SPRAWOZDANIE

TEMAT: WYZNACZANIE PRZYŚPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO

ĆWICZENIE nr: 13

MACIEJ DUDA

DARIUSZ CHRZANOWSKI

WBM , sem II , gr. dz. I

Przyśpieszeniem ziemskim nazywamy przyśpieszenie swobodnego spadku ciał pod wpływem ich ciężaru Q.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki:

g = (1)

gdzie:

g - przyśpieszenie ziemskie

m - masa ciała

Przyśpieszenie ziemskie zmienia się w niewielkim zakresie w różnych punktach powierzchni Ziemi ze względu na zmienność ciężaru. Ciężar jest wypadkową skierowanej do środka Ziemi siły grawitacji oraz odśrodkowej siły bezwładności spowodowanej ruchem obrotowym Ziemi wokół jej osi

Q = F_g + F_b (2)

Wartość siły bezwładności oraz jej kierunek względem kierunku siły grawitacji są zależne od szerokości geogr. Z tego powodu , ciężar ciała jest wielkością zmienną , zależną od miejsca na ziemi ,w którym ciało się znajduje.

RYS

F_b = (3)

gdzie:

ω - prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi

T - okres obiegu Ziemi wokół jej osi

r - promień okręgu po którym porusza się ciało

Na biegunach siła odśrodkowa nie występuje, dlatego ciężar przyjmuje tam największą wartość równą sile grawitacji działającej na ciało.

Drugim czynnikiem wpływającym na zmienność ciężaru jest spłaszczenie pow. Ziemi na biegunach. Kształt Ziemi zbliżony jest do spłaszczonej elipsoidy obrotowej . Jej krótsza półoś przechodząca przez biegun ma dł. R_B = 6351.91 km , natomiast półoś równikowa R_R =6378.79 km . Fakt ten zwiększa jeszcze bardziej różnice pomiędzy ciężarem biegunowym i równikowym .

Pomiary przyśpieszenia ziemskiego na różnych szer.geogr. pozwoliły na sformułowanie następującej zależności:

g = (9.832 - 0.052 ⋅ cos²α) (4)

gdzie:

α - szer. geogr.

A zatem najmniejsza i największa wartość g wynoszą odpowiednio

g_R = 9.750 g_B = 9.832 (5)

Czwartym czynnikiem wpływającym na miejscowe zróżnicowanie ciężaru jest zmienna gęstość Ziemi. W różnych jej częściach zawierających złoża mineralne , których gęstość różni się od jej średniej gęstości , obserwuje się wyraźne lokalne zmiany wartości przyśpieszenia ziemskiego.

W danym miejscu pow. Ziemi przyśpieszenie spadku swobodnego wszystkich ciał jest oczywiście takie samo. Gdyby zaniedbać ruch obrotowy i zmienność promienia Ziemi , można przyjąć że:

(6)

czyli:

G (7)

gdzie:

G - stała grawitacji

R - średni promień Ziemi

h - wys. ponad jej powierzchnią

M - masa Ziemi

Przyśpieszenie ziemskie zależy zatem od wys. ponad pow. Ziemi. Na wys. h = 300 km zmniejsza się ono o ok. 1 m/s. Przy małych wysokościach , dochodzących do kilku km nad pow. Ziemi , przyśpieszenie ziemskie można uważać z bardzo dobrą dokładnością za stałe.

ZASADA POMIARU:

Wahałem rewersyjnym (odwracalnym) nazywamy bryłę sztywną ,

która zawieszona kolejno na dwóch osiach równoległych leżących po przeciwnych końcach jej środka ciężkości w nierównych od niego odległościach , ma taki sam okres drgań.

RYS

Okres swobodnych drgań wahadła fizycznego wynosi:

T₀ = 2Π (8)

gdzie:

I - moment bezwł. wah. wzgl. osi zawieszenia O

m - masa wahadła

d - odl. środka ciężk. S od osi obrotów

Równanie (8) jest słuszne dla małych wychyleń wahadła z poł. równowagi (sin α = α). Zgodnie z tw. Steiner

I = I₀ + md² (9)

gdzie:

I₀ - moment bezwł. wahadła wzgl. osi równoległej do osi O

lecz przechodzącej przez środek ciężk. wahadła

A zatem:

T_{0 =} 2Π (10)

Istnieje inna oś P leżąca na lini OS (rys 2), po przeciwnej str. środka ciężkości , o własności takiej , że okres drgań wahadła wokół tej osi jest taki sam jak dla osi O . Zgodnie z oznaczeniami na rysunku:

T_p =2Π (11)

Z porównania równań (10) i (11) wynika , że równość okresów będzie miała miejsce wtedy gdy:

