Płaski układ sił zbieżnych

Płaski układ sił zbieżnych P1, P2, P3, ...,Pn przyłożonych do punktu 0 można zastąpić siłą wypadkową P równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w tym punkcie.

Przestrzenny układ sił zbieżnych

Przestrzenny układ sił zbieżnych Pl, P2, ... , Pn przyłożonych do jednego punktu 0 zastąpić możemy jedną siłą wypadkową P przyłożoną w tym punkcie i równą sumie geometrycznej tych sił.

Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych

Siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił na dwie równoległe osie układu współrzędnych będą równe zeru.

Moment siły względem punktu

DEF 1: Momentem siły P względem punktu 0 nazywamy odłożony z punktu 0 wektor Mo, równy iloczynowi wektorowemu promienia wektora r i wektora siły P.

DEF: 2 :Moment siły wypadkowej P przestrzennego układu sił zbieżnych względem dowolnego punktu 0 równy jest sumie geometrycznej momentów tych sił względem tego samego punktu.

Jego własności: 1. wektor Mo jest prostopadły do płaszczyzny określonej wektorami r i P o zwrocie okręślonym regułą śruby prawoskrętnej, 2.symbol momentu Mo musi być opatrzony indeksem, wskazującym punkt, względem którego moment jest obliczany, ponieważ moment ten zależy od wyboru punktu,

Moment siły względem osi

Momentem siły względem osi nazywamy rzut wektora momentu siły względem dowolnego punktu osi na tę oś.

Momentem siły P względem osi l nazwiemy moment siły P' względem punktu 0'

Moment siły P względem osi l jest równy zeru, gdy: 1.wartość siły P = 0 2.linia działania siły P przecina się z osią l (h = 0) 3.siła P jest równoległa do osi.

siły równoległe

Wypadkowa dwóch sił równoległych zgodnie skierowanych działa równolegle do tych sił i ma zwrot zgodny ze zwrotami tych sił. Jej wartość jest równa sumie wartości tych sił, a jej linia działania dzieli wewnętrznie odległość między liniami działania sił w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości tych sił.

Twierdzenia o parach sił

1. Dwie pary sił o tej samej płaszczyźnie działania są sobie statycznie równoważne, gdy mają równe momenty. 2.Zachowując nie zmieniony moment, parę sił można przenieść do dowolnej płaszczyzny równoległej do jej płaszczyzny działania. 3.Dwie pary sił działające w jednej płaszczyźnie można zastąpić przez jedną parę sił działającą w tej płaszczyźnie o momencie równym sumie momentów dwóch danych par. 4.Dwie pary sił działające w przecinających się płaszczyznach są równoważne jednej parze sił o momencie równym wektorowej sumie momentów tych par.

Redukcja i równowaga układu par sił

Układ par sił będzie w równowadze tylko wtedy, gdy moment wypadkowej pary sił będzie równy zeru.

Redukcja płaskiego układu sił

Dowolny układ sil (przyłożony do ciała sztywnego) leżący w jednej płaszczyźnie możemy sprowadzić do dowolnego punktu 0

Siłę R nazywać będziemy wektorem głównym układu sił, zaś moment Mo momentem głównym względem środka redukcji 0.

Redukcja płaskiego układu sił do jednej siły wypadkowej

W przypadku, gdy suma geometryczna układu sił P1, P2, .. , Pn działających w jednej płaszczyźnie na ciało sztywne różna jest od zera, układ zastąpić możemy jedną siłą wypadkową, równą wektorowi głównemu R. jeżeli suma geometryczna jest równa zeru, to układ sił może (ale nie musi) redukować się do pary, której wektor jest prostopadły do płaszczyzny działania sił

Równowaga dowolnego płaskiego układu sił

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeśli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu płaszczyzny działania sił jest równy zeru.

Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne

Zagadnieniami statycznie wyznaczalnymi nazywamy takie zagadnienia, które dotyczą równowagi układu sił działających w jednej płaszczyźnie na jedno lub kilka ciał sztywnych (układ mechaniczny), w których istnieje możliwość wyznaczania niewiadomych sił. W przypadku układu statycznie wyznaczalnego liczba reakcji zastępujących działanie więzów (równa liczbie więzów potrzebnych do unieruchomienia danego układu) równa jest liczbie równań równowagi.

