1.Postulaty statyki

1)Zasada równoległoboku R=P₁+P₂

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe 3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztyw. nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejm. dowolny układ równoważących się sił tzw. układ zerowy 4)Zasada zesztywnienia - równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała 5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie 6)Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.

2. Tw. o trzech siłach:

Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyźnie pozostają w równowadze wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ zbieżny a ich kierunki tworzą trójkąt zamknięty. P₁=P₂+P₃

3. Tw. Varignona:

Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest równa momentowi wypadkowej tego układu względem punktu ∑ⁿ_i=1r∙∑P_i=r∙W

4. Para sił:

Układ dwóch sił równoległych P' = −P, P' = P nie leżących na jednej prostej nazywamy parą sił. Odległość między siłami nazywamy ramieniem pary sił.

Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi

się równać zeru.

5. Moment sił względem punktu: Mo=r∙F

Moment sił względem osi: M=r∙P , moment ten jest wektorem swobodnym do płaszczyzny π czuli ma kierunek prostej l

6. Kratownica - jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną. Warunek sztywności p=2w-3

7. Redukcja płaskiego układu sił

P'=P

a'=-a

8. Redukcja przestrzennego ukł. Sił - dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił.

10. Kinematyczne równania ruchu:

x=x(t). y=y(t). z=z(t)

lub

11. Prędkość

v=lim Δr/Δt = dr/dt = r' prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze jest wektorem v=x'i+y'j+z'k v=√(x')²+(y')²+(z')²

12. Przyspieszenie

a=lim Δv/Δt = dv/dt = r'' przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru chyba że jest linią prostą v=x''i+y''j+z''k v=√(x'')²+(y'')²+(z'')²

13. Przyspieszenie styczne i normalne:

a_s=dv/dt - przyspieszenie styczne

a_n=v²/ρ - przyspieszenie normalne

14. Droga:

18. Rodzaje ruchów bryły sztywnej:

l. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno związana z tą bryłą zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie swobody).

2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły są nieruchome, prosta przechodząca przez dwa punkty to oś obrotu (1 stopień swobody).

3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły płaszczyzną zajmuje położenie równoległe i jest równoległy do pewnej stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3 stopnie swobody).

4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła nieruchomego punktu bryły (3 stopnie swobody).

5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego.

19 . Ruch postępowy bryły sztywnej:

v=dr_o/dt=v_o a=d²r_o/dt²=dv_o/dt=a_o

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same prędkości v_o i przyśpieszenia a_o w tej samej chwili czasu.

- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.

- dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O'.

20 . Ruch obrotowy bryły:

21. Prędkość kątowa:

Prędkość kątowa jest równa kątowi zakreślonemu podczas ruchu podzielonemu przez czas.

22. Przyspieszenie kątowe, ε, wielkość pseudowektorowa charakteryzująca zmiany prędkości kątowej ω bryły sztywnej lub punktu materialnego.

Przyspieszenie kątowe określone jest równaniem:

23. Prędkość liniowa punktu, a prędkość kątowa bryły.

24. Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim.

25. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch punktów bryły poruszającej się ruchem płaskim.

Tw. o trzech rzutach - jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty prędkości 2 dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe.

Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma prędkość 0 nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy pomocy chwilowego środka obrotu możemy znaleźć prędkość punktów posługując się wzorem
. Wektor prędkości kątowej jest zawsze taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły.

26. Chwilowy środek obrotu.

Patrz 25.

33. Ruch złożony punktu.

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34. Prędkość bezwzględna

Prędkość w ruchu obrotowym unoszenia

Prędkość w ruchu względnym (prostoliniowym)

35 Przyspieszenie bezwz.

Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia, względnego i przyspieszenia Coriolisa:

36. Przyspieszenie Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej układu ruchomego i prędkości względem punktu A. p_c=2ω×v_r. Przyspieszenie Coliolisa nie występuje gdy ruchem unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty i postępowy (w= zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora prędkości względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru.

37. Zasady Newtona.

I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma.

III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty i są przeciwnie skierowane.

IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak jedna siła równa wektorowej sumie danych sił.

V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach m₁ i m₂ przyciągają się z siłą wprost

proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. F=k m₁m₂/r²

38. Zasada d'Alemberta.

Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny jest w każdej chwili równa zeru.

F+(-ma)=0

39. Zasada zachowania pędu; 40. Zasada pędu i popędu.

Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i jego prędkości: p=mv

Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt → m dv/dt=F ; m=const. d/dt (mv)=F → dp/dt=F.

Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-p(0)=∫^t₀Fdt

Zasada zachowania pędu: jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na ten układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const.

41. Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli M_o=0 to k₀=const.

42. Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego samego punktu. dk_o/dt=M_o

43. Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

a=dv/dt e_s +v²/ρ e_n

e_s=m dv/dt

e_n=m v²/ρ

e_b=e_s x e_n

44.Definicja pracy.

Praca jest to mechaniczny sposób przekazu energii. Jednostką pracy jest Jul.

45.Moc mechaniczna.

Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia się z czasem to wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu:

46.Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.

