Pojęcie płynu: Płyn jest pewnym modelem ciekłego lub gazowego stanu materii. Cieczom i gazom przypisujemy dwie podstawowe cechy płynów: płynność i ciągłość (po wprowadzeniu pewnych uproszczeń fizycznych). Z punktu widzenia molekularnej budowy materii ciecz i gaz jest zbiorowiskiem chaotycznie poruszających się molekuł. CIECZ - molekuły drgają przestrzennie dookoła średniego położenia od czasu do czasu przeskakując w coraz to nowe miejsce „życia osiadłego (τ₀)”, średnia droga przeskoku l₀; GAZ - ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, nie ma życia osiadłego. Zderzają się zmieniając w ten sposób prędkość, l₀ znacznie dłuższe niż w cieczy; Charakterystyczne wymiary liniowe odnoszące się do molekuł: CIECZ: •wymiar molekuły [m], •średnia odległość molekuł [m], •śr. amplituda drgań [m], •śr. czas życia osiadłego τ₀ [s], •śr. czas przeskoku molekuł [s]; GAZ: •wymiar molekuły [m], •średnia odległość molekuł [m], śr. swobodna droga molekuł [m], •śr. czas między zderzeniami [s]; PŁYNNOŚĆ- proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięcie) a siłą odkształcającą; siła działająca na ciecz w czasie: Δt<τ_0­ struktura molekularna wykazuje wszelkie cechy ciała stałego, Δt>τ­­₀ molekuły zdążą się przystosować do zmiany, spełniona cecha płynności Δt/τ₀>>1;(τ₀=10^-11s woda, τ₀=1sek smoła); CIĄGŁOŚĆ: może być określana wzgl. wymiaru liniowego l₀; Chodzi o możliwość traktowania materii jako ośrodka wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły. Jest to możliwe gdy wymiary liniowe L ciał opływanych cieczą lub gazem są znacznie większe od l₀(śr. swobodna droga molekuł) L/l­₀>>1 przestrzeń wypełniona jest materią w sposób ciągły ; L/l₀<1 cecha ciągłości nie do zaakceptowania; Liczba KNUDSENA Kn=l₀/L <0,01 to ukł. molekularny możemy traktować jako ciągły.

Parametry opisujące stan płynu: 1) parametry opisujące stan płynu w danym punkcie: prędkość u, gęstość ρ, ciśnienie p, temperatura T; ρ=nm [kg/m³] (n- koncentracja molekuł [1/m³], m- masa molekuły), Jeżeli ruch chaotyczny molekuł odbywa się ze śr. prędkością c p ~ nmcc = ρ c ² [kg/ms²]; podobnie temp. T jest związana z energią kinetyczną ruchu molekuł relacją kT ~ 0,5m c² k=1,38*10^-23 [kg*m²/s²] stała Boltzmana, 0,5m c² en. kin. moloek. o masie m; 2) parametry opisujące właściwości transportu (dzięki chaotycznym ruchom molekuł) takich wielkości jak: masa, pęd, energia tzw. wsp. transportu. Należą do nich: współczynnik dyfuzji D (określa trans. masy); dynamiczny współ. lepkości μ (określa trans. pędu); współ. przewodnictwa cieplnego λ (określa trans. energii); Transport masy: • dwie warstwy płynu oddalone od siebie o l₀, koncentracja różni się w nich o Δn; strumień masy j_m­=mnc ; zachodzi wymiana str. masy na dół -m(n+Δn)c , do góry mnc ; j_m~ mnc - m(n+Δn)c = -mΔnc = -Δρc ~ -l₀(∂ρ/∂l)c [kg/m²s]; prosta: ρ=ρ(l) dół ρ=mn; góra ρ+Δρ=m(n+Δn); osie x-ρ, y-l; D ~ l₀c [m²/s] ;; j_m= -D(∂ρ/∂l); Transport ilości ruchu: jeśli pole prędkości wzdłuż pewnego kierunku l jest nierównomierne to analogicznie do transportu masy występuje poprzeczny transport ilości ruchu (pędu)←spowodowany ruchem molekularnym c .Poprzeczny transport ilości ruchu jest przyczyną naprężeń ścinających τ między warstwami: τ~nm(u+Δu)c - nmuc = nmcΔu [kg/ms²] nmcΔu - różnica ilości ruchu pomiędzy warstwami odległymi o l₀, przenoszona z prędkością c; osie x-u y-l; krzywa u=u(l), dół u, góra u+Δu≈u+l₀(∂u/∂l); strzałki: dół nm(u+Δu)c, góra nmuc ; τ=nmcl₀(∂u/∂l)=μ(∂u/∂l)

