1.Klasyfikacja wielorównaniowych modeli ekonometrycznych

Modelem wielorównaniowym nazywamy taki model, w którym rozpatruje się wiele związków i zależności między zjawiskami, jednak tylko takich, które maja charakter trwały i nie należą do przypadkowych ,a powiązanie zjawisk jest w nich silne.

Ze względu na charakter powiązań między zmiennymi endogenicznymi w modelu wielorównaniowym wyróżniamy modele: prosty, rekurencyjny i o równaniach współzależnych. Te klasy modeli najłatwiej jest rozpoznać na podstawie macierzy współczynników(parametrów)stojących przy zmiennych endogenicznych nieopóźnionych w czasie.

a)modelem prostym: nazywamy taki model w którym macierz współczynników stających przy zmiennych endogenicznych nieopóźnionych jest macierzą jednostkową

b)modelem rekurencyjnym: nazywamy taki model w którym macierz współczynników stojących przy zmiennych endogenicznych nieopóźnionych jest macierzą trójkątną lub przez odpowiednie ponumerowanie tych zmiennych daje się sprowadzić do macierzy trójkątnej.

c)modelem o równaniach łącznie współzależnych: nazywamy taki model w którym macierz współczynników stających przy zmiennych endogenicznych nieopóźnionych nie jest macierzą diagonalną ani trójkątną.

Typ modelu bardzo łatwo można określić poprzez analizę grafu powiązań między zmiennymi endogenicznymi występującymi w danym modelu:

Y1,Y2,Y3-wierzchołki grafu

a)model prosty(brak powiązań między zmiennymi endogenicznymi) graf nie zawiera krawędzi:

b)model rekurencyjny(powiązania jednokierunkowe, brak sprzężenia zwrotnego

c)model o równaniach współzależnych(występuje sprzęzenie zwrotne w powiązaniach

2.Scharekteryzować elementy opisowego modelu ekonometrycznego

Model który ma służyć opisowi a następnie przewidywaniu przyszłego kształtowania się zależności, nazywamy ekonometrycznym modelem opisowym.

y = f(x1 , x2 , x3 ………, x n, u)

y- zmienna objaśniana danego równania modelu(zależna) jest to zmienna zależna, której kształtowanie się jest objaśniane w danym równaniu za pomocą funkcyjnego zapisu zależności

x1 , x2 , x3 ………, x n, - są to zmienne objaśniające(niezależne) służące do objaśniania w danym równaniu kształtowania się wielkości zmiennej zależnej

Zatem wszystkie zmienne objaśniane z poszczególnych równań modelu będą zmiennymi endogenicznymi modelu. Natomiast wśród zmiennych objaśniających mogą znajdować się zarówno zmienne egzogeniczne, jak i zmienne endogeniczne, gdyż pewna zmienna objaśniana w jednym równaniu modelu może w innym należeć do grupy zmiennych objaśniających.

u- odchylenie losowe modelu ekonometrycznego-składnikiem losowym nazywamy zmienna wyrażającą łączny efekt oddziaływania na zmienna endogeniczną tych czynników, które nie zostały wyspecyfikowane w modelu oraz błędów wynikających z przyjęcia niewłaściwych założeń co do postaci analitycznej funkcji, jak również błędów pomiaru wartości zmiennych występujących w modelu.

3.Etapy analizy ekonometrycznej

Kolejne etapy klasycznej analizy ekonometrycznej SA etapami pracy związanej budową i wykorzystaniem modelu ekonometrycznego. Wyróżniamy pięć podstawowych etapów tej analizy:

I specyfika zmiennych i relacji modelu ekonometrycznego

II zbieranie informacji, danych statystycznych

III estymacja parametrów wyspecyfikowanego modelu

IV weryfikacja modelu

V praktyczne wykorzystanie modelu

Adn. I

Specyfika modelu polega najogólniej na ustaleniu listy zmiennych, które mają wystąpić w modelu oraz na określeniu postaci relacji, jakie mogą zachodzić między tymi zmiennymi.

Najważniejszą decyzja jaką podejmujemy na wstępie tego etapu, jest decyzja o przedmiocie badania i zakresie badania. Potem następuje ustalenie listy podstawowych zmiennych endogenicznych oraz określenie stopnia dezagregacji zmiennych: Y1 ,…….,YG ;.Nastęnie ustalenie listy zmiennych egzogenicznych egzogenicznych X1 ,…., Xk oraz określenie postaci powiązań przyczynowo-skutkowych, a następnie ustalenie postaci analitycznej funkcji:

Y i =f i (Xj , Y j = i, εi)

Adn.II

Zbieranie danych polega nie tylko na mechanicznym zebraniu informacji statystycznych i zapisie ich w uporządkowanej formie, lecz równocześnie na dokonywaniu bieżącej analizy przydatności zebranego materiału do konstrukcji modelu. Nastepnie do każdej zmiennej wybranej w poprzednim etapie musimy przypisać odpowiadający jej miernik. Potem przechodzimy do zbierania danych i zapisu ich w postaci macierzy obserwacji. Dalej następuje obliczenie współczynników korelacji między odpowiednimi zmiennymi oraz przeprowadzanie na bieżąco analizy danych przez:

a)sprawdzanie na podstawie przebiegu zmienności zjawiska w czasie i dodatkowych informacji pozastatystycznych, czy konieczne jest dołączanie do zbioru zmiennych zero-jedynkowych lub innych umownych zmiennych.

b)ocenę adekwatności przyjętej miary zjawiska

c)wstępną analizę statystyczną na podstawie obliczonych współczynników korelacji oraz średnich i temp wzrostu.

