Ruch wahadła matematycznego o długości l wychylonego z położenia równowagi można opisać równaniem różniczkowym , które otrzymuje się z II zasady dynamiki Newtona.

Gdzie: ϕ - kąt wychylenia od położenia równowagi , t - czas i g - przyspieszenie ziemskie. Równanie to jest nieliniowym równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Jego rozwiązanie otrzymuje się metodami numerycznymi , po zastąpieniu funkcji sinus jej rozwinięciem w szereg potęgowy względem kąta ϕ (wyrażonego w radianach):

Jeżeli ograniczymy się do małych wychyleń , dokładne jest wtedy przybliżenie sinϕ ≈ ϕ i pierwsze równanie sprowadza się do postaci:

Jest to równanie różniczkowe liniowe , właściwe dla oscylatora harmonicznego. Opisuje ono małe drgania wahadła matematycznego o częstotliwości kołowej ω₀²=g/l i okresie drgań :

Rozwiązaniem równania trzeciego jest funkcja ϕ ϕ₀sin(ω₀/lδ), gdzie ϕ₀ jest amplitudą drgań . Przy większych wychyleniach , gdy przybliżenia sinϕ ≈ ϕ nie można stosować , rozwiązanie staje się bardziej skomplikowane . Wahadło staje się oscylatorem nieliniowym i w wyrażeniu na wychylenie ϕ pojawiają się składniki zawierające wielokrotność częstości ω₀. Okres wahań wahadła można wtedy wyrazić wzorem:

Wzór ten z dobrym przybliżeniem można przedstawić w postaci:

Gdzie: A=ϕ₀. Gdy A dąży do zera , co odpowiada przypadkowi małych wychyleń , T(A) przyjmuje wartość T₀ .

Zmiany okresu wahań wraz ze zmianą amplitudy można przedstawić za pomocą bezwymiarowej wielkości :

Dla małych wychyleń (A≈0), f(A)=0. W celu wyznaczenia funkcji f(A) mierzymy średnie okresy wahań da serii wahnięć rozpoczynanych od różnych amplitud. Ponieważ amplituda wahań maleje w czasie pomiaru , wielkość A w ostatnim wzorze zastępujemy wartością średnią A_śr. Jest ona równa średniej arytmetycznej amplitudy początkowej A₁ i amplitudy ostatniego wahnięcia A₂ w danym pomiarze.

Wykres funkcji f(A_śr) stanowi graficzny obraz względnych zmian okresu wahań. Punkt początkowy wykresu posiada współrzędne A_śr=0,f(0)=0. Różnica f(A_śr)-f(0) jest miarą nieliniowości wahadła.

Tabela 1.

Długość wahadła „l” wynosi 0,33 m.

L.p.	Liczba wahnięć n	Czas t [s]	f(A0)	Okres T(A0) [s]
1	30	35,8	0,0356	1,193
2	30	35,4	0,0243	1,18
3	30	35,6	0,03	1,187
4	30	35,5	0,028	1,184
5	30	35,7	0,033	1,19
6	30	35,4	0,0243	1,18
7	30	35,3	0,0217	1,177

Tabela 2.

1^o=0,035 rad.

f(A)	L.p	Amplituda			Liczba wahnięć n	Czas t [s]	Okres T(A) [s]
				A1				A2	Aśr
0,054	1	5	4,3	4,65	20	24,3	1,215
0,0633	2	15	14,5	14,75	20	24,5	1,225
0,0633	3	25	24,3	24,65	20	24,5	1,225
0,072	4	35	33,3	34,15	20	24,7	1,235
0,098	5	45	42,5	43,75	20	25,3	1,265
0,089	6	55	51,5	53,25	20	25,1	1,255
0,132	7	65	59	62	20	26,1	1,305

T(Aśr)	f(Aśr)	T'(Aśr)	f'(Aśr)
1,215	0,054	1,154	0,0017
1,225	0,0633	1,171	0,0165
1,225	0,0633	1,207	0,047
1,235	0,072	1,263	0,096
1,265	0,098	1,343	0,166
1,255	0,089	1,451	0,26
1,305	0,132	1,582	0,373

Dyskusja wyników:

Pomiary zostały przeprowadzone w sposób dość dokładny, błędy pomiaru mogą wystąpić dla dużych amplitud , gdyż podczas wprawiania wahadła w ruch występowały nie pożądane drgania poprzeczne wahadła.

1

1

---