AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie	Jan Radosz Piotr Żydziak
				Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki
				Rok II A Grupa 3B
				Semestr 4 letni

Laboratorium z podstaw automatyki

SPRAWOZDANIE

Laboratorium nr 1

Temat: Rozwiązywanie równań różniczkowych

z niezerowymi warunkami początkowymi

Cel ćwiczenia:

1. zapoznanie się z różnymi metodami rozwiązywania równań różniczkowych w Matlabie,

2. wykorzystanie Simulinka do tworzenia modelu równania różniczkowego,

3. archiwizacja otrzymanych rozwiązań

Wprowadznie teoretyczne:

MATLAB zawiera funkcje rozwiązujące zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych

zwyczajnych za pomocą np. par metod Rungego-Kutty rzędu 2 i 3 (funkcja ode23) oraz rzędu 4 i 5

(funkcja ode45).

Funkcje te rozwiązują zagadnienie początkowe dla układów równań zwyczajnych

Składnia funkcji:

[T, X] = ode23 (`F(t, x)', [t0 tk], x0, tol, tr)

[T, X] = ode45 (`F(t, x)', [t0 tk], x0, tol, tr)

Kolejne parametry wejściowe oznaczają:

• pierwszym parametrem musi być łańcuch zawierający nazwę zdefiniowanej przez użytkownika funkcji zwracającej

wartości F(t, x)

• t0, tk - granice przedziału czasu, w którym poszukiwane jest rozwiązanie

• x0 - określa warunek początkowy - wektor kolumnowy zawierający wartość rozwiązania układu w chwili początkowej

• tol - opcjonalny parametr określający wymaganą dokładność; domyślnie: 0.001

• tr - opcjonalny parametr, który jeśli ma wartość różną od zera, to powoduje wypisanie kolejnych kroków działania metody na ekranie

Wartością omawianych funkcji jest macierz X zawierająca umieszczone wierszowo wektory

reprezentujące wartości rozwiązania w punktach określonych odpowiednimi elementami wektora

kolumnowego t, który jest jedną z wartości funkcji ode23 i ode45.

Przebieg ćwiczenia:

1) Rozwiązanie równania różniczkowego

dla x(0)=0 i x'(0)=2

1. Wykorzystanie funkcji ode45

W pierwszym m-pliku (funkcja1.m) zapisujemy postać równania jako równania stanu:

W drugim m-pliku (rozw1.m) wprowadzamy parametry wejściowe, wywołujemy funkcję ode45 i rysujemy wykres rozwiązania:

Wykres rozwiązania (dla t=10s)

2. Wykorzystanie SIMULINKa

Tworzymy model

i otrzymujemy wykres:

2) Rozwiązanie równania różniczkowego

Dla x(0)=0 i x'(0)=0

1. wykorzystanie funkcji ode45

m-pliki:

Wykres rozwiązania(dla t=10s):

2. wykorzystanie SIMULINKa

model:

Wykres rozwiązania:

3) Zamodelowanie w Simulinku równania:

dla y(0)=0 i y'(0)=0

model:

Wykres rozwiązania:

Zadanie domowe

Rozwiązać równanie różniczkowe:

Dla x(0)=3 i x'(0)=4

1. wykorzystanie funkcji ode45

m-pliki

Wykres rozwiązania

2. wykorzystanie SIMULINKa

model:

Wykres rozwiązania:

Wnioski

W programach MatLab oraz Simulink możemy rozwiązywać równania  różniczkowe o wiele sprawniej niż ręcznie metodami analitycznymi. Dzięki programowi Simulink możemy w łatwy sposób budować schematy blokowea następnie na podstawie wykresu obserwować przebieg sygnału  odpowiedzi układu o danej transmitacji na zadany sygnał wymuszenia.  Obliczenia wykonywane w MatLabie mogą być przedstawiane w formie  wykresów lub macierzy. Podobnie wykresy otrzymane w programie  Simulink można zapisać w postaci macierzy w MatLabie, a następnie  wykreślić wykres identyczny jak uzyskany w Simulinku.

---