Wstęp teoretyczny:

1. Prawo Stokesa - prawo określające siłę oporu na sztywną kulę poruszającą się w nieograniczonym lepkim płynie powolnym jednostajnym ruchem postępowym.

F=6rv

Gdzie - współczynnik lepkości płynu, r- promień kuli, v - prędkość kuli. przepływ wokół kuli jest laminarny.

 Ruch cieczy lepkiej.

Przemieszczanie się warstw cieczy względem siebie powoduje powstanie stycznej do powierzchni warstw siły tarcia, proporcjonalny do różnicy prędkości warstw i ich pola powierzchni. Siłę tę nazywamy siłą oporu lepkiego.

Rys 1.

Warstwowy przepływ cieczy lepkiej.

Podany przez Newtona wzór na siłę oporu lepkiego w cieczy nieściśliwej, jaka występuje przy ruchu warstwowym ma postać:

współczynnik lepkości cieczy,

gradient prędkości w kierunku prostopadłym do kierunku przepływu,

S-pole powierzchni cieczy.

Dla pełniejszego scharakteryzowania własności cieczy lepkich, oprócz dynamicznego współczynnika lepkości , stosuje się tzw. kinematyczny współczynnik lepkości v równy:

ρ - gęstość cieczy.

Z punktu widzenia mikroskopowego modelu cieczy, przemieszczanie się cząsteczek cieczy związane jest z pokonywaniem przez nie bariery międzycząsteczkowej E, występuje pomiędzy sąsiadującymi ze sobą cząsteczkami. Wynika stąd, że ze wzrostem temperatury rośnie energia kinematyczna cząsteczek i łatwiej mogą one pokonywać barierę oddziaływań międzycząsteczkowych E. makroskopowym efektem tych procesów jest zmniejszanie się współczynnika lepkości cieczy  gdy temperatura rośnie. W najprostszym ujęciu wpływ temperatury na współczynnik lepkości opisany jest zależnością ekwipotencjalną:

=₀exp(E/kT)

k=1,3805*10^-23[J/K] - stała Boltzmana,

T- temp. w skali bezwzględnej.

3. Ruch kuli w cieczy lepkiej:

Jeśli wewnątrz cieczy lepkiej porusza się ciało stałe, to warstwa cieczy przylegająca bezpośrednio do jego powierzchni jest unoszona przez to ciało z prędkością równą prędkości ciała, a warstwy dalej odległe poruszają się z prędkościami coraz mniejszymi bo pojawia się siła oporu lepkiego.

Rys2.

Rozkład prędkości warstw cieczy wokół poruszającej się kulki.

Siła zależy nie tylko od gradientu prędkości w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu ciała i lepkości cieczy, ale również do kształtu ciała. Dla kuli poruszającej sie z prędkością v siła ta dana jest wzorem Stokera:

T=6rv

Gdzie - współczynnik lepkości płynu, r- promień kuli, v - prędkość kuli. przepływ wokół kuli jest laminarny.

Dla kuli o masie m i promieniu r, opadającej pod wpływem własnego ciężaru w cieczy lepkiej o gęstości ρ i lepkości  (rys 3.), równanie ruchu będzie miało zatem postać

Rów. 4.

Po rozwiązaniu Rów.4 otrzymuje się następującą zależność prędkości kuli od czasu:

v_{g -} to graniczna prędkość kuli, z jaką będzie ona spadała ruchem jednostajnym, po wytworzeniu się równowagi pomiędzy siłą ciężkości Q, siłą wyporu F_wyp i siłą Stokera T(v_g).

Rys. 3.

Układ sił działających na kulkę opadającą w cieczy lepkiej.

Z warunku równowagi sił wynika zatem, że prędkość graniczna v_g, będzie równa:

d=2r

Jeśli zatem w warunkach równowagi sił kulka przebędzie drogę l w czasie t, to współczynnik lepkości cieczy można wyliczyć ze wzoru:

Obliczenia:

d= d_i/10 =2,478mm

d=(d_k+0,0001)^0,5 =

ln=k*1/T+ln₀ =





S

F

V

V₂

V₁

T

v_z

F_wyp

T(v)/2

T(v)/2

T(v_g)/2

T(v_g)/2

F_wyp

Q=F_wyp+T(v_g)

---