[(kg/ms)*(m/ms)]=[kg/ms²] μ-dyn. współ. lepk. μ=nmcl₀=ρcl₀=ρν , ν-ki. współ. lepk. i jest tego samego rzędu co współ. dyfuzji. Transport energii cieplnej: jest związany z nierównomiernym rozkładem temperatur. Ilość ciepła przenoszona chaotycznym ruchem molekuł w kierunku niższych temperatur będzie równa: q=((mc²/2)nc-[mc²/2+Δ(mc²/2)]nc=-Δ(mc²/2)nc≈ -l₀⋅(∂/∂l)( mc²/2)nc [kg/s²]; po uwzględnieniu kT ~ 0,5m c² relację tę można napisać q= -l₀nc(∂/∂l)(mc²/2) ~ -l₀nck(∂T/∂l); wyrażenie na strumień ciepła można zapisać także w innej postaci q= -λ(∂T/∂l) ≈ -l₀nck(∂T/∂l); [λ]=[kgm/s³K], pr. FICKA j= -Dgradρ {ρ(x,y,z)}; pr. FOURIERA q= -λgradT{T(x,y,z)} 3) Parametry zależne od budowy molekuł a zwłaszcza od możliwych stopni swobody, może być analizowana zarówno na poziomie molekularnym, jak i na poziomie ośrodka ciągłego. Jeżeli molekuła o masie m ma f stopni swobody, to dla gazów z zasady ekwipartycji energii wynikają następujące relacje: c_v=fk/2m [m²/s²K] , c_p=((f+2)/2)(k/m) [m²/s²K] , κ=c_p/c_v= (f+2)/f NAJWAŻNIEJSZE: (strumień wielkości transportowanej) = (współczynnik transportu) x [zmiana w przestrzeni (lub ściślej gradient) wielkości makroskopowej wymuszającej dany strumień]

GRADIENT grad =∇ = (∂/∂x⋅i+∂/∂y⋅j+∂/∂z⋅k)

gard ϕ =∇ϕ = (∂ϕ/∂x⋅i+∂ϕ/∂y⋅j+∂ϕ/∂z⋅k)

Jeżeli grad ϕ = u to ϕ jest potencjałem prędkości.

METODA EULERA (lokalna) polega na określeniu parametrów w każdym punkcie przestrzeni zajmowanej przez płyn. Parametry te mogą się zmieniać zarówno w przestrzeni jak i w czasie. (obserwator jest związany z układem współrzędnych).Jeżeli zostanie wybrany ukł. współ. odniesienia, to obszar zajmowany przez płyn będzie opisany promieniem wodzącym r, r=r(x,y,z,)=xi+yj+zk, wówczas parametry opisujące stan płynu będą f(r,t); każdemu położeniu elementu płynu w chwili t które określa x,y,z odpowiada położenie chwili poprzedzającej t₀, które opisują x₀,y₀,z₀: x₀=x₀(x,y,z,t), y₀=..., z₀=...; wektor prędkości u=u(r,t), u=u_x(x,y,z,t)i+u_y(x,y,z,t)j+u_z(x,y,z,t)k;