W wyniku dalszej specyfikacjo relacji, jakie ma ujmować model otrzymujemy ogólnie zapisany model postaci n równań wektorowych:

BYt =AXt +εt (t=1,…,n)

Adn.III

Estymacja parametrów modelu polega na wyznaczeniu ocen parametrów strukturalnych i struktury stochastycznej modelu, przez zastosowanie odpowiedniej do typu powiązań zmiennych modelu metody estymacji. Najprostszą i najczęściej stosowaną metodą estymacji jest klasyczna metoda najmniejszych kwadratów.

Adn.IV

Weryfikacja modelu polega na analizie otrzymanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz stopnia dokładności opisu rzeczywistości ekonomicznej przez model w świetle otrzymanych oszacowań. Ustala się także przyczyny ewentualnych błędów dokonuje się modyfikacji błędnych równań poprzez wprowadzenie lub wyrzucenie niektórych zmiennych objaśniających, poprzez zmianę postaci analitycznej równania itp.

Adn.V

Praktyczne wykorzystanie modelu jest uzależnione od wcześniej przyjętego celu modelu. Może, więc ona polegać na analizie prawidłowości ilościowych przeszłości, może służyć dla celów wnioskowania w przyszłości, może również służyć do dokonywania różnego typu symulacji. Najczęściej jednak -obecnie-modele ekonometryczne są wykorzystywane do prognozowania lub symulacji.

4.Własności „dobrych” estymatorów parametrów modelu ekonometrycznego.

Ustalenie związków występujących między interesującymi nas zmiennymi za pomocą modelu ekonometrycznego na podstawie wybranej próby, wiąże się ściśle z wyborem właściwej metody estymacji, a tym samym z wyborem estymatorów parametrów modelu. Wybór odpowiedniej postaci estymatora będącego narzędziem do wyznaczania ocen parametrów powinien być tak dokonany, aby oszacowane, na podstawie danych, wartości parametrów „skupiały” się w pobliżu ich faktycznych wartości. Jeśli zatem wszystkie oszacowania znajdują się w bliskim otoczeniu wartości parametru, wówczas występujące między nimi różnice są niewielkie. Z tego punktu widzenia oceny są tym lepsze, im bardziej koncentrują się wokół rzeczywistości wartości parametrów, to wiąże się także z własnościami, które powinny posiadać wartości oczekiwane i wariancje estymatorów.

Dobre estymatory powinny być m.in. estymatorami nieobciążonymi, najbardziej efektownymi i zgodnymi.

Estymator a parametru  nazywamy estymatorem nieobciążonym, jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa wartości parametru, tzn. jeśli :

E(a)=

Różnica między wartością oczekiwaną estymatora a parametrem jest tzw. wartością oczekiwana błędu szacunku, czyli

E(a)-=E(a-)

Często powyższa różnica jest interpretowana jako obciążenie estymatora. Oczywiście obciążenie estymatora nieobciążonego jest równe zero, co oznacza, że estymator nieobciążony określa „średnio” prawdziwą wartość parametru.

Jeżeli E(a)<, wówczas mówimy o ujemnym obciążeniu estymatora i odwrotnie, jeśli E(a)>- estymator a ma obciążenie dodatnie.

Estymator a parametru  nazywamy estymatorem najefektywniejszym w danej klasie estymatorów jeśli posiada on najmniejszą wariancję w klasie estymatorów nieobciążonych,tzn.

D² (a) ≤ D²(a*)

Gdzie a* jest dowolnym nieobciążonym estymatorem parametru 

5.Założenia i kryterium metody najmniejszych kwadratów(MNK)

Jedną z metod estymacji jest metoda najmniejszych kwadratów.jej idea polega na wyznaczeniu takich estymatorów a1 ,a2 ,…,ak, przy których suma kwadratów reszt:

∑ei²=∑[yi-(ai xi1+a2xi2+…+akxik)]²

byłaby najmniejsza ,tzn.