W przypadku, gdy więzów jest więcej niż potrzeba do unieruchomienia danego układu mechanicznego, to dany układ jest przesztywniony. Wówczas niewiadomych reakcji jest więcej niż mamy równań równowagi i dlatego niektóre reakcje nie dają się wyznaczyć metodami stosowanymi przez statykę. Zagadnienia takie nazywamy zagadnieniami statycznie niewyznaczalnymi. Statyczna niewyznaczalność może być zewnętrzna (gdy niewyznaczalnymi są reakcje podpór nie należących do danego układu) albo wewnętrzna (gdy nie można wyznaczyć sił stykowych między elementami układu lub sił wewnętrznych przenoszonych przez jakiekolwiek elementy tego układu).

Tarcie i jego prawa

Tarciem nazywamy zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy silami tarcia. Siły te można zdefiniować jako siły oporu, zapobiegające ruchowi, który by powstał, gdyby tarcia nie było. Są więc one siłami biernymi i składowymi reakcji, które wystąpią dla zachowania równowagi stykających się ciał. Przyczyną powstawania sił tarcia jest chropowatość powierzchni ciał, które pod wpływem obciążeń zewnętrznych wykazują tendencję do przesunięcia się względem siebie. Jeżeli wartość liczbowa chropowatości maleje (wpływ obróbki mechanicznej i smarowania), to również maleją siły tarcia, stając się równe zeru w przypadku styku powierzchni idealnie gładkich.

Tarcie ślizgowe

Siła tarcia T zależeć będzie od chropowatości obu powierzchni i reakcji normalnej N, wywołanej ciężarem G

Rozróżnia się tarcie statyczne (spoczynkowe) i tarcie kinetyczne (ślizgowe).

Zależność między graniczną wartością siły tarcia, a naciskiem N określają prawa tarcia: 1.Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni stykających się ze sobą ciał i zależy jedynie od ich rodzaju. 2.Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmieniać się od zera do granicznej wartości, proporcjonalnej do całkowitego nacisku normalnego. 3.W przypadku, gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od granicznej wartości.

Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

Układ sił o dowolnie rozmieszczonych w przestrzeni liniach działania nazywamy dowolnym przestrzennym układem sił. Przez redukcję tego układu sił rozumiemy sprowadzenie go do najprostszej postaci, to znaczy zastąpienie przez najprostszy układ statycznie równoważny. Przykładem redukcji układu sił jest wyznaczenie jego wypadkowej.

Dowolny przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne zastapić możemy siłą R przyłożona do dowolnie wybranego środka redukcji 0, równą sumie geometrycznej wszystkich sił układu oraz para sił o momencie MO, równym sumie geometrycznej momentów tych sił względem środka redukcji.

Zredukowanie układu n sił względem innego środka redukcji powoduje jedynie zmianę momentu głównego układu, nie wywołując zmiany wektora głównego.

Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił do skrętnika

Układ złożony z wektora głównego R i składowej momentu

głównego MO, leżącej na linii działania wektora R, nazywamy skrętnikiem.

Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił do siły wypadkowej

Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby przestrzenny układ sił Pi redukował się do wypadkowej jest istnienie różnej od zera sumy geometrycznej R i prostopadłość wektora momentu głównego MO względem dowolnie wybranego punktu 0 do linii działania sumy geometrycznej.

Równowaga dowolnego przestrzennego układu sił

Dowolny przestrzenny układ sił Pi jest w równowadze, jeżeli suma rzutów wszystkich sił na trzy osie układu równa jest zeru i suma momentów wszystkich sił względem trzech osi układu jest równa zeru

Redukcja przestrzennego układu sił równoległych. Środki ciężkości

Moment siły wypadkowej W względem dowolnego punktu równa się sumie momentów układu sił względem tego samego punktu) (jest to tzw, twierdzenie Varignona).

Środki ciężkości

Środek ciężkości jest to punkt, w którym jest zaczepiona siła przedstawiająca ciężar danego ciała, i pokrywa się on ze środkiem sił równoległych, które reprezentują elementarne siły ciężkości, tj. siły przyciągania cząstek ciała materialnego przez kulę ziemską, skierowane pionowo do środka ziemi.. Określony poprzednio środek sil równoległych w odniesieniu do sił ciężkości nazywamy środkiem ciężkości. Ciężar ciała, czyli wypadkową sił ciężkości, możemy uważać za przyłożony stale w środku ciężkości C, niezależnie od poleżenia ciała.

Przyjmując układ współrzędnych sztywno związany z danym ciałem powodujemy, że w przypadku obrócenia cala, siły ciężkości zmienią swój kierunek w stosunku do układu współrzędnych. Natomiast punkty ich przyłożenia w stosunku do rozpatrywanego układu współrzędnych pozostają nie zmienione.

Środki ciężkości brył

Moment statyczny bryły względem płaszczyzny równa się, objętości bryły pomnożonej przez współrzędną środka ciężkości bryły, prostopadłą do tej płaszczyzny.

Położenie środka ciężkości brył geometrycznych można wyznaczyć różnymi metodami. Jedną z podstawowych metod jest metoda analityczna. Drugą metodą, jest metoda momentów

statycznych, w której korzystamy z twierdzenia, że moment statyczny bryły względem płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest równy zeru.

Najczęściej w praktyce inżynierskiej przy obliczaniu środków ciężkości bryły stosuje się metodę dzielenia, która sprowadza się do następujących etapów:

- dokonujemy podziału bryły na proste elementy, których położenie środków ciężkości jest znane,

- obliczamy momenty statyczne bryły względem płaszczyzn przyjętego układu współrzędnych x, y, z. (sumując iloczyny objętości brył prostych i współrzędnych środków ciężkości),obliczamy ze wzorów współrzędne środka ciężkości bryły (dzieląc momenty statyczne bryły przez całkowitą objętość bryły).

Def:Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie. Gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży na linii ich przecinania się. Gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, środek ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych płaszczyzn

Twierdzenia Guldina (Pappusa)

Pole powierzchni A, powstałej przez obrót płaskiej linii o długości l dookoła osi leżącej w głaszczynie tej linii i nie przecinającej jej, równe jest iloczynowi długości linii l przez długość obwodu okręgu 2πxc, który opisuje jej środek ciężkości.

Twierdzenie II

Objętość bryły, powstałej wskutek obrotu figury płaskiej o polu A dookoła osi leżącej w jej płaszczyźnie i nie przecinającej tej figury, równa się iloczynowi pola powierzchni A przez długość obwodu okręgu 2πxc który opisuje środek ciężkości.

Metoda wieloboku sznurowego

W statyce wykreślnej przy wyznaczaniu sił wypadkowych, reakcji podpór i wykresów momentów gnących posługujemy się z reguły metodą wieloboku sznurowego. Nazwa tej metody pochodzi stad. że wielobok sznurowy ma taką samą postać, jaką przybiera pod działaniem układu sił, zamocowany na końcach, napięty, doskonale wiotki i nieważki sznur.

Należy przypomnieć, że ciała wiotkie jak cięgna, sznury, itp. mogą być tylko rozciągane, bo powstają w nich reakcje nie pozwalające na oddalenie się ich końców. Nie mogą natomiast być ściskane, bo nie mogą powstać reakcje nie pozwalające na zbliżenie się tych końców. Na odwrót ciała sypkie, jak piasek, mogą być tylko ściskane. Ciała sztywne, np. pręty, mogą być rozciągane i ściskane

Zastosowanie metody wieloboku sznurowego do redukcji płaskiego układu sił

Def: Dowolny płaski układ sił można zastąpić przez dwie siły, działające wzdłuż skrajnych boków wieloboku sznurowego. Wartości tych sił są wyrażone przez długości odpowiednich promieni wieloboku sił, a zwroty są takie, że wektorowa suma tych sił jest równa wektorowi głównemu R. Linia działania wy­padkowej W = R przechodzi przez punkt przecięcia skrajnych boków wieloboku sznurowego.

Zastosowanie metody wieloboku sznurowego do redukcji płaskiego układu sił

Przy redukcji płaskiego układu sił mogą występować następujące przypadki 1. Wielobok sił nie zamyka się - układ sił redukuje się do jednej siły wypadkowej. 2. Wielobok sił zamyka się, a wielobok sznurowy nie zamyka się - układ sil redukuje się do pary sił. 3. Wielobok sił zamyka się i wielobok sznurowy również się zamyka - układ sił znajduje się w równowadze. Przedstawiona metoda wieloboku sznurowego może być wykorzystana do wyznaczania reakcji podpór.

Zastosowanie metody wieloboku sznurowego do wyznaczania momentów sił

Jednym z ważnych zastosowań metody wieloboku sznurowego jest możliwość wyznaczania wykresów momentów gnących.

Momentem gnącym w danym przekroju ciała nazywamy składową styczną sumy geometrycznej momentów wszystkich sił zewnętrznych działających tylko po jednej stronie rozpatrywanego przekroju, względem jego środka ciężkości.

Kratownice statycznie wyznaczalne

W zależności od rodzaju przenoszonego obciążenia stosuje się kratownice płaskie lub przestrzenne. Układ n prętów, których końce połączone są ze sobą przegubowo, mający niezmienną geometrycznie postać, nazywamy kratownicą.. Najczęściej połączenia prętów w kratownicach (węzły) są połączone na stałe (wykonane za pomocą nitowania, spawania, skręcania na śruby itp.).

