ZADANIE 1

Czas zdatności obiektu może być opisany rozkładem wykładniczym. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po upływie czasu równego oczekiwanemu czasowi zdatności tego obiektu, obiekt ten będzie jeszcze zdatny?

Odp.: 0,36.

ZADANIE 2

Czas zdatności urządzenia opisany jest rozkładem wykładniczym. Jaki co najmniej musi być oczekiwany czas zdatności tego urządzenia, aby przed upływem 100 godzin jego pracy funkcja niezawodności nie przyjęła wartości mniejszych od 0,99.

Jak się dzieli obie strony przez liczbę mniejszą od 0, to zmieniamy znak.

Odp.:

ZADANIE 3

Stwierdzono, że intensywność uszkodzeń pewnego urządzenia jest wprost proporcjonalna do czasu jego pracy. Oblicz funkcję niezawodności tego urządzenia.

; a - proporcjonalność

Wzór WIENERA

ZADANIE 4

Stwierdzono, że gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń można przedstawić w postaci zależności:

. Oblicz funkcję niezawodności, intensywności uszkodzeń i oczekiwany czas zdatności tych urządzeń.

Funkcja niezawodności

Intensywność uszkodzeń

Ten sam wyrób produkują dwa zakłady: zakład A, produkujący x % oraz zakład B produkujący y %.

x + y = 100%.

Jeden produkuje trochę lepiej, drugi gorzej.

ZADANIE 5

Stwierdzono, że funkcja niezawodności pewnych urządzeń ma postać:

Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń tych urządzeń.

ZADANIE 6

(POTENCJALNE EGZAMINACYJNE)

Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z II jednakowych elementów, których funkcje niezawodnościowe są znane. Obliczyć intensywność uszkodzeń urządzenia.

(tramwaj)

R₁(t) R₂(t)

gdzie:

λ - intensywność uszkodzeń _U - urządzenia

→→→
→→→

Odp.:

ZADANIE 7

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z II jednakowych elementów, których

intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu pracy urządzenia. Oblicz ile razy oczekiwany czas zdatności urządzenia przewyższa oczekiwany czas zdatności elementu.

Odp.: 1,5.

ZADANIE 8

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z III jednakowych elementów, których czasy zdatności opisane są rozkładem jednostajnym na przedziale od 0 do a. Stwierdzono, że oczekiwany czas zdatności tego urządzenia wynosi 90 jednostek czasu. Oblicz gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementów.

- kres górny czasu zdatności elementu

t

Odp.:

ZADANIE 9

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z n jednakowych elementów, których czasy zdatności opisane są rozkładem jednostajnym na przedziale od 0 do k.
Stwierdzono, że oczekiwany czas zdatności tego urządzenia jest 1,8 raza większy od oczekiwanego czasu zdatności elementu. Z ilu elementów składa się to urządzenie?

Odp.: n = 9

ZADANIE 10

Urządzenie o strukturze mieszanej przedstawionej na rysunku składa się z 4 jednakowych elementów, których czasy zdatności opisane są rozkładem wykładniczym o parametrze λ. Oblicz oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.

Odp.:
.

ZADANIE 11

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej przedstawionej na rysunku, składa się z 6 jednakowych elementów, których intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu ich pracy. Obliczyć do jakiej wartości dąży intensywność uszkodzeń urządzenia, gdy czas jego pracy dąży do +∞.

Funkcja niezawodności elementu opisana jest funkcją wykładniczą.

intensywność uszkodzeń:

to jest zawodność elementu

(skracamy przez
) =

ZADANIE 21

Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany i wynosi 10 lat. Urządzenie to do chwili obecnej bezawaryjnie przepracowało 4 lata. Ile wynosi oczekiwany pozostały czas zdatności tego urządzenia, jeżeli czas jego zdatności jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, a ile jeśli zmienną losową o rozkładzie jednostajnym z kresem dolnym = 0.

W przypadku rozkładu wykładniczego, pozostały czas zdatności urządzenia równa się oczekiwanemu czasowi zdatności urządzenia = 10 lat.

Przy rozkładzie jednostajnym:

ZADANIE 12

Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego będącego rezerwą nieobciążoną. Czasy zdatności elementów opisane są rozkładami wykładniczymi o jednakowych parametrach = λ. Obliczyć funkcję niezawodności, gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń i oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.

Czas zdatności

Dystrybuantą sumy zmiennych losowych niezależnych

f₁(τ)dτ - prawdopodobieństwo tego, że element 1 uszkodził się w „chwili” δ (w bardzo małym przedziale czasu, którego środkiem jest δ); F₂(t - τ) prawdopodobieństwo tego, że element drugi przepracował mniej niż (t - δ) jednostek czasu.