u=u_xi+u_yj+u_zk; także p, ρ, T są p=p(x,y,z,t), ρ=ρ(x,y,z,t), T=T(x,y,z,t); stosując poch substancjalną d( )/dt = ∂( )/∂t+u grad( )=∂/∂t+u_x⋅∂/∂x+u_y⋅∂/∂y+u_z⋅∂/∂z

do tych parametrów otrzymujemy du/dt=∂u/∂t+(u∇)u, dp/dt=..., dρ/dt=.., dT/dt=..., z powyższych równań wynika iż zmiana parametru w elemencie płynu określona jest zmiennością w czasie i zmiennością w przestrzeni co wymaga znajomości pola prędkości;

METODA LAGRANGE'A polega na wyodrębnieniu elementu płynu i śledzeniu jego zachowania w czasie. Znając wszystkie interesujące nas parametry dowolnych elementów płynu, mamy opisany stan płynu w całym zajmowanym przez niego obszarze. (obserwator umieszczony na elemencie płynu); Oznaczmy wybrany element płynu w chwili t₀ współ. x₀, y₀, z_0­, po zmianie czasu x=x(x₀,y₀,z_0­,t), y=y(x₀,y₀,z_0­,t), z=z(x₀,y₀,z_0­,t), lub r=x(t)i+y(t)j+z(t)k; dla p,ρ,T mamy p=p(x₀,y₀,z_0­,t), ρ=ρ(x₀,y₀,z_0­,t), T=T(x₀,y₀,z_0­,t) , prędkość i przyśpieszenia otrzymamy poprzez różniczkowanie wzgl. czasu: prędkości U_x=dx/dt, U_y=dy/dt, U_z=dz/dt, u=dr/dt=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k; przyśpieszenia dU_x/dt=d²x/dt² itd..

POCHODNA SUBSTANCJALNA - oznacza zmianę danej wielkości w czasie z punktu widzenia obserwatora poruszającego się wraz z elementem płynu.

d( )/dt = ∂( )/∂t+u grad( )=∂/∂t+u_x⋅∂/∂x+u_y⋅∂/∂y+u_z⋅∂/∂z

∂/∂t - pochodna lokalna oznacza zmianę w czasie danej wielkości w danym punkcie przestrzeni (przy ustalonym x,y,z).

u grad( ) - pochodna konwekcyjna oznacza zmianę danej wielkości w przestrzeni w danym ustalonym czasie t

PRZYSPIESZENIE SUBSTANCJALNE ELEMENTU PŁYNU

du/dt = ∂u/∂t+u grad u = ∂u/∂t+grad(u²/2)+rotuxu

ŹRÓDŁOWOŚĆ mówi nam, czy w rozpatrywanym polu istnieją źródła lub odpływy. Dywergencja div = ∇• ;

div u = ∇•u = ∂u_x/∂x+∂u_y/∂y+∂u_z/∂z

Dywergencja mówi nam, czy w rozpatrywanym polu istnieje źródło płynu:

div u = 0 - pole bezźródłowe (solenoidalne),

div u > 0 - w rozpatrywanym punkcie obszaru płynnego istnieje źródło płynu o jednostkowej wydajności równej divu (napływ), div u < 0 - źródło ujemne (odpływ).

WIROWOŚĆ mówi nam o tym czy przepływ jest wirowy czy też nie. Jest ona określona przez wektor wirowości (rotacji) Ω=rotu. Jeżeli Ω=0 to pole jest bezwirowe, w przeciwnym razie istnieją zawirowania, a prędkość kątowa elementów płynu wynosi ω=1/2⋅rotu

Rotacja rot = ∇x, rot u = ∇xu = |...|

DEFORMACJA ELEMENTU PŁYNU.

