ZGINANIE ZE SKRĘCANIEM

Jeżeli przekrój wału jest przekrojem kołowym, wówczas rozkład naprężeń w przekroju przedstawia się następująco:

W skutek zginania momentem Mg powstają naprężenia normalne zmieniające się od 0 w warstwie obojętnej do wartości max δ we włóknach skrajnych (punkty A i B).

δ(y)=Mg_y/Wz, δ=Mg/W. Z kolei w skutek działania momentu skręcającego Ms powstają naprężenia styczne zmieniające się od 0 osi pręta do wartości max τ, w punktach położonych najdalej od osi pręta np. w punktach A i B, przy czym: τ=Ms/Wo. Przy równoczesnym działaniu momentów Mg i Ms najbardziej niebezpieczny stan naprężenia powstaje w punktach A i B pręta położonych najdalej (zarówno od osi obojętnej jak i od osi pręta). W otoczeniu punktu A myślowo wyodrębniamy elementy sześcianu δ₁=δ/2+√((δ/2)²+τ), δ₂=0, δ₃=δ/2-√((δ/2)²+τ).

Ponieważ mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, naprężenia normalne na 3 kierunku głównym = 0. Ponadto jedna z wartości naprężeń głównych wynikających z koła Mohra jest ujemna. Ponieważ mamy do czynienia ze złożonym stanem naprężenia i oceną stopnia wytężenia materiałów musimy oprzeć na odpowiedniej hipotezie, musi zostać zachowana umowa dotycząca oznaczeń naprężeń głównych tj. δ₁≥δ₂≥δ₃, dla materiałów plastycznych o jednakowych własnościach wytrzymałościowych na rozciąganie, ściskanie (stal, stopy miedzi, aluminium) naprężenia zredukowane oblicza się w oparciu o hipotezy: τ_MAX H-M-H. Wg hipotezy a) τ_MAX δ_red=δ₁-δ₃=2√((δ/2)²+τ)=-√(δ²+4τ²) ≤kr, b)H-M-H δ_RED=√1/2[(δ₁-δ₂)²+(δ₂-δ₃)²+(δ₃-δ₁)²], po podstawieniu mamy δ_RED=√[(δ²+3τ²) ≤kr.

W przypadku zginania ze skręcaniem wygodne jest powyższe wzory wyrazić bezpośrednio jako funkcję Mg i Ms, dla przekroju kołowego: W=1/4πr³ - zginanie, W_O=1/2πr³-skręcanie W_O=2W. Naprężenia δ i τ można wyrazić wzorami: ၤ=Mg/W, ၴ=Ms/W_O=Ms/2W. Po podstawieniu powyższych wzorów do formuł na naprężenia zredukowane mamy: a) ၴ_MAX ၤ_RED=√[(Mg/W)²+4(Ms/2W)²]=[√(Mg²+Ms²)]/W≤kr, b) H-M-H ၤ_RED=ზ[(Mg/W)²+4(Ms/2W)²]=[ზ(Mg²+0,75Ms²)]/W≤kr. W celu uproszczenia zapisu kombinacja Mg i Ms występująca w licznikach otrzymanych wzorów nazywana bywa momentem zastępczym Mz a) ၴ_MAX Mz=ზ(Mg²+Ms²), b) H-M-H Mz=ზ(Mg²+0,75Ms²). Po wprowadzeniu elementu zastępczego obliczenia naprężeń zredukowanych dla okrągłych prętów zginanych i skręcanych sprowadzają się do zastosowania wzoru: ၤ_RED=Mz/WႣkr.

METODA CLEPSCHA

Podstawową zasadą metody Clepscha jest odmierzenie współrzędnych od jednego końca belki. Ponadto nie należy zmieniać postaci wyrażeń zawartych w nawiasach w równaniach opisujących przebiegi momentów gnących. Koleją z zasad metody jest modyfikacja układu obciążającego w taki sposób by działanie z każdej z jego składowych można było wyrazić za pomocą jednego wyrażenia. Konieczne jest zatem przedłużenie działania obciążeń rozłożonych do końca belki, oraz wprowadzenia obciążeń zapewniających statyczną równoważność układu.

