http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/
fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I
11. Fale mechaniczne
FALA
Falą nazywamy każde rozprzestrzeniające się (rozchodzące się
w przestrzeni) zaburzenie
(odkształcenie, drgania).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Fale
przenoszą energię, ale nie transportują materii.
Fale
mogą być rozchodzić się w ośrodkach materialnych (i związane
są wtedy ze zmiana parametrów takiego ośrodka, jak np. ciśnienie i
gęstość w gazach w przypadku fali akustycznej w powietrzu) ale mogą też
nie
potrzebować
ośrodka
materialnego
do
propagacji
(fale
elektromagnetyczne).
Drgania: x(t)
Fale: y(x,t)
Rodzaje fal:
- fale mechaniczne;
- fale elektromagnetyczne;
-
fale materii (cząstki).
FALA
Fala poprzeczna
– gdy drgania zachodzą w kierunku prostopadłym
do kierunku rozchodzenia się fali.
Fala podłużna – gdy drgania zachodzą w kierunku równoległym do
kierunku rozchodzenia się fali.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Równanie falowe:
2
2
2
2
2
1
t
v
r
Rozwiązanie ogólne: dowolna funkcja argumentu:
vt
x
u
FALA
Przykłady rozwiązań równania falowego:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Fala harmoniczna:
kx
t
A
x
T
t
A
v
x
t
A
cos
2
cos
cos
Fala
płaska:
r
k
i
t
i
A
exp
exp
Fala kulista:
r
k
i
t
i
r
A
exp
exp
FALA
dla dowolnej, ustalonej
wartości t:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
vt
x
y
t
x
y
2
cos
,
0
Przykład: fala biegnąca
x
y
const
t
x
y
2
cos
,
0
- to
długość fali (odległość między powtarzającymi się fragmentami fali,
np. „grzbietami”);
-
prędkość przesuwania się „grzbietu” fali, czyli prędkość fazowa fali;
v
FALA
Wielkości opisujące falę:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
-
Związki między prędkością, okresem i długością fali:
2
f
T
v
- okres fali;
-
częstość kołowa;
-
częstotliwość;
T
f
- Liczba falowa (wektor falowy):
2
k
-
Prędkość fazowa:
k
v
FALA STOJĄCA
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Zakładamy odbicie fali harmonicznej od granicy ośrodków ze skokiem
fazy
równym
radianów:
T
t
x
A
x
T
t
A
x
T
t
A
y
2
cos
2
sin
2
2
sin
2
sin
Równanie to przedstawia tzw. falę stojącą – taki
rodzaj
drgań ośrodka, który charakteryzuje się
regularnym
występowaniem na przemian miejsc,
gdzie amplituda
drgań jest równa zeru (węzły) i
gdzie jest maksymalna -
równa 2A (strzałki).
FALA STOJĄCA
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Generowanie fal
stojących:
Przykład: płaska, prostokątna membrana o bokach a i b – można na
niej
wzbudzić falę stojącą tylko taką, która opowiada ułożenie się na
każdej krawędzi całkowitej wielokrotności połowy odpowiadającej jej
długości fali – figury Chladniego.
NAKŁADANIE SIĘ FAL
Nakładamy na siebie dwie fale harmoniczne o jednakowej
amplitudzie i
zbliżonych częstotliwościach
i
:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
1
2
t
a
t
a
t
y
2
1
cos
cos
Jako
falę wypadkową otrzymujemy:
t
t
a
t
y
cos
cos
2
gdzie:
2
2
1
2
2
1
NAKŁADANIE SIĘ FAL
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
to funkcja
modulująca (obwiednia) [zakładamy, że
częstości różnią się nieznacznie]
t
a
cos
2
NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA
„Dokładamy” trzecią falę o częstości
i amplitudzie
:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
a
2
Pięć fal sinusoidalnych zsumowanych według podobnej reguły:
NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA
Nieskończona liczba fal o względnych amplitudach danych funkcją
Gaussa:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
2
2
2
exp
G
jest odchyleniem standardowym
– tu: rozrzut częstości
Suma
nieskończonej ilości fal sinusoidalnych będzie wtedy dana funkcją:
t
t
d
t
G
cos
1
2
exp
cos
2
2
NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
t
t
d
t
G
cos
1
2
exp
cos
2
2
Odchylenie standardowe tego
rozkładu:
nazywane jest
szerokością paczki fal.
1
t
Funkcja
to transformata Fouriera paczki fal.
G
NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA
Nakładamy na siebie dwie rozchodzące się w przestrzeni fale
harmoniczne
o
jednakowej
amplitudzie
i
zbliżonych
częstotliwościach
i
oraz
zbliżonych liczbach falowych
i
:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
1
2
1
k
2
k
x
k
t
a
x
k
t
a
t
x
y
2
2
1
1
cos
cos
,
Jako
falę wypadkową otrzymujemy:
x
k
t
kx
t
a
t
y
cos
cos
2
2
2
1
gdzie:
2
2
1
2
2
1
k
k
k
2
2
1
k
k
k
NAKŁADANIE SIĘ FAL –
PRĘDKOŚĆ PACZKI FALOWEJ
Funkcja
modulująca jest teraz równa
:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
kx
t
a
cos
2
i ma ona maksimum dla:
0
kx
t
a
stąd otrzymujemy:
k
t
x
NAKŁADANIE SIĘ FAL
– PACZKA FALOWA
Prędkość grupowa v
g
– prędkość rozchodzenia się paczki fal
sinusoidalnych o
zbliżonych częstościach (prędkość „grzbietu”
obwiedni):
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
dk
d
v
g
Prędkość fazowa v
f
-
prędkość rozchodzenia się stałej fazy
(każdej fali składowej osobno):
i
i
f
k
v
NIEZWYKLE WAŻNE
2-2=4
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
FALE AKUSTYCZNE
Jest to rodzaj fal
sprężystych – rozchodzących się w ciągłym
ośrodku materialnym odkształceń objętościowych lub odkształceń
postaci (w
ciałach stałych).
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Fale akustyczne w powietrzu
są przykładem fal podłużnych,
polegających na rozchodzeniu się zagęszczeń i rozrzedzeń
powietrza.
Założenia:
• lokalny ruch cząsteczek powoduje zmianę gęstości gazu;
• zmiana gęstości jest równoważna zmianie ciśnienia gazu;
• nierównomierny rozkład ciśnienia powoduje lokalny ruch cząstek gazu.
FALE AKUSTYCZNE
Równanie falowe dla fali dźwiękowej w powietrzu:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
2
2
2
2
x
f
t
f
0
2
p
p
p
v
gdzie:
-
gęstość
Po wykorzystaniu prawa
Hooke’a i równania Clapeyrona:
B
v
gdzie:
(moduł ściśliwości)
V
V
p
B
FALE AKUSTYCZNE
Natężenie fali dźwiękowej:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
-
szybkość przenoszenia energii (moc);
P
m
s
- amplituda fali;
2
2
2
1
m
s
v
S
P
I
Ludzkie ucho odbiera
dźwięk o amplitudzie od 10
-5
m do 10
-11
m, czyli
stosunek
natężeń dla tych dwóch granic wynosi 10
12
!
Stąd zamiast
natężenia fali dźwiękowej używa się głośności dźwięku
2
12
0
10
m
W
I
0
log
10
I
I
dB
- to standardowe
natężenie odniesienia.