(I₀ + mr²)⋅mgd = (I₀ + md²)⋅mgr (12)

czyli:

I_o⋅(d - r) = mdr⋅(d - r) (13)

I₀ = mdr (14)

r = (15)

Jest to odległość od osi P od środka ciężkości wahadła.

korzystając z równania (14) w którym moment bezwł. wahadła wyrażony jest przez

odległość r , można przedstawić w inny sposób okres drgań wahadła. w tym celu podstawiamy (14) do równań (10) i (11). otrzymujemy wtedy:

(16)

gdzie:

l - odl. między osiami O i P dla których okres drgań jest taki sam. Jak widać, jest to wzór na okres drgań wahadła matematycznego o dł. l. Długość tą nazywamy dł. zredukowaną wahadła. Jeśli zatem dla danego wahadła fizycznego wyznaczona zostanie odległość między osiami zawieszenia o tym samym okresie drgań oraz zmierzona zostanie wartość tego okresu , możliwe jest wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego poprzez przekształcenie równania (16) do postaci:

g = (17)

Wahało rewersyjne zastosowane w ćwiczeniu ma postać stalowej sztaby , na której znajduje się obciążnik M w kształcie dysku (rys.3). Obciążnik można przesuwać i odczytywać jego położenie w skali naniesionej na sztabę. Dwa pryzmaty przymocowane prostopadle do sztaby spełniają rolę osi zawieszenia O i P. Odległość osi jest więc w doświadczeniu ustalona. Przesuwanie obciążnika wzdłuż sztaby powoduje zmianę środka ciężkości wahadła względem osi. W trakcie doświadczenia znajdowane jest takie położenie obciążnika przy którym okresy wahań wahadła względem obu osi stają się takie same. Wtedy , odl. między osiami staje się dł. zredukowaną wahadła.

RYS

PRZEBIEG ĆWICZENIA

1) Zmierzyć odl. pomiędzy osiami wahadła 1 = OP i oszacować błąd.

2) Zawiesić wahadło na osi O i przesunąć odważnik M na środek sztaby.

3) Wykonać serię 15 niezależnych pomiarów czasu trwania t_n dziesięciu okresów drgań (n = 10) bez zmiany poł. masy M. Wyniki zapisać w tabeli I i na ich podstawie obliczyć wartość średnią t_s i średni błąd kwadratowy S_t pojedynczego pomiaru.

4) Przesunąć masę M na pierwszą kreskę podziałki licząc od strony osi O i wykonać pomiar dziesięciu okresów drgań t₁'.

5) Przesuwając masę na kolejne kreski podziałki k_n (odl. między kreskami wynosi 5 cm)

Wykonać pomiary 10 okresów t_n'.

6) Zawiesić wahadło na osi P i powtórzyć pomiary jak w punkcie 5. mierząc czasy t_n''.

7) Wyniki pomiarów zanotować w tabeli II oraz sporządzić wykresy zależności

t'(k_n) i t''(k_n) w tym samym ukł. współrzędnych.

8) Wykreślone krzywe są parabolami o różnej rozwartości ramion , przecinającymi się w dwóch punktach. Punkty te odpowiadają takim położeniom masy M dla których okres drgań względem obu osi zawieszeń są jednakowe , czyli dla których wahadło staje się wahadłem rewersyjnym.

9) Odczytać z wykresu wartości czasów t₁ i t₂ dla punktów przecięcia się wykresów i

obliczyć wartość średnią t₀ = (t₁ + t₂)/2.

10) Obliczyć przyśpieszenie ziemskie oraz jego błąd bezwzględny ze wzorów:

g = n = 10 (18)

Δg = g (19)

Błąd wyznaczenia czasu t₀ oszacować na podstawie porównania średniego błędu kwadratowego pojedynczego pomiaru S_t wyznaczonego w pierwszej części ćwiczenia , z wartością wyrażenia Δt₀ = .

TABELA 1

t1	t2	t3	t4	t5	t6	t7	t8
17,52	17,56	17,44	17,56	17,48	17,50	17,49	17,52

t9	t10	t11	t12	t13	t14	t15	ts	Sl
17,44	17,26	17,48	17,42	17,32	17,42	17,48

TABELA 2

Kn	1	2	3	4	5	6	7
t'[s]	19,92	19,05	18,23	17,71	17,50	17,35	17,32
t''[s]	19,85	19,40	19,19	18,92	18,62	18,46	18,60

Kn	8	9	10	11	12	13	14
t'[s]	17,23	17,31	17,52	17,83	17,84	18,18	18,46
t''[s]	18,49	18,44	18,57	18,71	18,68	18,91	19,17

t₀=

---