Wykład 2

Ważniejsze rozkłady skokowe.

1. ROZKŁAD BERNOULLE'GO

O rozkładzie Bernoulle'go mówimy wówczas gdy zmienna losowa obserwowana jest w serii doświadczeń wykonywanych zgodnie ze schematem Bernoulle'go tzn.

1.Wszystkie doświadczenia przeprowadzane są w tych samych warunkach.

2.W każdym doświadczeniu spodziewamy się jednego z dwóch możliwych wyników to jest porażki lub sukcesu. Prawdopodobieństwo uzyskania sukcesu( p ) jest takie samo w każdym doświadczeniu

p + q = 1

q - prawdopodobieństwo porażki

3.Wynik każdego doświadczenia nie zależy od wyników uzyskanych w innych doświadczeniach tej serii.

Zmienna losowa X oznacza liczbę sukcesów uzyskanych w ciągu n doświadczeń. Wykonanych zgodnie ze schematem Bernoulle'go, która przyjmuje wartości 0,1,2,itd.,...n z prawdopodobieństwa

P ( X = k ) = p^k q^n-k

nazywa się zmienna losową o rozkładzie Bernoulle'go ( dwumianowym ).

Przykład:

Rzucamy 5-kroytnie ( n = 5 ) monetą symetryczna. Niech sukcesem będzie wyrzucenie orła ( p = ½ ). Niech zmienna losową X jest liczba sukcesów w serii pięciu rzutów.

PARAMETRY ROZKŁADU:

E (X) = n * p

D²(X) = n * p * q

D(X) = D²(X)

2. ROZKŁAD POISSONA

Rozkładem Poissona nazywany jest rozkład rzadkich zdarzeń ( n - bardzo duże ; p - bardzo małe; ≤ 0,1 ).

Zmienna losową X przyjmującą wartości 0,1,2,itd.,...,n z prawdopodobieństwa, że:

P( X = k ) = λ^k / k! * e^-λ

λ > 0

nazywamy zmienną losową o rozkładzie Poissona.

PARAMETRY ROZKŁADU:

E (X) = n * p = λ

D²(X) = λ

D(X) =D² (X)

STOSOWANIE:

• w statystycznej kontroli jakości wyrobów

• w teorii masowej obsługi ( centrali telefonicznej )

3. ROZKŁAD HIPERGEOMETRYCZNY

Zmienna losową X przyjmująca wartości 0,1,2,...,n z prawdopodobieństwem

(ⁿ_k) * ( _{m - k}^{N - n})

P(X = k ) = (^N_m)

Nazywamy zmienna losową o rozkładzie hipergeometrycznym.

STOSOWANIE:

• dobrze opisuje zjawiska, które stopniowo wygasają, np. wypadkowość w pracy ( pierwszy wypadek zwiększa czujność i w ten sposób zmniejsza prawdopodobieństwo kolejnego wypadku ).

---