DEFINICJE
Macierzą o m wierszach i n kolumnach (o wymiarze n x m) nazywać będziemy każdą f-cję rzeczywistą określoną w zbiorze M.
Jeżeli macierz B powstała z macierzy A w wyniku przekształceń elementarnych to stopień r bloku jednostkowego nazywamy rzędem macierzy A i oznaczamy rzA
Iloczynem macierzy An x x przez macierz Bx x m nazywać będziemy macierz Cn x m*[cij] taką że Cij=Σaib j=1,2,...m
Niech A będzie macierzą kwadratową n-tego stopnia 1) Jeżeli n=1, A=[an1], to wyznacznikiem macierzy A nazywać będziemy liczbę detA=|A|=a11 2) Jeżeli n>1 to wyznacznikiem macierzy A nazywać będziemy liczbę A=|A|a11|A11|+a12|A12|+a13|A13|+...+(-1)1+n an|An|
Minorem macierzy Am x n nazywać będziemy wyznacznik każdej podmacierzy kwadratowej macierzy A
Niech A będzie m. kwadratową n-tego stopnia. Dopełnieniem algebraicznym elementu Aij macierzy nazywać będziemy wyrażenie Dij(-1)do potęgi i+j=|Aij|, dla i,j=1,2,...n
Niech A będzie macierzą n-tego stopnia. Jeżeli istnieje macierz B (n-tego stopnia), taka że AB*BA=I, to macierz tę nazywamy odwrotną do A i oznaczamy Ado pot -1
Jeżeli istnieje m. Odwrotna do danej macierzy kwadratowejA, to m. A nazywamy nieosobliwą, jeżeli nie istnieje Ado pot -1 to m. A nazywamy osobliwą
Wektory x, y należące do R= nazywać będziemy równoległymi jeżeli istnieje liczba L<R taka że x=L*y lub y=L*x Uwaga: Wektor 0 jest równoległy do każdego wektora xeRn
Iloczynem skalarnym wektorów x,yeRn nazywać będziemy liczbę: x*y=[x1,x2...xn]-piszemy w pionie nawiasy-[y1,y2,...yn]=x1y1+x2y2+...+xnyn=Σxi yi
Wektory x, y należące do Rn nazywamy ortogonalnymi(prostopadłymi) jeżeli x*y=0 Uwaga: Wektor 0 jest prodtopadły do każdego wektora xeRn
Kombinacja liniową wektorów a1,a2,...an eRn nazywać będziemy wektor L1a1+L2a2+..._Lnan, gdzie L1.L2...Ln eR Liczby a1,a2,...an nazywamy współczynnikiwm tej kombinacji liniowej
Układ wektorów a1,a2,...an eRn nazywamy liniowo zależnymi jeżeli istnieją nieznikające jednocześnie współczynniki L1,L2,...Ln takie żeL1a1+L2a2+...Lnan=0
Układ wektorów a1,a2,...an eRn nazywamy liniowo niezależnym jeżeli nie jest liniowo zalezny tzn jeżeli z warunku L1a1+L2a2+...+Lnan=0 wynika że L1=L2=...=Ln=0
Bazą R nazywać będziemy każdy układ n wektorów liniowo niezależnych Uwaga: Wektory jednostkowe i1,i2,...in tworza bazę przestrzeni Rn którą nazywamy bazą kanoniczną albo standardowa
Jeżeli wektory a1,a2,...an tworza bazę w Rn i wektor a=L1a1+L2a2+...+Lnan, to współczynniki L1,L2...Ln nazywamy współrzędnymi wektorów a w bazie B(a1,a2,...an)piszemy a=[L1,L2...Ln]w pionie piszemy
Układ równań Ax=0 nazywać będziemy układem jednorodnym
Układ równań liniowych Ax=b nazywamy oznaczonym jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań, sprzecznym brak rozwiązań
Układ n równań o n niewiadomych nazywamy układem Cramera jeżeli macierz współczynników tego układu jest nieosobliw
Metryką(odległością) euklidesową w przestrzeni Rn nazywać będziemy f-cję d: Rⁿ x Rⁿ ->R+u{0} określoną wzorem d(x,y)=(Σ(xi-yi) ²) ½= √(x1-y1) ²+(x2-y2)²+...+(xn+yn)²
