Temat: Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą przesunięcia fazowego.
Rozchodzenie się dźwięku odbywa się w postaci fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym.
Proces rozchodzenia się drgań w ośrodku nazywamy falą. Cząsteczki ośrodka w ruchu falowym nie podążają za rozchodzącą się falą , lecz drgają wokół ustalonych położeń równowagi.
Jeżeli kierunek drgań cząsteczek i kierunek rozchodzenia się fali są zgodne - fala podłużna , jeżeli natomiast drgania cząsteczek odbywają się w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali - fala poprzeczna .
Charakter fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jego własności sprężystych . Jeżeli wskutek przesunięcia jednej warstwy ośrodka względem drugiej powstają siły sprężyste dążące do przywrócenia warstwy przesuniętej do położenia równowagi , to w ośrodku takim mogą rozchodzić się fale poprzeczne i podłużne (ciało stałe ).
Gdy między przesuniętymi warstwami ośrodka siły sprężyste nie występują , to w ośrodku takim mogą rozchodzić się
tylko fale podłużne (ciecze i gazy).
Najczęściej spotykanym ruchem jest ruch harmoniczny , w którym wychylenie y zmienia się w czasie t według równania :
A - amplituda , w - częstość kołowa , jo- faza początkowa.
Faza początkowa określa stan ruchu w chwili t=0 i jest obierana w sposób dowolny.
Jeżeli fala biegnie w kierunku osi X , wówczas kolejne punkty ośrodka pobudzane są do drgań i osiągają tę samą
fazę z pewnym opóźnieniem .
Prędkość przesuwania sie wychylenia o stałej fazie jest prędkością rozchodzenia się fali.
Wychylenie y dowolnej cząstki w chwili t , w odległości x od źródła drgań opisane jest funkcją falową
częstość kołowa , k = 2p/l - liczba falowa.
Równanie fali jest podwójnie okresowe : względem czasu i przestrzeni.
Zależność wychylenia cząstek od ich położenia w określonej chwili przedstawia kształt fali.
Odległośc między najbliższymi punktami o tej samej fazie nazywamy długością fali.
Związek między okresem a długością fali znajdujemy rozpatrując ruch wychylenia o stałej fazie. Stałość fazy wyrażamy równaniem :
Aby obliczyć prędkość przesuwania się stałej fazy znajdujemy pochdną położenia względem czasu
Oznaczając otrzymujemy związek między prędkością , okresem a długością fali
Fale akustyczne mogą się rozchodzić w ciałach stałych , cieczach i gazach . Fale akustyczne ,
których częstotliwość zawarta jest w przedziale od 20Hz do 20000Hz nazywamy falami słyszalnymi.
Źródłem fal słyszalnych są drgające struny , drgające słupy powietrza oraz drgające płyty i membrany.
Te drgające przedmioty na przemian zagęszczają i rozrzedzają otaczające powietrze powodując ruch cząstek do przodu i do tyłu . Powietrze przenosi te zaburzenia od Xródła w przestrzeń .
Ogólne wyrażenie określające prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w ośrodku ciągłym ma postać:
E - moduł Younga
dp - różniczkowa zmiana ciśnienia , dV - różniczkowa zmiana objętości .
Drgania dzwiękowe zachodzą szybko , ściskania i rozrzedzanie gazu można uważać za procesy adiabatyczne , wobec czego zmiana stanu gazu zachodzi zgodnie ze wzorem Poissona
stosunek ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości
Różniczkując wzór Poissona otrzymujemy
Uwzględniając wszystkie te wzory prędkość fali podłużnej możemy wyrazić wzorem:
Stosując równanie stanu gazu we wzorze na gęstość otrzymamy
n=m/m - ilość moli gazu , R - stała gazowa , T - temperatura.
Wykorzystując to otrzymujemy wzór na prędkość dźwięku w zależności od rodzaju gazu i temperatury.
Zasady pomiaru.
Na jednym końcu ławy ustawiamy głośnik połączony z generatorem drgań elektrycznych płniący funkcję
źródła fal. Do ich odbioru używamy mikrofonu przesuwanego na ruchomym wózku wzdłuż ławy .
Napięcie głośnika przykładamy do płytek X oscyloskopu , a napięcie z mikrofonu podajemy na płytki Y.
Oba napięcia są zmienne w czasie i odzwierciedlają ruch drgający cząstek powietrza .Na ekranie oscyloskopu
otrzymamy obraz , który jest wynikiem nałożenia dwóch drgań harmonicznych wzajemnie prostopadłych .
