1.Postulaty statyki
1)Zasada równoległoboku R=P

1

+P

2

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego

równoważą się tylko wtedy, gdy działają
wzdłuż tej samej prostej, są przeciwnie

skierowane i mają te same wartości liczbowe
3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał

sztyw. nie ulegnie zmianie, gdy do układu
dodamy lub odejm. dowolny układ

równoważących się sił tzw. układ zerowy
4)Zasada zesztywnienia – równowaga sił

działających na ciało odkształcalne nie
zostanie naruszona przez zesztywnienie tego

ciała 5)Każdemu działaniu towarzyszy równe
co do wartości i przeciwnie skierowane

wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie
6)Każde ciało nieswobodne można myślowo

oswobodzić od więzów, zastępując przy tym
ich działanie odpowiednimi reakcjami.

2. Tw. o trzech siłach:

Trzy nierównoległe do siebie działające w
jednej płaszczyźnie pozostają w równowadze

wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ
zbieżny a ich kierunki tworzą trójkąt

zamknięty. P

1

=P

2

+P

3

3. Tw. Varignona:
Suma momentów sił układu zbieżnego względem

dowolnego punktu jest równa momentowi
wypadkowej tego układu względem punktu

∑

n

i=1

r∙∑P

i

=r∙W

4. Para sił:
Układ dwóch sił równoległych P’ = −P, P’ =

P nie leżących na jednej prostej nazywamy
parą sił. Odległość między siłami nazywamy

ramieniem pary sił.
Aby pary sił działające w jednej

płaszczyźnie na ciało sztywne znajdowały się
w równowadze, suma momentów tych par musi

się równać zeru.

5. Moment sił względem punktu: Mo=r∙F
Moment sił względem osi: M=r∙P , moment ten

jest wektorem swobodnym do płaszczyzny π
czuli ma kierunek prostej l

6. Kratownica – jest to układ złożony z

prętów połączonych przegubowo, mający
niezmienną postać geometryczną. Warunek

sztywności p=2w-3
7. Redukcja płaskiego układu sił

P’=P

a’=-a
8. Redukcja przestrzennego ukł. Sił –

dowolny układ sił przyłożonych do jednego
punktu zastąpić możemy jedną siłą wypadkową

przyłożoną w tym punkcie i równą sumie
geometrycznej sił.

10. Kinematyczne równania ruchu:

x=x(t). y=y(t). z=z(t)
lub

⃗r=⃗r (t)

11. Prędkość

v=lim Δr/Δt = dr/dt = r’ prędkość zawsze
jest styczna do toru i zawsze jest wektorem

v=x’i+y’j+z’k v=√(x’)

2

+(y’)

2

+(z’)

2

12. Przyspieszenie
a=lim Δv/Δt = dv/dt = r’’ przyspieszenie

nigdy nie jest styczne do toru chyba że jest
linią prostą v=x’’i+y’’j+z’’k v=√(x’’)

2

+

(y’’)

2

+(z’’)

2

13. Przyspieszenie styczne i normalne:
a

s

=dv/dt – przyspieszenie styczne

a

n

=v

2

/ρ – przyspieszenie normalne

14. Droga:

s=

∫

t

1

t

2

Vdt

18. Rodzaje ruchów bryły sztywnej:
l. ruch postępowy - to taki ruch w którym

dowolna prosta sztywno związana z tą bryłą
zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3

stopnie swobody).
2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w

którym dowolne dwa

punkty bryły są

nieruchome, prosta przechodząca przez dwa

punkty to oś obrotu (1 stopień swobody).

3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym

dowolny przekrój tej bryły płaszczyzną
zajmuje położenie równoległe i jest

równoległy do pewnej stałej płaszczyzny
zwanej kierującą (3 stopnie swobody).

4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w
którym bryła porusza się

dookoła

nieruchomego punktu bryły (3 stopnie
swobody).

5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch
postępowego i kulistego.

19 . Ruch postępowy bryły sztywnej:

v=dr

o

/dt=v

o

a=d

2

r

o

/dt

2

=dv

o

/dt=a

o

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu

postępowym mają te same prędkości v

o

i

przyśpieszenia a

o

w tej samej chwili czasu.

- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam
kształt.