D=1/2⋅(∂u/∂r+gradu)=|…|

• deformacja liniowa: ∂u_x/∂x=1/∂x⋅d/dt⋅(∂x)

∂u_y/∂y=1/∂y⋅d/dt⋅(∂y) ; ∂u_z/∂z=1/∂z⋅d/dt⋅(∂z)

• deformacja kątowa: ½⋅(∂u_x/∂y+∂u_y/∂x)=d∠(x,y)/dt ½⋅(∂u_x/∂z+∂u_z/∂x)=d∠(x,z)/dt ½⋅(∂u_y/∂z+∂u_z/∂y)=d∠(y,z)/dt

TENSOR NIERÓWNOMIERNOŚCI POLA

PRĘDKOŚCI ∂u/∂r = |...| = ½(∂u/∂r −grad u)+ +1/2(∂u/∂r+grad u)= A₀+D₀ , D₀ - tensor (symetryczny) prędkości deformacji.

I TWIERDZENIE HELMHOLTZA.

Prędkość dowolnego punktu elementu płynu składa się z trzech prędkości: • prędkości postępowej bieguna u₀

• prędkości obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkością kątową ω₀=1/2⋅(rotu)₀ , której wektor wyznacza oś obrotu

• prędkości deformacji elementu płynu D₀∂r u_A = u₀ + (d/dt)∂r ,u_A=u₀+(∂u/∂r)∂r u_A= u₀ + A₀∂r + D₀∂r, u_A = u₀ + ½⋅(rotu)₀x∂r + D₀∂r

II TWIERDZENIE HELMHOLTZA.

Intensywność rurki wirowej jest niezmienna wzdłuż jej długości, Γ=const. Wynika to z faktu, że div rotu≡0

na pobocznicy rurki wirowej zachodzi rotu jest prostopadly do n

Ω_n1⋅S₁=Ω_n2⋅S₂ .

LINIE WIROWE są to krzywe, do których w każdym punkcie styczne są wektory wirowości. Ωx∂L=0

RURKA WIROWA jest to powierzchnia wirowa utworzona z linii wirowych przecinających krzywą zamkniętą nie będącą linią wirową.

LINIE PRĄDU są to krzywe przestrzenne do których w każdym punkcie styczne są wektory prędkości: ux∂r=0

u_y∂z-u_z∂y=0 rzut linii prądu na płaszczyznę OYZ

u_z∂x-u_x∂z=0 : OXZ ; u_x∂y-u_y∂x=0 : OXY

POWIERZCHNIA PRĄDU jest to powierzchnia utworzona z linii prądu przecinających dowolną krzywą nie będącą linią prądu. Jeżeli krzywa ta będzie zamknięta to otrzymamy rurkę prądu.

TOR ELEMENTU PŁYNU jest to krzywa przestrzenna po której porusza się element płynu traktowany jako punkt.

W przypadku, gdy ruch nie zależy od czasu (ruch stacjonarny) lub ruch odbywa się po torach równoległych, linie prądu pokrywają się z liniami torów płynu.

Równanie toru elementu płynu ma postać: dr/dt=u(r,t).

POWIERZCHNIA I OBJĘTOŚĆ PŁYNNA.

Powierzchnię i objętość nazywamy płynną jeżeli składa się z tych samych elementów płynu mimo upływu czasu. Są one nieprzenikliwe dla elementów płynu. Współrzędne powierzchni i objętości płynnej są stałe we współrzędnych Lagrange'a. Powierzchnia płynna unosi w przestrzeni, z elementami płynu, wszystkie przypisane im cechy.

POWIERZCHNIA I OBJĘTOŚĆ KONTROLNA.

Powierzchnia i objętość kontrolna są stałe w układzie Eulera. Mogą być przenikliwe dla elementów płynu. Przez powierzchnię kontrolną może przepływać strumień dowolnej wielkości związanej z elementami płynu.

RÓWNANIE ZACHOWANIA MASY.

dρ/dt+ρdivu=0 ; ∂ρ/∂t +div(ρu)=0

∫ρundS=0

Z RZM wynika że m'=ρuS=const. Przy stałej gęstości ρ=const stałe jest też objętościowe natężenie przepływu V'=uS=const.

