id1747484 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 1. Definicja macierzy
Macierz¹ A o wymiarze m n nazywamy prostok¹tn¹ tablicê liczb zùo¿on¹ definicja macierzy
a 11
a 12
...
a n
1
a 21
a 22
...
a
z
2 n
m wierszy i n kolumn postaci
A
.
...
...
...
...
a 1
a 2
...
a
m
m
mn
2
2
0
Przyk
ùadowo tablica
jest macierz
¹ o 2 wierszach i 3 kolumnach, lub 8
9
5
krótko, o wymiarze 23 (co czytamy: dwa na trzy).
Macierze zapisujemy du¿ymi literami, np. A, B, X, zaœ ich elementy maùymi literami. Element macierzy A stoj¹cy w i- tym wierszu i j-tej kolumnie oznaczamy przez a .
i j
Zapis A a
oznacza macierz o wymiarze m n zùo¿on¹ z elementów a .
ij mxn
i j
Rozwa¿a siê równie¿ macierze, których elementami s¹ np. liczby zespolone, funkcje, macierze.
Wykonuj¹c operacje na macierzach, wa¿ne jest, aby nie myliã macierzy z liczbami.
W celu uwypuklenia niekiedy ró¿nic miêdzy macierzami i liczbami, te ostatnie bêdziemy nazywaã wtedy skalarami.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Napisaã
macierz
o
wymiarze
32,
której
elementy
zdefiniowane
i
2 j
dla i j
s
2
¹ nastêpuj¹co: a
dla
.
i j
i j
i j
3
dla
i
j
i j
Rozwi¹zanie
Szukana macierz ma trzy wiersze i dwie kolumny, a wiêc nale¿y obliczyã jej 6 elementów.
Obliczamy kolejne wyrazy macierzy
a
12 1
2 a 2 1 2
0
11
12
a
2 3 1
5 a 22 2
6
21
22
a
3 3 1
6 a 2 3 2 8
31
32
0
Ostatecznie
A 5
6 .
6
8
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
1
1
x
2
ln x
1
x
A 2 B
x
2
sin x
e
x
3
0
3
1
5
C
1 3
4
2 5
D
i
i
0
2
s¹ macierzami o wymiarach odpowiednio 31, 24, 22 oraz 13.
Macierze A i C s¹ rzeczywiste, macierz B jest macierz¹ funkcyjn¹, a macierz D zespolon¹.
............................................................................................
2. Szczególne typy macierzy
Macierz zerowa to taka macierz, której elementami s¹ same zera.
macierz
zerowa
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
0
0
0
0
0
0
A 0
0
0 B
0
0
0
0
0
0
s¹ macierzami zerowymi.
............................................................................................
Macierz wierszowa to taka macierz, która ma tylko jeden wiersz.
macierz
wierszowa
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
6 B 8 0 2
1
s¹ macierzami wierszowymi.
............................................................................................
Macierz kolumnowa to taka macierz, która ma tylko jedn¹ kolumnê.
macierz
kolumnowa
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
0
1
5
A
B
2
8
1
s¹ macierzami kolumnowymi.
............................................................................................
Macierz, która ma tyle samo wierszy ile kolumn nazywamy macierz¹ kwadratow¹. macierz kwadratowa,
Liczbê wierszy (kolumn) macierzy kwadratowej nazywamy stopniem macierzy. stopieñ macierzy
Elementy macierzy kwadratowej, które maj¹ ten sam numer wiersza co kolumny g
tworz
ùówna
¹ gùówn¹ przek¹tn¹ macierzy.
przek¹tna
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
1
5
11
0
2
A
, B
3
1
2 ,
3 1
0
5
7
g
ùówna
gùówna
przek¹tna
przek
¹tna
s¹ macierzami kwadratowymi stopnia odpowiednio 2- go i 3-go.
............................................................................................
Macierz kwadratowa, której wszystkie elementy poni¿ej (lub powy¿ej) gùównej macierz
trójk¹tna
przek¹tnej s¹ równe zero nazywamy macierz¹ trójk¹tn¹.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
0
2
2
5
1
0
0
0
1
3
5
A
0
5 0
B
0
0
5
1
1
2
3
0
0
0
11
s¹ macierzami trójk¹tnymi.
............................................................................................
Macierz kwadratowa, której wszystkie elementy le¿¹ce poza gùówn¹ przek¹tn¹ s¹ macierz diagonalna
równe zero nazywamy macierz¹ diagonaln¹.
..........................................................................................
PRZYK£AD
Podane ni¿ej macierze:
8
0
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
A
B
0
0
5
0
0
0
2
0
0
0
4
0
0
0
0
0
1
s¹ macierzami diagonalnymi.
............................................................................................
Macierz diagonalna, której wszystkie elementy gùównej przek¹tnej s¹ równe macierz jednostkowa
1 nazywamy macierz jednostkow¹.
Macierz jednostkow¹ oznaczamy przez .
..........................................................................................
PRZYK£AD
Przykùady macierzy jednostkowych
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1 ,
,
0
1
0 ,
,
0
0
1
0
0 , itd
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
............................................................................................