Jeżeli na poruszający się punkt materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej tego punktu jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV2k - 1/2mV2p

57. Drgania swobodne.

Drgania swobodne mx''=-kx ; ω²=k/m → x''+ ω²x=0

x=Asinω_ot gdzie. x-wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili czasu t, A - amplituda drgań, ω - częstość kołowa drgań. Brak tłumienia i brak wymuszenia.

48.Potencjalne (zachowawcze) pole sił.

POLE JEST POTENCJALNYM POLEM SIL, GDY PRACA PRZY PRZESOWANIU PUNKTU NIE ZALEZY OD DROGI (TZN PRACA PO DRODZE ZAMKNIETEJ = 0)

CENTRALNE POLE SIL:

POLE SIL O TEJ WLASNOSCI ZE LINIE DZIALANIA SIL TEGO POLA ZAWSZE PRZECHODZA PRZEZ JEDEN PUNKT

Zdolność do wykonania pracy ciała znajdującego się w spoczynku nazywamy en. potencjalną E_p: E_p=mgh.

49.Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.

,

gdzie
,

;

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego środku masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne.

50.Pęd układu punktów materialnych.

;
- pęd ukł. punktów_materialnych;

- zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.

R=0 >> Q=const

Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.

PED DOTYCZY TYLKO RUCHU POSTEPOWEGO, NIE OBROTOWEGO, BO NIE MA MASY BEZWLADNOSCI PREDKOSCI KATOWEJ

ZASADA ZACHOWANIA PEDU: JEŻELI NA UKLAD NIE DZIALAJA SILY LUB DZIALAJACE SILY SIĘ ZNOSZA TO PED JEST STALY CZYLI ZACHOWANY R=0 TO Q=const.

OKRESLA SIĘ GO TYLKO PRZY RUCHU POSTEPOWYM, PRZY RUCHU OBROTOWYM NIE ISTNIEJE.

51.Kręt układu punktów materialnych.

-kręt

Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.

M^c=0 >> K^c=const

52.Energia kinetyczna układu punktów materialnych.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka masy C układu.
;
;

53.Twierdzenie Koeniga.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

54. Zasada zachowania energii mechanicznej - w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).

57. Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły F przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu

F = -kx, k-stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać

mx” = F

mx” = -kx lub

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych

ω - częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

a-amplituda

- faza początkowa ruchu drgań

-faza drgań

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

58. Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

-siła tłumiąca.

Równania ruchu:

Ponieważ równanie charakterystyczne

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)

1.Małe tłumienie

Rozwiązanie:

Jeżeli
- drgania zanikają. Okres:

2.Duże tłumienie.
Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

Jeżeli
- drgania zanikają. Okres:

2.Duże tłumienie.
Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

59. Logarytmiczny dekrement tłumienia.

wielkość charakteryzująca tłumienie drgań, zdefiniowana jako logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń w tę samą stronę drgającej cząsteczki.

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.

Siła wymuszająca S=H sin(pt),

p-czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych

zależy od częstości drgań wymuszonych.

Jeżeli
i występuje rezonans. W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań będzie miało postać.

61. Rezonans.

zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

62. Amplituda.

największa wartość A₀ osiągana przez wielkość fizyczną A, zmieniającą się w czasie t w sposób harmoniczny, tj. proporcjonalnie do sin (ωt+ϕ₀), gdzie ω - częstotliwość kątowa, ϕ₀ - początkowa faza drgań.

63. Okres drgań.

dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.

64. Częstotliwość drgań.

Częstotliwość drgań to liczba cykli wykonywanych przez drgające środowisko w ciągu jednej sekundy. Częstotliwość określa się w hercach (Hz)

65. Częstość (Częstotliwość) drgań własnych.

Ciała mogą mieć wiele częstotliwości drgań własnych - Często wielokrotność drgań najmniejszych. Częstotliwość drgań własnych zależy od sposobu wzbudzania i ilości dostarczonej energii. Uderzając w przedmiot w różnych miejscach z różną siłą Drgania te będą różniły się składem widmowym, czyli będą wzbudzane drgania własne o różnych częstotliwościach i natężeniach.

66. Faza drgań. Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem:

fazą drgań określa się argument funkcji sinus, czyli:

lub resztę z dzielenia tego kąta przez miarę kąta pełnego

Faza jest wyrażana w jednostkach kąta, zwykle w układzie SI w radianach.

Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

67. Faza początkowa drgań patrz 66.

78. Środek masy bryły

77. Środek masy układu punktów materialnych.

Wektor środka masy wyznaczany jest następująco:

, gdzie:

78. Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny,

osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna.

I = mr²

81. Tw. Steinera

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej

układu przez kwadrat odległości obu osi.

82. Moment bezwładności względem dowolnie skierowanej osi

Moment bezwładności względem osi:
dm, zatem:

84. Osie centralne - osie współrzędne przecinające się w środku mas.

83. Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze

gdzie I₁,₂,₃ -główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda prosta prostopadła do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której leżą środki mas warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do tej prostej.

85. Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek masy

86. Macierz bezwładności

Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną. Elementy na przekątnej - momenty bezwładności. Elementy poza przekątną - momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności.

---