Funkcja niezawodności

Wartość oczekiwana sumy niezależnych zmiennych losowych = sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych losowych.

ZADANIE 13

Urządzenie z rezerwą nieobciążoną. Intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu pracy. Obliczyć funkcję niezawodności urządzenia.

- gdyż elementy te „są połączone” szeregowo

ZADANIE 14

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej, przedstawionej na rysunku składa się z III jednakowych elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu ich pracy. Obliczyć intensywność uszkodzeń urządzenia.

ZADANIE 15

Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej, składa się z 20 elementów. W rozpatrywanej chwili czasu wartość funkcji niezawodności każdego z tych elementów jest równa
. Dysponujemy 40-stoma elementami rezerwowymi, które mogą być wykorzystane do rezerwowania ogólnego lub indywidualnego tego urządzenia.,,0,9 - niezawodność Obliczyć wartość funkcji niezawodności urządzenia w rozpatrywanej chwili bez rezerwowania oraz w przypadku rezerwowania ogólnego i indywidualnego (rezerwa obciążona)

Bez rezerwowania

Rezerwowanie ogólne

Rezerwowanie indywidualne

Wnioski!!!

Urządzenie o niezawodności haniebnej!!! Ru = 0,12.

Niezawodność 3x podnosimy przy rezerwowaniu ogólnym - niezawodność nadal podła Ruo = 0,32.

Przy rezerwowaniu indywidualnym podnosimy 8x → jest O.K.

ZADANIE 16

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej, składa się z II jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu = λ, a intensywność jego odnowy wynosi μ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, zakładając, że nie występują żadne ograniczenia co do liczby elementów, które mogą być jednocześnie odnawiane i nie występują tzw. uszkodzenia o wspólnej przyczynie. EGZAMIN!!!

Stany:

0 - wszystkie elementy zdatne,

1 - jeden element niezdatny,

2 - dwa elementy niezdatne

Ponieważ nie uwzględniamy uszkodzeń o wspólnej przyczynie, tego przejścia nie nanosimy na grafie

Układ równań (układ równań tożsamościowych czyli trzecie wynika z dwóch wcześniejszych):

Ostatnie równanie tworzymy korzystając z warunku normującego (konieczne jest wprowadzenie warunku normującego)

Mamy teraz IV równania i trzy niewiadome... Co robimy? !!! Pozbywamy się najdłuższego (tj. 2)

Stacjonarny współczynnik gotowości urządzenia k_g.

Urządzenie ma strukturę równoległą - gdy co najmniej jeden element jest zdatny to urządzenie jest zdatne co można zapisać jak niżej:

ZADANIE 17

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej, składa się z II jednakowych elementów, których intensywność uszkodzeń i odnowy wynoszą odpowiednio λ i μ. Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że w urządzeniu nie ma elementów uszkodzonych, przy założeniu, że uszkodzone elementy są odnawiane kolejno.

2λ λ

0 1 2

μ μ

ZADANIE 19

Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ₁ w okresie pracy i λ₂ w okresie rezerwowania. Uszkodzone elementy są odnawiane kolejno, a intensywność odnowy jest równa μ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, gdy element rezerwowy będzie rezerwą:

1. obciążoną

2. nieobciążoną

3. częściowo obciążoną

Wypisujemy stany:

0 - wszystkie elementy zdatne

1 - jeden element niezdatny

2 - dwa elementy niezdatne

Ad. c

λ₁ + λ₂ λ₁

2

1

0

μ

μ

usuwamy największe

Ad. a

λ₁ + λ₁ 1 λ₁

0

0 2

μ μ

μ

Ad. b

λ₁ λ₁

0 1 2

μ

Nie ma sensu liczyć gdy można wykorzystać fakt, że dla przypadku a) λ₂ = λ₁, a w przypadku b) λ₂ = 0.

ZADANIE 20

Czas zdatności urządzenia między kolejnymi uszkodzeniami opisany jest rozkładem wykładniczym. Zakładając, że czas odnowy uznajemy za pomijalnie mały, obliczyć dystrybuantę czasu pracy tego urządzenia do III uszkodzenia.

Oś czasu

T T T

0 1 2 3

Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy.

Dystrybuanta czasu do drugiego uszkodzenia była wyprowadzona w jednym z poprzednich zadań

Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego:

ZADANIE 22

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej przedstawionej na schemacie składa się z III jednakowych elementów. Czas zdatności elementu opisany jest rozkładem jednostajnym o kresie dolnym = 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany i równy 1000 godzin. Obliczyć:

• oczekiwany czas zdatności elementu

• oczekiwany czas zdatności urządzenia

f(t)

a

funkcja niezawodności

---