- dla opisu ruchu postępowego bryły
wystarczy podać równanie ruchu jednego

punktu bryły, np. początku ruchomego układu
współrzędnych O’.

20 . Ruch obrotowy bryły:

ω =

d ϕ /dt

ε =

d ω /dt=d

2

ϕ /

dt

2

v=ω ×r '

a=ε ×r ' +ω ×(ω ×r ' )

a=ε×r '+ω(ω∗r ')−ω

2

r '

21. Prędkość kątowa:
Prędkość kątowa jest równa kątowi

zakreślonemu podczas ruchu podzielonemu
przez czas.

ω

=

Δ α

Δ

t

22. Przyspieszenie kątowe, ε, wielkość
pseudowektorowa charakteryzująca zmiany

prędkości kątowej ω bryły sztywnej lub
punktu materialnego.

Przyspieszenie kątowe określone jest

równaniem:

ε =

d ω

dt

=

d

2

dt

2

23. Prędkość liniowa punktu, a prędkość

kątowa bryły.

v=

dx

dt

⃗

ω =

d ϕ

dt

24. Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu

płaskim.

v=v

o

+

ω×r '

a=a

o

+

ε×r ' +ω(ω∗r ')−ω

2

r '

25. Twierdzenie o rzutach prędkości dwóch
punktów bryły poruszającej się ruchem

płaskim.

Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje
się w ruchu płaskim to rzuty prędkości 2

dowolnych punktów A i B na łączące je proste
są równe.

Taki punkt należący do bryły lub leżący poza
nią który w pewnej chwili ma prędkość 0

nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt
C). Przy pomocy chwilowego środka obrotu

możemy znaleźć prędkość punktów posługując
się wzorem

v=ω×CA

. Wektor prędkości

kątowej jest zawsze taki sam i jest jeden

dla wszystkich punktów bryły.

26. Chwilowy środek obrotu.
Patrz 25.

33. Ruch złożony punktu.

Ruch punktu względem układu nieruchomego
nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem

układu ruchomego ruchem względnym. Ruch

układu

ruchomego

względem

układu

nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34. Prędkość bezwzględna

⃗

v

b

= ⃗

v

u

+ ⃗

v

w

Prędkość w ruchu obrotowym unoszenia
Prędkość w ruchu względnym (prostoliniowym)

35 Przyspieszenie bezwz.

Jest sumą wektorową przyspieszenia
unoszenia, względnego i przyspieszenia

Coriolisa:

⃗

a

b

= ⃗

a

u

+ ⃗

a

w

+ ⃗

a

c

⃗

a

c

=

2 ⃗

ω × ⃗

υ

n

36. Przyspieszenie Coriolisa.
Przyspieszenie Coriolisa równe jest

podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości
kątowej układu ruchomego i prędkości

względem punktu A. p

c

=2ω×v

r.

Przyspieszenie

Coliolisa nie występuje gdy ruchem unoszenia

są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty
i postępowy (w= zero),gdy wektor prędkości

kątowej jest równoległy do wektora prędkości
względnej oraz gdy prędkość względna jest

równa zeru.

37. Zasady Newtona.
I prawo bezwładności: punkt materialny, na

który nie działa żadna siła lub działające
siły się równoważą, pozostaje w spoczynku

lub porusza się ruchem jednostajnym po linii
prostej.

II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego
jest proporcjonalne do siły działającej na

ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła.
F=ma.

III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego
oddziaływania dwóch punktów materialnych

mają jednakowe wartości, leżą na prostej
łączącej te punkty i są przeciwnie

skierowane.
IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na

punkt materialny działa jednocześnie kilka
sił, to każda z nich działa niezależnie od

pozostałych, a wszystkie razem działają jak
jedna siła równa wektorowej sumie danych

sił.

V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa
punkty materialne o masach

m

1

i

m

2

przyciągają się z siłą wprost
proporcjonalną do iloczynu ich mas i

odwrotnie proporcjonalną do kwadratu
odległości r między nimi. Kierunek siły leży

na prostej łączącej te punkty. F=k m

1

m

2

/r

2

38. Zasada d’Alemberta.
Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności

działających na punkt materialny jest w
każdej chwili równa zeru.

F+(-ma)=0

39. Zasada zachowania pędu; 40. Zasada pędu
i popędu.

Pędem punktu materialnego o masie m i
prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i

jego prędkości: p=mv
Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu

układu punktów materialnych jest równa
wektorowi głównemu sił zewnętrznych

działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt →
m dv/dt=F ; m=const. d/dt (mv)=F → dp/dt=F.

Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo
zmienności pędu) Przyrost pędu układu

materialnego w skończonym przedziale czasu
jest równy popędowi wektora głównego sił

zewnętrznych działających na ten układ.
p(t)-p(0)=∫

t

0

Fdt

Zasada zachowania pędu: jeżeli wektor główny
układu sił zewnętrznych działających na ten

układ materialny jest równy zeru, to pęd
tego układu materialnego jest stały:

dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const.

41. Zasada zachowania krętu: jeżeli moment
główny

sił

zewnętrznych

względem

nieruchomego punktu redukcji O jest równy
zeru, to kręt układu materialnego (bryły)

względem tego punktu jest wielkością stałą.
Jeżeli M

o

=0 to k

0

=const.

42. Zasada krętu: pochodna względem czasu

krętu układu punktów materialnych względem
dowolnego nieruchomego punktu jest równa

momentowi

głównemu

wszystkich

sił

zewnętrznych względem tego samego punktu.

dk

o

/dt=M

o

43. Dynamiczne równania ruchu punktu

materialnego.
a=dv/dt e

s

+v

2

/ρ e

n

e

s

=m dv/dt

e

n

=m v

2

/ρ

e

b

=e

s

x e

n

44.Definicja pracy.

Praca jest to mechaniczny sposób przekazu
energii. Jednostką pracy jest Jul.

45.Moc mechaniczna.

Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w
jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia

się z czasem to wówczas moc jest pochodna

pracy względem czasu:

M =

dL

dt

[

W ]

46.Zasada równoważności pracy i energii
kinetycznej.

Jeżeli na poruszający się punkt materialny o
masie m działa siła czynna P to przyrost en.

kinetycznej tego punktu jest równy pracy
wykonanej przez siłę działającą na ten

punkt: L=1/2mV2k - 1/2mV2p

57. Drgania swobodne.
Drgania swobodne mx’’=-kx ; ω

2

=k/m → x’’+

ω

2

x=0

x=Asinω

o

t gdzie. x-wychylenie ciała z

położenia równowagi w chwili czasu t, A –
amplituda drgań, ω – częstość kołowa drgań.

Brak tłumienia i brak wymuszenia.

48.Potencjalne (zachowawcze) pole sił.
POLE JEST POTENCJALNYM POLEM SIL, GDY PRACA

PRZY PRZESOWANIU PUNKTU NIE ZALEZY OD DROGI
(TZN PRACA PO DRODZE ZAMKNIETEJ = 0)

CENTRALNE POLE SIL:
POLE SIL O TEJ WLASNOSCI ZE LINIE DZIALANIA

SIL TEGO POLA ZAWSZE PRZECHODZA PRZEZ JEDEN
PUNKT

Zdolność do wykonania pracy ciała
znajdującego się w spoczynku nazywamy en.

potencjalną E

p

: E

p

=mgh.

49.Twierdzenie o ruchu środka masy układu
punktów materialnych.

∑

mr ''=

∑

F +

∑

W

,

gdzie

∑

F −R

,

∑

W =0

0

2

2

2

2

Mr

dt

d

mr

dt

d

∑

=

;

Mr

0

' ' =R

Ruch układów punktów materialnych odbywa się
tak jakby cała masa układu skupiona była w

jego środku masy i na który to punkt
działają wszystkie siły zewnętrzne.

⃗

M ⃗

ρ =

R

50.Pęd układu punktów materialnych.

R

MV

dt

d

=

0

;

Q=MV

0

=

∑

mV

- pęd

ukł. punktów_materialnych;

R

dt

dQ

=

- zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.
R=0 >> Q=const

Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też
go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.

PED DOTYCZY TYLKO RUCHU POSTEPOWEGO, NIE
OBROTOWEGO, BO NIE MA MASY BEZWLADNOSCI

PREDKOSCI KATOWEJ
ZASADA ZACHOWANIA PEDU: JEŻELI NA UKLAD NIE

DZIALAJA SILY LUB DZIALAJACE SILY SIĘ ZNOSZA
TO PED JEST STALY CZYLI ZACHOWANY R=0 TO

Q=const.
OKRESLA SIĘ GO TYLKO PRZY RUCHU POSTEPOWYM,

PRZY RUCHU OBROTOWYM NIE ISTNIEJE.

51.Kręt układu punktów materialnych.

K

S

=

∑

ρ

i

∗

mV

i

-kręt

c

c

M

dt

dK

=

Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie

wywołana jest przez moment główny działający
na układ brany względem nieruchomego punktu

lub środka masy.
M

c

=0 >> K

c

=const

52.Energia kinetyczna układu punktów

materialnych.

Energia

kinetyczna

układu

punktów

materialnych jest równa sumie energii

kinetycznej w ruch postępowym i energii
kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka

masy

C

układu.

E=½V

c

p +½ωK

c

;

p=mVc

;

K

c

=

I

c

ω

53.Twierdzenie Koeniga.
Energia

kinetyczna

układu

punktów

materialnych równa jest sumie energii
kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o

masie całego układu, poruszający się z
prędkością środka masy oraz energii

kinetycznej tegoż układu względem środka
masy.

T =

1
2

mυ

C

2

+

1
2

I

L

ω

2

54. Zasada zachowania energii mechanicznej -

w układzie izolowanym suma składników
wszystkich rodzajów energii całości (suma

energii wszystkich jego części) układu jest
stała (nie zmienia się w czasie).

57. Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać
się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły F

przyciągającej ten punkt do stałego punktu O
zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do
wychylenia punktu

F = -kx, k-stała sprężystości.
Równanie będzie miało postać

mx” = F
mx” = -kx lub

x ' '

k

m

x=0

k

m

=

ω

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań
swobodnych

x ' '=ω

2

x=0

ω - częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym,
jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

x=a sin( ωt+ϕ)

a-amplituda

ϕ

- faza początkowa ruchu drgań

)

(

ϕ

ω

+

t

-faza drgań

Ruch określony powyższym wzorem jest

okresowy o okresie

T =2π/ω , ω=

√

k /m

T =2π

√

m/k

58. Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku
stawiającym opór. Siły oporu są

proporcjonalne do prędkości

R

¿

=−

βν

x

=−

βx '

-siła tłumiąca.

Równania ruchu:

mx ' '=−kx− βx '

x ' ' +2 nx ' +ω

2

x=0

ω=

√

k /m,2 n= β /m

Ponieważ

równanie

charakterystyczne

0

2

2

2

=

+

+

ω

α

α

n

jest kwadratowe, to mogą zajść 3

przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)
1.Małe tłumienie

ω>n ⇒ Δ<0

Rozwiązanie:

x=ae

−

nt

sin(

√

ω

2

−

n

2

t+ϕ)

Jeżeli

0

,

→

∞

→

tox

t

- drgania zanikają.

Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

−

=

−

=

ω

ω

ω

ω

2.Duże tłumienie.

0

>

∆

⇒

<

n

ω

Mamy rozw.

rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

x=ae

−

nt

sinh(

√

ω

2

−

n

2

t+ϕ)

Jeżeli

0

,

→

∞

→

tox

t

- drgania zanikają.

Okres:

2

2

2

2

,

2

n

n

T

t

−

=

−

=

ω

ω

ω

ω

2.Duże tłumienie.

0

>

∆

⇒

<

n

ω

Mamy rozw.

rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

x=ae

−

nt

sinh(

√

ω

2

−

n

2

t+ϕ)

59. Logarytmiczny dekrement tłumienia.

wielkość charakteryzująca tłumienie drgań,
zdefiniowana jako logarytm naturalny

stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń w
tę samą stronę drgającej cząsteczki.

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła
wymuszająca okresowa to występują drgania

wymuszone.
Siła wymuszająca S=H sin(pt),

p-czestość siły wymuszającej.
Równanie ruchu tych drgań

mx ' '=−kx −H sin( pt )

x ' ' +2 nx '=h sin ( pt )

ω=

√

k /m , h=H /m

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

x=a sin(ωt +ϕ)+

h

ω

2

−

p

2

sin ( pt )

Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i
wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań

wymuszonych

2

2

p

h

B

−

=

ω

zależy od częstości drgań wymuszonych.
Jeżeli

∞

→

→

toB

p

,

ω

i występuje rezonans.