Kulą o środku xo i promieniu r>0 nazywac bęziemy zbiór K(xo,r)={xeRⁿ *d(x,xo)<r}
Otoczeniem punktu xoeRⁿ nazywamy każdą kulę o środku w punkcie xo
Zbiór A(Rⁿ nazywamy
Otwartym jeżeli każdy punkt zbioru A należy do niego wraz z pewnym swym otoczeniem
Domkniętym jeżeli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym
Ograniczonym jeżeli istnieje kula K taka że K)A
Kombinację liniową L1a1+L2a2+...Lnan nazywamy:
dodatnią jeżeli dla każdego i Li>0
ujemną jeżeli dla każdego i Li≥0
wypukłą jeżeli L1+L2+...+Ln=1
25) Prosta przechodzącą przez punkty a, b eRⁿ nazywać będziemy zbiór wszystkich wypukłych kombinacji liniowych wektorów a,b tj. zbiór
26) Odcinkiem o końcach a,b nazywac będziemy zbiór wszystkich nieujemnych i wypukłych kombinacji liniowych wektorów a,b tj, zbiór
27) Zbiór A(Rⁿ nazywamy wypukłym jeżeli dla każdych dwóch punktów a,beA wektor ab jest zawarty w A
28) Zbiór wszystkich nieujemnych i wypukłych kombinacji liniowych wektorów a1,a2,...aneRⁿ nazywać będziemy wielościanem i oznaczać W(a1,a2...an)={xeRⁿ:x=L1a1+L2a2+...+Lnan, L1,L2,...Ln≥0, L1+L1+...+Ln=1}
29) Punkt ai nazywamy wierzchołkiem wielościanu jeżeli nie jest on kombinacją dodatnią żadnych dwóch wektorów spośród a1,a2,...an
30) Niech x i y będą danymi zbiorami Jeżeli każdemu elementowi xeX przyporządkujemy yeY, to mówimy że w zbiorze X została okreslona f-cja w wartościach w zb.Y zb.X nazywamy dziedzina tej f-cji
31) Pochodną f-cji f okreslonej w otoczeniu punktu xo nazywamy granicę ilorazu różnicowego gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do 0 o ile taka granica istnieje lim przy x->0detf/detx=lim x->0 f(x)-f(xo)/x-xdo0
32) Formę kwadratową f(x)=xTAx nazywamy
dodatnio określoną jeżeli dla każdego x≠0 f(x)>0
ujemnie określoną jeżel dla kazdego x≠0 f(x)<0
półdodatnio określoną jeżeli dla każdego x≠0 f(x) ≥0 i Vpod spodemx≠0 f(x)=0
półujemnie określoną jeżeli dla każdego x≠0 f(x) ≤0 i Vpod spodem x≠0 f(x)=0
nieokreśloną w pozostałych przypadkach
33) Macierzą symetryczną A nazywamy:
dodatnio określoną jeżeli forma kwadratowa f(x)*xtransponowaneAx jest dodatnio określona
ujemnie okresloną jeżeli forma kwadratowa jest ujemnie określona
półdodatnio okresloną jeżeli forma kwadratowa jest półdodatnio określona
półujemnie określoną jeżeli forma kwadratowa jest półujemnie określona
nieokreślona w pozostałych przypadkach
Niech y=f(x), xeD(Rⁿ i niech xoeD. Mówimy że f-cja f jest ciagła w punkcie xo jeżeli dla każdego otoczenia (yo-e,yo+e), e>0, punktu yo=f(x) istnieje otoczenie K(xo) punktu xo takie ż dla każdego xeR(xo)nD f(x)e(yo-e, yo+e)
Gradientem f-cji f w p. xo nazywać będziemy wektor grad f(xo)= [f'x1(xo), f'x2(xo),...f'xn(xo)]-w pionie to piszemy
Hesjanem f-cji f w p. xo nazywać będziemy macierz Hf(xo)=
37) Mówimy że f-cja y=f(x) osiąga w p. xo max likalne (min lokalne) jeżeli istnieje otoczenie K(xo) punktu xo, takie że dla kazdego xeK(xo)nD f(x) ≤f(xo) (dla każdego xeK(xo)nD f(x) ≥f(xo))