Metoda analityczno-wykreślna: istota metody polega na przyjęciu założenia iż rzędne Mg_X z wykresów momentów gnących stanowią tzw. obciążenie fikcyjne gx belki zastępczej wielkości rzeczywiste EIz=d²y/dx²=-Mg

EIz(dy/dx)=-∫Mgxdx+Ca

EIz'y=-∫(Mgxdx)dx+Cax+Da wielkości fikcyjne d^2M/dx²=dT/dx=-gx, M-moment gnący fikcyjnyT=-∫gxdx+Cb, M=-∫(∫gxdx)dx+Cb+Db. Utożsamiając wartości Mg igx Mgx=-gx, EIz d²y/dx²=-gx=d²M/dx², dy/dx=1/EIz(dM/dx)+C=T/EIz+C, y=M/EIz+Cx+D jeżeli C=0, D=0 to słuszne są związki dy/dx=θ=T/EIz, y=f=M/EIz. Jeżeli dy/dx=0 dla belki rzeczywistej to T=0 -dla belki fikcyjnej wówczas C=0. Jeżeli y=0 dla belki rzeczywistej to M=0 dla belki fikcyjnej wówczas D=0.

TWIERDZENIE CASTIGLIANO

Energia sprężysta belki wynosi V₁=1/2(P₁f₁+ P₂f₂+...+P_if_i+P_nf_n)

Przyrost energii dV spowodowany przyrostem siły df_i wynosi: dv=(dv/dP_i)dP_i. Energia sprężysta wynosi zatem V_II=V_I+(dV/dP_i)dP_i­ praca statycznie przyłożonej siły dP_i na przemieszczeniu df_i=energi sprężystej i wynosi V=1/2dP_idf_i. Praca dL_ina przemieszczeniu L_i: dL_i=df_if_i. Energia sprężysta belki wyniesie zatem: V_II=1/2 dP_idf_i+V_I+df_if_i porównując prawe strony mamy V_I+(dV/dP_i)dP_i=1/2 dP_idf_i+V_I+dPfi dV/dP_i=f_i twierdzenie Castigliano.

TWIERDZENIE MENABREI

Jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenia Castigliano rozpatrujemy dowolnie obciążony układ n-krotnie statycznie niewyznaczalnych.

Za statycznie niewyznaczalne przyjmujemy reakcje podpór 1,2... w mioejscach występujących podpór wprowadzamy siły x₁,x₂...

W otrzymanym ustroju statycznie wyznaczalnym możemy obliczyć przemieszczenie punktu 1,2,3.. za pomocą tw. Castigliano. Ponieważ jednak punkty 1,2...znajdują się w miejscach występowania podpór przemieszczenia f_i muszą=0 σV/σx=f_i σV/σx=0 _i=1,2..n - tw. Menabrei Równanie to przedstawia warunek ekstremum funkcji V. Można udowodnić, że zachodzi tu minimum tej funkcji. Tw. Menabrei można sformułować następująco: w ustroju statycznie niewyznaczalnym siły x₁,x₂... przyjmują takie wartości, że energia sprężysta osiąga minimum.

RÓWNANIE 3 MOMENTÓW

θn'=Qn”

Kąt Qn' ugięcia prawego końca przęsła u wyznaczamy metodą superpozycji obliczając najpierw kąt θni wynikający z działania obciążeń wewnętrznych przyłożonych do przęsła a następnie kąt θn'₂ wynikający z działania momentów podporowych otrzymujemy zatem związek: Q_N1'+ Q_N2'=θn'. Kąt θn₁' obliczany metodą analityczną - wykreślną sporządzamy wykres Mg na przęsła u traktując go jako obciążenie ciągłe belki fikcyjnej. W myśl metody kąt θni wynosi θni=Tn/EIz, Tn-siła tnąca w punkcie nad podporą n, ponieważ: Tn=Rn' zatem Tn₁'=Rn'/EIz. Reakcje Rn' wyznaczamy z równań momentów względem punktu nad podporą Ωan=Rn'Ln Rn'=(Ωn an)/Ln θn₁'=(Ω₁ an)/(EIz Ln) Kąt θn'₂ wyznaczamy stosując gotowe wzory dla elementów przypisanych obciążeń belek zginanych.

θn=(Mn-1 Ln)/6Eiz

θn=(MnLn)/3Eiz θn'₂ jest superpozycją powyższych kątów: θn'=(M_n-1Ln)/6EIz+Mnln/3EIz, kąt θn'ugięcia przęsła na prawym końcu wynosi θn'=ΩnQn/Eizln+ M_n-1Ln/6Eiz+Mnln/3Eiz. W analogiczny sposób wyznaczamy kąt θn”ugięcia przęsła n+1 na jego lewym końcu: θn”=- Ω_n+1l_n+1/Eizl_n+1 od obciążenia zewnętrznego, Qn”= - Mnl_n+1/3EIz-M_n+1l_n+1/6EIz od momentów podporowych θn”=-[ Ω_n+1l_n+1/Eizl_n+1+ Mnl_n+1/3EIz+ M_n+1l_n+1/6EIz] Po podstawieniu mamy ΩnQn/Eizln+M_n-1ln/6EIz+Mnln/3EIz=-[Ω_n+1l_n+1/ Eizl_n+1+ M_n+1l_n+1/6EIz]. Powyższy związek jest poszukiwanym równaniem 3 momentów. Po uporządkowaniu wyrażeń mamy: M_n-1ln+2Mn(ln+l_n+1)+M_n+1l_n+1=-6[Ω_nQ_n/ln+Ω_n+1l_n+1/ l_n+1]

METODA MAXWELLA-MOHRA

Rozpatrujemy statycznie niewyznaczalny układ Clapeyrona rozpatrywany przez belkę pokazaną na rysunku. Jako statycznie niewyznaczalnie przyjmujemy reakcje podporowe x₁,x₂.

Układ traktujemy jako superpozycje układu statycznie niewyznaczalnego poddanego działaniu sił czynnych oraz układów obciążonych kolejno statycznie niewyznaczalnymi reakcjami x1(stan1), x2(stan 2) Mg w dowolnym przekroju belki określony współczynnikami jest sumą algebraiczną momentów poszczególnych stanów: Mg= Mg0+ Mg1+ Mg2. Przyjmujemy oznaczenia: mg1-Mg w przekroju współrzędnych x o sile jednostkowej x1=1, mg2-Mg w przekroju współrzędnych x os siły jednostkowej x2=1, dla układu n-krotnie statycznie niewyznaczalnego mamy mg=mg0+ mg1x1+ mg2x2. Energia sprężysta układu V=∫Mg2dx/2EIz. W rozpatrywanym układzie Clapeyrona dla każdej reakcji statycznie niewyznaczalnej można sformułować związek wynikający z twierdzenia Menabrei otrzymujemy zatem tyle równań ile jest wielkości niewyznaczalnych dV/dx1=0; dV/dx2=0; dV/dx1=0. Pochodna cząstkowa energii sprężystej względem x1 wynosi dv/dx1=∫Mg/EIz(dMg/dx1)dx, dMg/dx1=mg1. Po podstawieniutych i uproszczeniu wzorów otrzymujemy układ równań Maxwella-Mohra. α10+α11x1+α12x2+...+α1Nx1=0, α20+α21x1+α22x2+...+α2Nxn=0, αN0+αN1xN+αN2x2+...+αNNxn=0. Z powyższych równań można wyznaczyń wszystkie reakcje podoporowe.

---