Założenie to jednak upraszcza znacznie sposób obliczania kratownic, nie wprowadzając równocześnie większych błędów. Dodatkowymi założeniami przyj­mowanymi w teorii kratownic są: prostoliniowość i nieważkość prętów oraz to, że wszystkie siły zewnętrzne obciążające kratownicę są przyłożone wyłącznie w węzłach.

Kratownice płaskie

Układ prętów połączony przegubami walcowymi w węzłach, których osie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy kratownicą płaską. Do najczęściej spotykanych kratownic płaskich należą kratownice dwupasowe.

Kratownice płaskie mogą stanowić samodzielną konstrukcję nośną, bądź być częścią większej konstrukcji - kratownicy przestrzennej. W zależności od praktycznego zastosowania można podzielić kra­townice dwupasowe ze względu na

a) geometrię kształtu obrysu kratownicy

1.kratownice o pasach równoległych (prostokątne i trapezowe)

2.kratownice „jednospadowe" 3.kratownice „dwuspadowe

4.kratownice o jednym pasie prostym i drugim łukowym

5.kratownice o obu pasach lukowych

b) Warunki podparcia (zamocowania) kratownicy

1.jeden pas zamocowany przegubowo 2.obydwa pasy zamocowane sztywno 3.obydwa pasy zamocowane przegubowo

4.jeden pas zamocowany przegubowo, drugi unieruchomiony z płaszczyzny kratownicy 5.różne sposoby podparcia na długości pasów

c)Wielkość i sposób obciążenia

1.jedna siła przyłożona do węzła górnego lub dolnego pasa,

2.układ sił przyłożonych do węzłów górnego lub dolnego pasa,

3.układ sił przyłożonych do węzłów górnego i dolnego pasa,

4.obciążenie pochodzące od ciężaru własnego i obciążenia spowodowanego opadami śniegu (pionowe) oraz obciążenia siłami pochodzącymi od wiatru (poziome,

Zakłada się, że jedna z osi symetrii wszystkich prętów leży w płaszczyźnie kratownicy.

Plan sił Cremony

Z metody tej korzystamy w przypadku wyznaczania sił we wszystkich prętach kratownicy. W tym celu budujemy kolejno dla poszczególnych węzłów wieloboki sił, rozpoczynając konstrukcję planu sił od takiego węzła, w którym schodzą się dwa pręty.

Przy sporządzaniu planu sił Cremony muszą być zachowane następujące zasady postępowania

1. Obieramy skalę sił i skalę długości, a następnie wykreślamy rysunek kratownicy w przyjętej skali długości.

2. Za pomocą jednej z metod wykreślnych wyznaczamy reak­cje podpór. 3. Wszystkie siły zewnętrzne rysujemy na zewnątrz konturu kratownicy. 4. Wykreślamy wielobok sił zewnętrznych, działających na kratownicę, przy czym siły te muszą w nim występować w takiej kolejności, w jakiej je spotykamy obchodząc kratownicę w pewnym przyjętym kierunku (np, w prawo). Wszystkie siły muszą być narysowane w przyjętej skali sił. 5. Kreśląc wieloboki sił odpowiadające poszczególnym węzłom, siły zewnętrzne i siły wewnętrzne w odpowiednich prętach musimy narysować w takiej kolejności, w jakiej spotykamy je obchodząc odpowiedni węzeł zgodnie z uprzednio przyjętym kierunkiem. Dla ułatwienia poszczególne pręty i odpowiadające im odcinki na planie sił oznaczamy kolejnymi cyframi. 6. Wykreślane wieloboków dla węzłów rozpoczynamy od takiego węzła, w którym występuje tylko dwie nieznane siły. Zaczynając od znanej siły, znajdujemy zwroty sił pozostałych i zaznaczamy je na rysunku kratownicy.

W przypadku, gdy siła jest skierowana do węzła, pręt jest ściskany, natomiast gdy od węzła - rozciągany.

Analityczna metoda przecięć (metoda Rittera)

W praktycznych rozwiązaniach konstrukcyjnych występują kratownice statycznie wyznaczalne, które nie mogą być rozwiązane za pomocą planu sił Cremony. Są to kratownice, w których nie ma ani jednego węzła, od którego można by rozpocząć wykreślanie planu sil. W takim przypadku można zastosować metodę Rittera. Służy ona do wyznaczania sił w trzech prętach, których osie nie przecinają cię w jednym punkcie i są równoległe.

---