RÓWNANIE ZACHOWANIA ILOŚCI RUCHU.

ρ⋅du/dt=ρf+divP

d/dt⋅∫ρudτ=∫ρfdτ+∫p_ndS. Zmiana pędu objętości płynnej τ(S) jest równa sumie sił masowych i sił powierzchniowych działających na objętość płynną.

f - gęstość rozkładu sił masowych,

p_n - gęstość rozkładu sił powierzchniowych

RÓWNANIE ZACHOWANIA ENERGII.

ρ⋅d/dt⋅(u²/2+e)=ρfu+divPu-divj

d/dt⋅∫ρ(u²/2+e)dτ=∫ρfudτ+∫p_nudS-∫jndS

Jeżeli pole sił masowych jest polem potencjalnym

f= -gradΠ, to ∫ρ(u²/2+e+Π)undS=∫p_nudS-∫jndS

Dla przepływu adiabatycznego:

[u²/2+e+(p/ρ)+Π]_s2=[u²/2+e+(p/ρ)+Π]_s1

j - wektor natężenia strumienia ciepła, P - tensor naprężeń

ENTROPIA jest to wielkość definiowana jako funkcja parametrów stanu płynu, która ma następujące własności:

• może być transportowana wraz z ciepłem wg relacji Clausiusa: j_s=1/Tj, gdzie j_s - strumień entropii, j - s. ciepła

• dla procesów makroskopowych (wolnych w porównaniu z procesami na poziomie molekularnym) zmiana entropii związana jest ze zmianą parametrów stanu wg relacji Gibbsa: T⋅ds/dt=de/dt+p⋅d/dt⋅(1/ρ)

• ma własności addytywne w dwojakim znaczeniu:

• może być sumowana w objętości

• może być sumowana niezależnie od tego, czy jest wytwarzana wewnątrz objętości, czy też transportowana z ciepłem d/dt⋅∫ρsdτ =∫s'dτ -∫j_sndS , gdzie s' - intensywność objętościowych źródeł entropii.

RÓWNANIE BILANSU ENTROPII.

ρ⋅ds./dt= s'-div(j/T)

d/dt⋅∫ρsdτ =∫s'dτ -∫j_sndS

DYSSYPACJA ENERGII to proces zamiany energii mechanicznej w energie cieplną. Część energii kinetycznej ruchu deformacyjnego zamieniona jest na energię wewnętrzną w ilości Ts_m'. s_m' - entropia produkowana na skutek procesów mechanicznych (dla μ=0 Ts_m'=0)Moc dyssypacji energii N=∫T⋅s_m'dτ

PŁYN NIENEWTONOWSKI - idealny, nielepki (bez tarcia). Ponieważ zakładamy, że płyn jest nielepki (μ=0) z tensora naprężeń znikają naprężenia styczne (tensor naprężeń ma charakter symetryczny co wynika z RZMIR), a po uwzględnieniu p_xx=p_yy=p_zz= -p tensor ma postać:

P= -pE. Dla tak zapisanego tensora P RZIR przyjmuje postać: ρ⋅du/dt=ρf-gradp (równanie Eulera). Dla płynu nielepkiego przyjmuje się ze względu na brak lepkości możliwość poślizgu wzdłuż opływanych powierzchni. Warunek brzegowy dla prędkości przy opływie pow. u_n=0

PLYN NEWTONOWSKI - lepki. Istotą hipotezy Newtona jest liniowa zależność między tensorem naprężeń, a tensorem prędkości deformacji: P=aE+bD

P= -(p+2/3⋅μdivu)+2μD (dla płynu nieściśliwego divu=0)

RZIR ma wtedy postać:

ρ⋅du/dt=ρf-gradp-grad(2/3⋅μdivu)+div(2μD)

Widać, że równanie Eulera jest szczególnym przypadkiem powyższego (dla μ=0). Warunkiem brzegowym w modelu płynu newtonowskiego jest u|_s=u_c , u_c - prędkość ciała opływanego. Powyższe warunki brzegowe wynikają z braku poślizgu na powierzchni S.