Ma on postać tzw.figur Lissajous , których kształt zależy od stosunku częstotliwości oraz różnicy faz
drgań składowych.
Jeżeli przyjmiemy położenie głośnika za x=0 , wówczas faza jego drgań zgodnie z równaniem , wynosi .
Drgania mikrofonu oddalonego od głośnika o x mają w tym samym momencie fazę
Różnica faz obu drgań wynosi
Różnica faz zmienia się o 2p przy przesunięciu mikrofonu o l .
Kształt figury Lissajous jest periodyczną funkcją różnicy faz , stąd będzie on taki sam dla wszystkich położeń mikrofonu różniących się o całkowitą wielokrotność długości fali.
Tę ostatnią właściwość wykorzystujemy do pomiaru długości fali dźwiękowej . W tym ceklu wyznaczmy
odległość między sąsiednimi położeniami mikrofonu , przy których otrzymujemy ten sam kształt figury Lissajous.
Najdokładniejsze wyniki otrzymuje się , gdy figura Lissajous jest linią prostą .
Znając długość fali oraz częstotliwość f obliczamy prędkość dźwięku ze wzoru
Obliczenia i pomiary.
Pomiary wykonane z dokładnością: częstotliwość : długość fali:
Dokonujemy pomiaru długości fali przy określonej częstotliwości:
Połowa długości fali:
21,8cm 79,5cm
21,6cm 79,9cm
22,8cm 79,4cm
23,0cm 79,6cm
Długość fali:
(79,5 - 21,8)=115,4cm
(79,9 - 21,6)=116,6cm
(79,4 - 22,8)=113,2cm
(77,9 - 21,7)=112,4cm
Wartość średnia długości fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Połowa długości fali:
45,9cm 81,5cm
46,1cm 81,0cm
45,4cm 81,6cm
46,3cm 81,3cm
Długość fali:
(81,5 - 45,9) = 71,2
(81,0 - 46,1) = 69,8
(81,6 - 45,4) = 72,4
(81,3 - 46,3) = 70,0
Średnia długość fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Połowa długości fali:
35,2cm 65,4cm
34,8cm 65,2cm
35,0cm 65,5cm
35,2cm 65,1cm
Długość fali:
(65,4 - 35,2) = 60,4
(65,2 - 34,8) = 60,8
(65,5 - 35,0) = 61,0
(65,1 - 35,2) = 59,8
Wartość średnia:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Długość fali:
- 14,2 = 52
- 14,3 = 51,5
- 13,9 = 52
- 14,6 = 51
Średnia długość fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Długość fali:
15,2cm 49,0cm
15,4cm 48,9cm
15,3cm 48,7cm
15,1cm 49,0cm
- 15,2 = 33,8
- 15,4 = 33,5
- 15,3 = 33,4
- 15,1 = 33,9
Wartość średnia :
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Połowa długości fali:
75,0
74,8
75,1
74,9
Długość fali:
(75,0 - 12,0)= 126
(74,8 - 12,1)= 125,4
(75,1 - 12,5) =125,2
(74,9 - 12,3) = 125,2
Wartość średnia :
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Połowa długości fali:
11,6cm 58,8cm
11,7cm 56,5cm
10,2cm 56,8cm
10,7cm 56,3cm
Długość fali:
(58,8 - 11,6) = 94,4
(56,5 - 11,7) = 89,6
(56,8 - 10,2) = 93,2
(56,3 - 10,7) = 91,2
Średnia długość fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Długość fali:
60,7cm - 20,8cm =39,9
60,5cm - 20,9cm =39,6
60,4cm - 20,7cm =39,7
60,5cm - 20,6cm =39,9
Średnia długość fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Długość fali wynosi:
49,0cm - 12,0cm = 37cm
48,7cm - 13,0cm = 35,7cm
48,1cm - 13,1cm = 35cm
48,5cm - 13,3cm = 35,2cm
Średnia długość fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Długość fali :
55,6cm - 25,5cm = 30,1
55,7cm - 25,4cm = 30,3
55,5cm - 25,4cm = 30,1
55,8cm - 25,3cm = 30,5
Średnia wartość fali:
Odchylenie standardowe:
Prędkość wynosi:
Prędkości uzyskane przy pomocy pomiarów pośrednich wynoszą odpowiednio:
Wartość prędkości wynosi:
Wnioski:
Na podstawie pomiarów można zauważyć iż , wzrost częstotliwości powoduje zmniejszanie się
długości fali dźwiękowej. Uzyskanie tych wartości umożliwia przy pomocy wzoru :
obliczenie prędkości dźwięku.
Prędkość ta wynosi: