11. Fale mechaniczne

Fala mechaniczna to rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie ośrodka sprężystego. Jeśli ośrodkiem tym jest powietrze to mówimy o fali akustycznej.

6.1. Powstawanie i rozchodzenie się fal

Wyobraźmy sobie liniowy ośrodek sprężysty (np. wąż gumowy), który pobudzany jest w jednym punkcie do drgań prostopadłych do osi węża. Wytwarzane w ten sposób drgania przekazywane są przez siły sprężyste występujące w gumie do sąsiednich elementów ciała. Po pewnym czasie dochodzą one do punktu P w którym, jeśli zaniedbać tłumienie, odbywać się będą takie same drgania jak w źródle ale opóźnione w czasie (rysunek 43).

Rys. 43 Fala mechaniczna

Równania ruchu dla źródła i punktu P będą miały postać:

,

.

Różnica czasowa t' związana jest z odległością punktu P od źródła i prędkością rozchodzenia się fali
(t'=l/v). Po wstawieniu do ostatniego równania otrzymujemy:

.

Podstawiając za Tv długość fali
i wprowadzając liczbę falową k lub jej odmianę
=
dostajemy:

.

Ostanie równanie nazywamy równaniem fali. Fale mechaniczne możemy podzielić na poprzeczne i podłużne. W fali poprzecznej drgania ośrodka odbywają się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali (kierunku propagacji fali). W falach podłużnych (np. akustycznych) drgania cząsteczek odbywają się zgodnie z kierunkiem propagacji fali.

6.2. Superpozycja i interferencja

Gdy fale spotykają się w jednym punkcie wypadkowe drganie jest superpozycją (sumą wektorową) drgań pochodzących od poszczególnych źródeł. Szczególnym przypadkiem superpozycji jest interferencja fal spójnych (koherentnych). Warunkiem spójności fal jest stałość w czasie różnicy faz między nimi, czyli:

.

Różnica faz początkowych nie zależy od czasu. Składnik zawierający czas będzie niezależny od czasu gdy różnica częstości będzie równa 0, czyli:

.

Z warunku tego wynika również konieczność stałości: częstotliwości, okresów, długości fal i liczb falowych. Fakt ten zapewnia również stałość w czasie składnika związanego ze współrzędnymi przestrzennymi. Tak więc jako warunek interferencji fal można podać równość częstotliwości drgań źródeł. Rysunek 44 przedstawia dwa źródła Z₁ i Z₂ odległe o l₁ i l₂ od punktu P.

Rys. 44 Interferencja fal

Przy założeniu równych amplitud i zerowych wartości faz początkowych otrzymamy:

,

oraz podstawiając
i
uzyskamy równanie:

.

Otrzymaliśmy równanie ruchu harmonicznego o amplitudzie zależnej od współrzędnych przestrzennych (różnicy odległości od źródeł). Maksymalną wartość amplitudy otrzymamy gdy wartość bezwzględna funkcji cosinus będzie równa 1 (kąt
).

Podstawiając Δl=l₂-l₁ otrzymamy:

.

Tak więc warunkiem wzmocnienia fal jest aby różnica odległości od źródeł była równa wielokrotności długości fali.

Postępując analogicznie i przyjmując zerowanie amplitudy dla wartości cosinus równej 0 (nieparzyste wielokrotności
) otrzymamy warunek wygaszenia (osłabienia): .

6.3. Fale akustyczne

Fale akustyczne to podłużne fale mechaniczne rozchodzące się w powietrzu. Człowiek słyszy te fale w zakresie częstotliwości 16-20 000 Hz. Dźwięki o niższych częstotliwościach (f < 16Hz) nazywamy infradźwiękami a o wyższych (f > 20 000 Hz) ultradźwiękami (rysunek 45).

Te ostatnie wykorzystywane są przez nietoperze do lokalizacji. Znalazły też zastosowania techniczne takie jak: defektoskopia, echolokacja.

Rys. 45 Zakres słyszalności ucha ludzkiego.

Głośność Λ definiujemy ze względu na rejestrację dźwięków przez ucho ludzkie w skali logarytmicznej:

.

I₀ to natężenie dźwięku wzorcowego o częstotliwości 1 kHz i natężeniu 10^-12 W/m². I oznacza natężenie dźwięku tego wzorca słyszanego tak samo głośno jak dźwięk badany o częstotliwości f. Jednostką głośności jest decybel.

6.4. Fale stojące, rezonans

Fala stojąca powstaje w wyniku nałożenia się na siebie drgań pochodzących od fali padającej i poruszającej się w przeciwnym kierunku fali odbitej. Gdy w danym punkcie fale cząstkowe dają wychylenia w tą samą stronę mamy do czynienia ze wzmocnieniem. Miejsce maksymalnego wzmocnienia nazywamy strzałką. Jeżeli w danym punkcie fale cząstkowe dają wychylenia w przeciwną stronę mamy do czynienia ze wygaszeniem. Miejsce wygaszenia nazywamy węzłem. Najprostszym przykładem źródła dźwięku z falą stojącą jest struna zamocowana dwustronnie (rysunek 46). Jej punkty zamocowania muszą oczywiście stanowić węzły powstającej fali stojącej.

Rys. 46 Fale stojące w strunie

Drganie (ton) podstawowe mieści na długości struny połowę długości fali biegnącej
, stąd z wzoru na długość fali otrzymujemy:

,

.

Dla pierwszej harmonicznej (dodatkowy jeden węzeł):

.

Analizując kolejne drgania harmoniczne dochodzimy do związku:

.

Tak więc kolejne, n-te drganie harmoniczne charakteryzuje się częstotliwością n-razy większą od częstotliwości drgania podstawowego.

Wielkość fizyczna jaką jest częstotliwość jest odpowiednikiem wrażenia subiektywnego nazywanego wysokością dźwięku. Barwa dźwięku wiąże się z rozkładem energetycznym przypadającym na poszczególne składowe harmoniczne.

Rys. 47. Rezonans akustyczny kamertonów

W akustyce występuje również zjawisko rezonansu mechanicznego (tu rezonansu akustycznego). Polega ono na przekazywaniu energii drgań fal akustycznych od źródła do odbiornika i z powrotem. Klasycznym przykładem jest wzbudzenie do drgań jednego z dwóch identycznych kamertonów a następnie jego wytłumienie przez dotknięcie ręką. Słychać wówczas drgania o tej samej częstotliwości wydobywające się z pudła rezonansowego drugiego kamertonu (rysunek 47).

---