∑ei²=f(a1,a2,…,ak) min

Warunkiem zastosowania MNK do otrzymania estymatorów parametrów modelu jest spełnienie następujących założeń:

1.postać modelu jest liniowa względem parametrów lub nieliniowa, która po transformacji stanie się liniowa

2.liczba obserwacji określona jako n.k+1,gdzie nigdzie-liczba parametrów;parametrów-k+1liczba stopni swobody powinna być jak największa

3.zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi(ich wartości są traktowane jako stała w powtarzających się próbach

4.zmienne objaśniające nie są współliniowe(nie istnieje zależnośc dokładnie liniowa między wartościami wartościami próby dla jakichkolwiek dwóch lub większej liczby zmiennej objaśniającej).Współczynnik macierzy det(X X)=0

5.Wielkości próby przekracza liczbę szacowanych parametrów n>K, rz(X)=K<n

6. składniki losowe dla wszystkich obserwacji mają wartości oczekiwane równe 0, E(U)=0

7.nadzieja matematyczna jest równa E(UU )=²*J , J-macierz jednostkowa, macierz wariancji kowariancji składnika losowego. Składnik losowy ma stałą wariancję równą ²-zerowe kowariancje(nie ma korelacji między składnikami losowymi)

8.wartość oczekiwana( E(U) ) i kowariancje składnika losowego nie zależą od zmiennych objaśniających (składnik losowy nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi)

6.Autokorelacja składnika losowego w modelu ekonometrycznym,przyczyny i weryfikacja odpowiednich hipotez statystycznych

Autokorelacja składnika losowego zachodzi gdy cov(εi, εj)≠0 i≠j oznacza to,że składnik losowy z okresu t jest funkcją z okresu ;εt=f(εt-), gdzie =1,2,3…;miarą jest współczynnik korelacji p;szacunkiem jest ra;-1<ra<1;jeśli minus to autokorelacja jest ujemna,jeśli plus to dodatnia.

Przyczyny powodujące występowanie autokorelacji składników losowych w modelu ekonometrycznym:

1.Fakt dłuższego działania czynników przypadkowych ,powodujących zaburzenia w normalnym przebiegu prawidłowości ekonomicznych, niż w czasie przyjętym za jednostkę;

2.Popełnienie błędów w budowie modelu, mianowicie:

a)pominięcie jednej lub kilku istotnych zmiennych objaśniających

b)wprowadzenie do modelu zmiennej z niewłaściwym opóźnieniem czasowym

c)przyjęcie nie właściwej postaci analitycznej modelu

Najczęściej badamy autokorelacje I rzędu. Szacowanie współczynnika autokorelacji :

ra=(∑t=2 etet-1)/(pier.(∑et²∑et-1²)).

Stawiamy hipotezy:H0:p =0(nie ma istotnej autokorelacji)

H1:p≠0(zachodzi istotna statystycznie autokorelacja)

Stosuje się sprawdziany, statystyka Durbina -Watsona lub inaczej statystyka D;

d=(∑(et-et-1)²)/(∑et²);d należy do przedziału(0,4);jeżeli 0<d<4 to autokorelacja dodatnia i ra>0,jeżeli 2<d<4 to autokorelacja ujemna i ra<0;tablice SA tylko dla dodatniej, ale jest symetria d'=4-d;d składa się z dl i du ;Dla tablic DW jeżeli d>du to przyjmujemy H0:p=0;jeżeli d< dl wtedy przyjmujemy H1:p≠0 ;jeżeli dl<d<du nie umiemy w sposób zdecydowany powiedzieć czy autokorelacja występuje, wtedy należy zwiększyć liczbę obserwacji(tablice DW są zbudowane dla 15 obserwacji).Autokorelacja składnika losowego występuje w próbach czasowych.

7.Estymacja parametrów modelu ekonometrycznego w warunkach autokorelacji składnika losowego.

Procedura estymacji modelu ekonometrycznego, ekonometrycznego w którym przypuszczamy występowanie autokorelacji składników losowych,jest następująca:

1.estymujemy dany model klasyczną MNK i obliczamy reszty:et=yt-yt;

2.korzystając z

Obliczamy ocenę r współczynnika autokorelacji p

3.Badamy istotność współczynnika autokorelacji p, weryfikując hipotezę

H0:p=0 przy hipotezie alternatywnej:

H1:p>0 jeśli obliczony z próby współczynnik r jest dodatni lub

H1:p<0 jeśli obliczony z próby współczynnik r jest ujemny

Sprawdzianem hipotezy H0 dla H1:p>0 jest statystyka

Jeśli H1:p<0 sprawdzianem jest statystyka 4-d

Statystyka d ma rozkład Durbiba-Watsona, który jest stablicowany, tablicowany jej wartości krytyczne odczytujemy w zależności od liczebności próby n oraz liczby stopni swobody k; przy danym poziomie istotności  z tablic rozkładu Turbina- Watsona odczytujemy dwie wartości krytyczne : wartośc dolną dl i wartość górną du:

a)jeżeli d≤ dl to odrzucamy hipotezę zerową , zatem stwierdzamy występowanie autokorelacji;

b)jeżeli d≤ du to przyjmujemy p=0,zatem stwierdzamy, że w badanym modelu autokorelacja nie występuje;

c)jeżeli dl<d<du to test nie daje odpowiedzi i nie możemy podjąć decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu H0 ; w tym przypadku należy dążyć do powiększenia próby;

4)jeżeli w poprzednim etapie stwierdziliśmy, że modelu nie występuje autokorelacja, to procedurę estymacyjna kończymy i jako oceny parametrów modelu przyjmujemy wyniki otrzymane w pierwszym etapie procedury; w przypadku stwierdzenia, że autokorelacja występuje, stosujemy UMK z macierzą wag Ω ˉ¹

---