:

1. na koniec każdego miesiąca

2. na początku każdego miesiąca.

Wartość obecna annuitów

1. przepływy na początku okresów

PVA = An

2. przepływy na koniec okresów

PVA = An

PVA - wartość obecna płatności okresowych

Przykład 11:

Sprawdź jaka jest obecna wartość płatność 1000 zł rocznie, gdy:

1. zapłata następuje w trzech rocznych ratach na początku okresów

2. zapłata następuje w trzech rocznych ratach na końcu okresów

Zakładana stopa dyskonta wynosi 10%.

Formuła renty wieczystej- daje odpowiedź na pytanie, ile należy zainwestować dzisiaj, aby dożywotnio otrzymać rentę w ustalonej wysokości

1. gdy przepływy występują na końcu okresów

PVP = An

2. renta wieczysta płatna z góry

PVP = An+An

PVP - wartość bieżąca renty wieczystej

Przykład 12:

Ile należy zainwestować dzisiaj, aby dożywotnio co miesiąc otrzymywać rentę w wysokości 1000 zł zakładając, że miesięczna stopa dyskontowa wynosi 0,5%, przy czym:

1. płatności następowałyby na koniec okresów

2. płatności następowałyby na początek okresów

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 1

Możemy ulokować kwotę 1000 zł na okres 3 lat na rachunku bankowym. Przewidywana stopa procentowa wyniesie w I roku 5%, a odsetki będą kapitalizowane co pół roku, w II roku 6 % z kapitalizacją kwartalną i w III roku 7 % przy kapitalizacji rocznej. Oblicz wartość tej kwoty po 3 latach.

Zad. 2

Oblicz obecną wartość kwoty 700 zł ulokowanej na 2 lata, wiedząc, że roczna stopa procentowa wynosiła 6 %, a odsetki kapitalizowano 1 raz w roku.

Zad. 3

Jaka będzie rzeczywista wartość przyszła naszych oszczędności po uwzględnieniu podatku dochodowego (T=20%), jeśli ulokujemy w banku kwotę 10.000,00 PLN na okres 1 roku, przy nominalnej stopie procentowej 5% i kwartalnej kapitalizacji odsetek?

Zad. 4

Jaką kwotę należy zdeponować w banku na 32% aby uzyskać po 3 latach 500 zł, jeśli kapitalizacja odsetek następuje corocznie.

Zad. 5

Inwestor chce po 4 latach otrzymać 100 zł inwestując w lokatę bankową. Dwa banki A i B oferują lokaty o oprocentowaniu 8%. Bank A kapitalizuje odsetki rocznie, a B półrocznie. Ile należy zainwestować w każdym z tych banków? Która oferta jest korzystniejsza?

Zad. 6

Inwestor spodziewa się uzyskać z inwestycji za 3 lata dochód w kwocie 5000 zł. Stopa dyskontowa w kolejnych latach tego okresu jest ustalona na poziomie 18 %, 15%, 13%. Ustalić bieżącą wartość oczekiwanego dochodu w warunkach rocznej kapitalizacji odsetek.

Zad.7

Kwota 12000 ma być osiągnięta za 2 lata. Stopa dyskontowa ustalona dla kolejnych lat jest zmienna i wynosi 16% oraz 12 % w stosunku rocznym. Ustalić bieżącą wartość od założonej kwoty w warunkach kwartalnej kapitalizacji odsetek.

Zad.8

Kwotę 30 mln zł wpłacamy do banku na okres 5 lat. Jakie musi być oprocentowanie rachunku, aby jego stan końcowy wynosił 60 mln zł, jeżeli:

1. bank nie kapitalizuje odsetek

2. bank kapitalizuje odsetki co pół roku

Zad. 9

Jaką kwotę należy wpłacać na koniec każdego roku na rachunek bankowy oprocentowany 5% w skali rocznej, aby po 4 latach uzyskać kwotę 1600 zł?

Zad. 10

Ile wynosi wartość obecna kwoty 12 000 zł, którą otrzymamy za 2 lata, jeżeli roczna stopa % wynosi 6%, a odsetki naliczano metodą odsetek prostych?

Zad. 11

Co jest korzystniejsze:

Wariant A: Otrzymanie wynagrodzenia za wykonaną pracę po jej skończeniu, czyli po roku w wysokości 15 000 zł

Wariant B: Otrzymywanie wynagrodzenia ostatniego dnia każdego miesiąca w wysokości 1200 zł?

Roczna stopa procentowa wynosi 12 %.

Zad. 12

Przedsiębiorstwo lokuje swoją nadwyżkę finansową, która wynosi 50 000 zł w przedsięwzięcie przynoszące po pierwszym roku 4000 zł dochodu, po II - 15000 zł, po III roku 20000 zł dochodu. Jaką kwotą firma będzie dysponować po 3 latach (łącznie z kapitałem początkowym), zakładając stopę 15 %.

Zad. 13

Jaka jest dzisiejsza wartość dochodów, które otrzymamy kolejnych trzech miesiącach, odpowiednio w wysokości 100 zł, 200 zł, 300 zł, jeśli miesięczna stopa dyskontowa wynosi 4%, a dochody płatne są:

1. z dołu

2. z góry

- stopa procentowa dla podokresu

- wartość odsetek prostych

R - roczna stopa procentowa

t - liczba dni w okresie

Zad. 14

Przedsiębiorca ulokował w banku kwotę 80 000 zł na 3 miesiące. Kwota jest oprocentowana 15% w skali roku. Jaką kwotę odsetek otrzyma przedsiębiorca po ustalonym terminie? Dla porównania do obliczeń zastosuj miesięczną, kwartalną i dzienną stopę procentową

Zad. 15

Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złożony na 11% podwoi się?

Zad. 16

Pan Nowak umieścił 10 000 zł na lokacie i po 9 miesiącach wypłacił 11 000 zł. Ile wyniosła dla tej lokaty roczna stopa procentowa oprocentowania prostego? Ile wyniosła miesięczna stopa procentowa?

Zad. 17

Kapitał w wysokości 2500zł złożono na lokacie oprocentowanej 10% rocznie. Do jakiej kwoty wzrośnie wartość tego funduszu po upływie 5 lat. Jaką wartość można by było otrzymać przy różnych formach kapitalizacji odsetek:

1. bez kapitalizacji,

2. kapitalizacja roczna,

3. kapitalizacja półroczna,

4. kapitalizacja kwartalna,

5. kapitalizacja tygodniowa,

6. kapitalizacja dzienna.

Zad. 18

Bank stosował kapitalizację roczną złożoną. Jaka była roczna stopa procentowa, jeżeli kapitał 10 000zł utworzył po 4 latach kwotę 18 000zł.

Zad. 19

Jaka będzie rzeczywista wartość przyszła naszych oszczędności po uwzględnieniu podatku dochodowego (T=19%), jeśli ulokujemy w banku kwotę 10.000,00 PLN na okres 1 roku, przy nominalnej stopie procentowej 5% i kwartalnej kapitalizacji odsetek?

Finanse - wartość pieniądza w czasie

6

---