ZAMKNIĘTY UKŁAD RÓWNAŃ DLA PŁYNU

ŚCIŚLIWEGO. (ρ=var)

RZM: dρ/dt+ρdivu=0 ; (1R)

RZIR: ρ⋅du/dt=ρf+divP ; (3R)

RZE: ρ⋅d/dt⋅(u²/2+e)=ρfu+divPu-divj ; (1R)

KRS: e=c_v⋅T+e₀ ; (1R)

TRS: p/ρ=z(p,T)RT ; (1R)

j= -λgradT (prawo Fouriera)

P= -(p+2/3⋅μdivu)+2μD

niewiadome: ρ, p, u_x, u_y, u_z, e, T ; (=7N)

dane: z(p,T), μ, λ, c_v - cechy płynu (f=g)

ZAMKNIĘTY UKŁAD RÓWNAŃ DLA PŁYNU

NIEŚCIŚLIWEGO. (ρ=const)

• μ=const

RZM: divu=0 ; (1R)

RZIR: ρ⋅du/dt=ρf-gradp+μ∇²u ; (3R)

niewiadome: u_x, u_y, u_z, p ; (=4N)

dane: μ, f=g

• μ=μ(T)

RZM: divu=0 ; (1R)

RZIR: ρ⋅du/dt=ρf-gradp+div(2μD) ; (3R)

RBE: ρ⋅c⋅de/dt=Ts_m'+λ∇²T ; (1R)

μ=μ(T) ; (1R)

niewiadome: u_x, u_y, u_z, p, T, μ ; (=6N)

dane: c, f=g

RÓWNANIE NAVIER'A-STOKESA.

ρ⋅du/dt=ρf+divP ; P= -(p+2/3⋅μdivu)E+2μD

ρ⋅du/dt=ρf-gradp+μ∇²u

HYDROSTATYKA - podstawowy układ równań.

Hydrostatyka zajmuje się płynem w stanie spoczynku względem ścianek naczynia, zbiornika co prowadzi do wniosku: u≡0

RZM: ∂ρ/∂t+div(ρu)=0 ⇒ ∂ρ/∂t=0 co oznacza, że gęstość może być tylko funkcją przestrzeni ρ=ρ(x,y,z)

RZIR: ρf+divP=0 biorąc pod uwagę hipotezę Newtona oraz fakt u≡0 otrzymujemy P= -pE i wtedy:

RZIR: ρf-gradp=0 ⇒ gradp=ρf

RZE: ρ⋅∂e/∂t= -divj co po uwzględnieniu prawa Fouriera j= -λgradT wygląda ρ⋅c⋅∂T/∂t=λ∇²T

Jeżeli pominiemy siły napięcia powierzchniowego, to dla dwóch płynów o różnych gęstościach ρ₁ i ρ₂: f₁=f₂=f oraz p₁=p₂=p. Zmianę ciśnienia wzdłuż powierzchni możemy obliczyć ze wzoru: ∂p=gradp∂r ; ∂p=ρf∂r=ρ₁f∂r=ρ₂f∂r

(ρ₁-ρ₂)f∂r=0 - ponieważ ρ₁≠ρ₂ powierzchnia swobodna ustawia się prostopadle do kierunku działania sił masowych. Z drugiej strony ∂p=0 co oznacza, że powierzchnia jest izobaryczna.

∂p=ρf∂r ⇒ ∂p/∂r=ρf ; … ; … ; ∂p/∂z=ρg ⇒∫ρp=∫ρg∂z

NAPÓR HYDROSTATYCZNY na ściankę o powierzchni S: N= -∫pndS . Znak minus wynika ze skierowania wektora n do wewnątrz cieczy, czyli w stronę przeciwną niż parcie cieczy wypełniającej naczynie na ściankę o powierzchni S.

---