1)Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna do siebie prostopadłe
Płaszczyznę w przestrzeni jednoznacznie wyznaczają:
1o trzy punkty nie leżące na jednej prostej, albo 2o prosta i punkt poza nią leżący
3o dwie przecinające się proste 4o dwie równoległe proste.
Wynika to z określenia równoległości dwu prostych. a) prosta, która ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną, leży całkowicie na tej płaszczyźnie; b) jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to muszą mieć i drugi, czyli linią przecięcia się dwóch płaszczyzn jest linia prosta;
c) płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, czyli dwa obszary, to znaczy, że odcinek, łączący dwa punkty w przestrzeni, położone w różnych jej częściach, przecina płaszczyznę. Zastanawiając się następnie nad położeniem dwóch prostych w przestrzeni, stwierdzamy, że albo one mają jeden punkt wspólny, albo nie mają żadnego. W pierwszym przypadku proste przecinają się ze sobą i wyznaczają płaszczyznę,Jeżeli dwie proste, nie mające żadnego punktu wspólnego, leżą na jednej płaszczyźnie, to są do siebie równoległe. Może się jednak zdarzyć tak, że mamy prostą AB (rys. 180) położoną na płaszczyźnie P i prostą CD, przecinającą(tj. mającą z płaszczyzną tylko jeden punkt wspólny) tę płaszczyznę w pewnym punkcie E nie leżącym na prostej AB.
Wtedy proste AB i CD nie mają punktu wspólnego i nie ma takiej płaszczyzny, która zawierałaby obie te proste. Takie proste nazywamy skośnymi albo wichrowatymi. Mając daną w przestrzeni prostą AB (rys. 181), możemy zawsze z pewnego jej punktu C wystawić prostopadłą. Należy wtedy przez tę prostą przesunąć jakąkolwiek płaszczyznę, np. P i wystawić prostopadłą CD, położoną na tej płaszczyźnie.
Ale, jak wiemy, przez daną prostą możemy przesunąć jeszcze inną płaszczyznę, np. Q, i znowu poprowadzić CE prostopadłą do AB. Możemy tych płaszczyzn poprowadzić przez AB nieskończoną ilość, a więc i prostopadłych do AB, wystawionych z punktu C, będzie w przestrzeni nieskończona ilość. Równocześnie prosta AB będzie wtedy prostopadła do nieskończonej ilości prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na tej prostej. () Twierdzenie. Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch prostych w przestrzeni poprowadzonych przez dany punkt na niej to jest ona prostopadła do każdej prostej poprowadzonej przez ten punkt i położonej na płaszczyźnie wyznaczonej przez pierwsze dwie proste.
1. Płaszczyznę, na której są położone wszystkie proste prostopadłe do danej prostej w pewnym jej punkcie, nazywamy płaszczyzną prostopadłą do prostej. Odwrotnie prostą, która jest prostopadła do dowolnej prostej, położonej na płaszczyźnie, poprowadzonej przez punkt przecięcia, nazywamy prostą prostopadłą do płaszczyzny.
Na podstawie poprzednich dwóch twierdzeń możemy powiedzieć:
miejscem geometrycznym wszystkich prostych w przestrzeni prostopadłych do danej prostej w pewnym jej punkcie jest płaszczyzna prostopadła do tej prostej przez ten punkt poprowadzona.
2. Z tych twierdzeń widzimy również, że koniecznym i wystarczającym warunkiem prostopadłości danej prostej do płaszczyzny jest ten, aby była ona prostopadła do dwóch prostych położonych na tej płaszczyźnie i przechodzących przez ich punkt przecięcia.
3. Ponieważ każda z prostych BC, BD i BE (rys. 182) jest prostopadła do odcinka KK' i przechodzi przez jego środek B, więc
miejscem geometrycznym punktów w przestrzeni, jednakowo oddalonych od dwóch punktów danych, jest płaszczyzna prostopadła do odcinka, łączącego dane punkty i przechodząca przez jego środek.
Ta płaszczyzna nazywa się płaszczyzną symetrii danego odcinka. .
() Twierdzenie. Dwie proste prostopadłe do tej samej płaszczyzny, są do siebie równoległe.
(). Twierdzenie. Dwie proste w przestrzeni równoległe do trzeciej są do
sibie rownolegle 1) Rzutem punktu na płaszczyznę nazywamy spodek prostopadłej, opuszczonej z danego punktu na płaszczyznę, np. rzutem punktu A na płaszczyznę P będzie punkt B (rys. 191), w którym prostopadła przecina się z tą płaszczyzną.