W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań

będzie miało postać.

x=a sin(ωt +ϕ)+

h

2ω

t cos(ωt )

61. Rezonans.

zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań
wymuszonych, objawiające się pochłanianiem

energii poprzez wykonywanie drgań o dużej
amplitudzie przez układ drgający dla

określonych częstotliwości drgań.

62. Amplituda.
największa wartość A

0

osiągana przez

wielkość fizyczną A, zmieniającą się w
czasie t w sposób harmoniczny, tj.

proporcjonalnie do sin (ωt+ϕ

0

), gdzie ω –

częstotliwość kątowa, ϕ

0

– początkowa faza

drgań.

63. Okres drgań.
dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ

drgający znajduje się ponownie w takiej
samej fazie.

64. Częstotliwość drgań.

Częstotliwość drgań to liczba cykli
wykonywanych przez drgające środowisko w

ciągu jednej sekundy. Częstotliwość określa
się w hercach (Hz)

65. Częstość (Częstotliwość) drgań własnych.

Ciała mogą mieć wiele częstotliwości drgań
własnych - Często wielokrotność drgań

najmniejszych. Częstotliwość drgań własnych
zależy od sposobu wzbudzania i ilości

dostarczonej energii. Uderzając w przedmiot
w różnych miejscach z różną siłą Drgania te

będą różniły się składem widmowym, czyli
będą wzbudzane drgania własne o różnych

częstotliwościach i natężeniach.

66. Faza drgań. Dla drgań harmonicznych
opisanych równaniem:

x (t)=A∗sin (ω∗t +ϕ )

fazą drgań określa się argument funkcji

sinus, czyli:

ω∗

t +ϕ

lub resztę z dzielenia tego kąta przez miarę
kąta pełnego

(

ω ∗

t+ω )mod (2 π )

Faza jest wyrażana w jednostkach kąta,

zwykle w układzie SI w radianach.
Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań,

czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

67. Faza początkowa drgań patrz 66.

78. Środek masy bryły

x

S

=

1

M

∫

V

ϱ

x d V

y

s

=

1

M

∫

V

ϱ

y d V

z

s

=

1

M

∫

V

ϱ

z d V

77. Środek masy układu punktów materialnych.
Wektor środka masy wyznaczany jest

następująco:

⃗

r

CM

=

∑

i=1

N

m

i

⃗

r

i

∑

i=1

N

m

i

, gdzie:

M =

∑

i=1

N

m

i

78. Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego
względem płaszczyzny,

osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego
punktu przez kwadrat odległości tego punktu

od płaszczyzny, osi lub bieguna.
I = mr

2

81. Tw. Steinera
Moment bezwładności względem dowolnej osi

jest równy momentowi względem osi
równoległej przechodzącej przez środek masy

powiększonemu o iloczyn masy całkowitej
układu przez kwadrat odległości obu osi.

I

z

=

I

xx

+

I

yy

=

I

z

+

md r

2

I

l

=

I

1

=

md

2

82. Moment bezwładności względem dowolnie
skierowanej osi

Moment

bezwładności

względem

osi:

I =

∫

v

Vr

2

dm

dm, zatem:

I =I

x

cos2α+I

y

cos2β+ I

z

cos2γ −

2Dxy cos αcos β − 2Dyz cos β cosγ −

2Dzx cosγ cosα

84. Osie centralne - osie współrzędne
przecinające się w środku mas.

83. Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze

Dαβ= I

1

x

2

+

I

2

y

2

+

I

3

z

2

=

k

2

gdzie I

1

,

2

,

3

-główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda
prosta prostopadła do płaszczyzny symetrii,

każda prosta, na której leżą środki mas
warstw elementarnych, otrzymanych przez

podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do
tej prostej.

85. Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek
masy

86. Macierz bezwładności

Macierz bezwładności jest macierzą
symetryczną. Elementy na przekątnej –

momenty bezwładności. Elementy poza
przekątną – momenty dewiacyjne bądź iloczyny

bezwładności.

I =

[

I

11

I

12

I

13

I

21

I

22

I

23

I

31

I

32

I

33

]