Jeżeli ze wszystkich punktów danej linii lub figury poprowadzimy prostopadłe do danej płaszczyzny, to zbiór spodków tych prostopadłych, czyli miejsce geometryczne rzutów wszystkich punktów linii lub figury, nazywamy rzutem tej linii lub figury na płaszczyznę.
Aby otrzymać rzut prostej AB (rys. 192) na płaszczyznę P, powinniśmy znaleźć rzut każdego jej punktu, łatwo jednak zrozumieć na podstawie poprzednich twierdzeń że wszystkie prostopadłe, wyprowadzone z punktów danej prostej do płaszczyzny będą leżały w jednej płaszczyźnie i rzut prostej AB otrzymamy, łącząc rzuty A' i B' dwóch punktów tej prostej.
Jeżeli dana prosta jest prostopadła do płaszczyzny rzutów, to jej rzutem będzie punkt. Jeżeli prosta przecina płaszczyznę rzutów, to dla wykreślenia jej rzutu wystarczy znaleźć rzut jednego jej punktu poza punktem przecięcia z płaszczyzną.
1. Prostopadła jest krótsza od wszelkiej pochyłej wyprowadzonej z tego samego punktu i odwrotnie, najkrótszy odcinek łączący dany punkt z płaszczyzną jest odcinkiem prostopadłej.
2. Dwie pochyłe są równe, jeżeli ich rzuty są równe, i odwrotnie z równości rzutów wnosimy o równości pochyłych.
3. Z dwóch pochyłych ta jest większa, która ma rzut większy, i odwrotnie, jeśli rzut jest większy, to większa jest pochyła.
Widzimy zatem, że najmniejszą odległością punktu od płaszczyzny jest odcinek prostopadłej poprowadzonej z tego punktu do płaszczyzny. Tym właśnie odcinkiem mierzy się odległość punktu od płaszczyzny.
Prosta położona na płaszczyźnie i prostopadła do rzutu pochyłej jest prostopadła do tej pochyłej.
Tę własność nazywamy twierdzeniem o trzech prostopadłych.
Kąt ostry, który pochyła tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę, nazywamy kątem nachylenia tej prostej do płaszczyzny. Np. kątem nachylenia prostej AC do płaszczyzny P (rys. 194) jest kąt ACB. O kącie tym możemy dowieść, że jest najmniejszy z kątów, jakie dana prosta tworzy z prostymi, poprowadzonymi na płaszczyźnie przez jej spodek Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe
Określenie. Wiemy, że prosta może mieć z płaszczyzną dwa punkty wspólne - wtedy leży całkowicie na płaszczyźnie. Może mieć z płaszczyzną jeden punkt wspólny - wtedy ją przecina i bywa, jak to już widzieliśmy, albo prostopadła do płaszczyzny, albo do niej pochyła. Można jednak wyobrazić sobie prostą, która nie ma żadnego punktu wspólnego z płaszczyzną - taką prostą nazywamy równoległą do tej płaszczyzny. Twierdzenie. Prosta w przestrzeni równoległa do innej prostej położonej na danej płaszczyźnie jest równoległa do tej płaszczyzny.
Prosta i płaszczyzna do siebie równoległe Twierdzenie. Prosta w przestrzeni równoległa do innej prostej położonej na danej płaszczyźnie jest równoległa do tej płaszczyzny.Jeżeli z dowolnych punktów prostej równoległej do płaszczyzny poprowadzimy odcinki prostopadłe do tej płaszczyzny, to będą one sobie równe i dlatego odległość dowolnego punktu równoległej prostej od danej płaszczyzny nazywamy odległością prostej równoległej od tej płaszczyzny.
Płaszczyzny do siebie prostopadłe Dwie płaszczyzny, które tworzą ze sobą kąt prosty, nazywamy prostopadłymi. Twierdzenie Dowolna płaszczyzna przesunięta przez prostą prostopadłą do danej płaszczyzny jest prostopadła do tej płaszczyzny. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta położona na jednej z nich i prostopadła do ich krawędzi jest prostopadła do drugiej. Twierdzenie. Jeżeli dwie płaszczyzny są do siebie prostopadłe, to prosta wyprowadzona z punktu położonego na jednej z nich i prostopadła do drugiej leży całkowicie na pierwszej płaszczyźnie
.