Materiały do wykładu

Wykład 1, 2

Wartość pieniądza w czasie.

Czynniki mające wpływ na zmienną wartość pieniądza w czasie:

1. Ryzyko

2. Preferowanie bieżącej konsumpcji

3. Możliwość inwestowania

Efektywna stopa procentowa r

Kwota zarobiona przez jednostkę pieniędzy w jednostce czasu:

r = a(1) - a(0) = a(1) - 1,

czyli

a(1) = 1 + r

gdzie a(t) funkcja akumulacji, wartość w chwili t jednostki zainwestowanej w chwili 0.

Jeśli zamiast jednostki w chwili 0 inwestujemy kapitał K to wygodnie jest posługiwać się funkcją wartości kapitału w chwili t:

K(t) = K∙a(t)

W literaturze używa się również oznaczenie FV - future value - wartość przyszła.

Procent prosty

Funkcja akumulacji jest postaci:

a(t) = a(t,r) = 1+ r∙t

Funkcja wartości kapitału jest postaci:

K(t) = K(t,r) = K (1+ rt)

Procent złożony

Funkcja akumulacji jest postaci:

a(t) = a(t,r) = (1+ r)^t

Funkcja wartości kapitału jest postaci:

K(t) = K(t,r) = K (1+ r)^t

Oznaczenie

Czynnik (1+r) nazywamy czynnikiem oprocentowującym.

Czynnik v = 1/(1+r) nazywamy czynnikiem dyskontującym.

Przykład 1

Kapitał 1.000 zł został zainwestowany na 1 rok przy efektywnej stopie procentowej r = 4%.

1. Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 1 roku.

2. Oblicz wartość zakumulowaną po 0,5 roku

3. Oblicz wartość zakumulowaną po 1,5 roku

Rozwiązanie

1. K(1) = 1.000 ·1,04 = 1.040

2. Dla procentu prostego K(0,5) = 1000 · (1 + 0,04·0,5) = 1020

Dla procentu złożonego K(0,5) = 1000 · (1 + 0,04)^0,5 = 1000 · 1,019803903 = 1019,80

3. Dla procentu prostego K(1,5) = 1000 · (1 + 0,04·1,5) = 1060

Dla procentu złożonego K(1,5) = 1000 · (1 + 0,04)^1,5 = 1000 · 1,060596059 = 1060,60

Porównanie na wykresie funkcji akumulacji dla procentu prostego i procentu złożonego.

W dalszych rozważaniach będzie pojawiał się tylko procent złożony.

Nominalna stopa procentowa r^(m)

Odsetki są kapitalizowane m razy w roku.

Funkcja akumulacji jest postaci:

a(t) = (1+ (r/m))^tm

Funkcja wartości kapitału jest postaci:

K(t) = K (1+ (r/m))^tm

Przykład 2

Kapitał 1.000 zł został zainwestowany na 1 rok przy nominalnej stopie procentowej r⁽²⁾ = 4%.

1. Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 1 roku.

2. Oblicz wartość zakumulowaną po 0,5 roku

3. Oblicz wartość zakumulowaną po 1,5 roku

Rozwiązanie

1. K(1) = 1.000 ·(1 + 0,04/2)² = 1.000 · 1,0404 = 1.040,40

2. K(0,5) = 1.000 ·(1 + 0,04/2)¹ = 1.000 · 1,02 = 1.020

3. K(1,5) = 1.000 ·(1 + 0,04/2)³ = 1.000 · 1,061208 = 1.061,21

Równoważne stopy procentowe

Dwie stopy procentowe r q są równoważne jeśli dla każdej chwili t jeśli kapitały zakumulowane przy pomocy obu stóp procentowych są równe:

K(t,r) = K(t,q)

Uwaga: dla równoważności stóp procentowych (dla procentu złożonego) wystarczy równość funkcji akumulacji:

a(1,r) = a(1,q)

Przykład 3

Obliczyć efektywną stopę procentową r równoważną stopie procentowej r⁽²⁾ = 4%.

Rozwiązanie

a(1,r) = a(1,r⁽²⁾)

1 + r = (1 + r⁽²⁾/2 )²

r = (1 + r⁽²⁾/2 )² -1

r = 1,02² - 1 = 0,0404

r = 4,04%

Przykład 4

Obliczyć efektywną stopę procentową r równoważną stopie procentowej r^(m) .

Rozwiązanie

a(1,r) = a(1,r^(m))

1 + r = (1 + r^(m)/m )^m

r = (1 + r^(m)/m )^m -1

Przykład 5

Bank A i bank B oferują lokaty oprocentowane na 10%. Bank A stosuje roczna kapitalizacje odsetek. Bank B stosuje kwartalną kapitalizację odsetek.

Oblicz wartość zakumulowaną 1000 zainwestowanych w każdym z tych banków na 5 lat.

Oblicz efektywną stopę procentową obu banków.

Rozwiązanie:

Bank A:

K(5) = 1000 (1+0,1)⁵ = 1000 · 1,61051 = 1610,51

Efektywna stopa procentowa to 10%

Bank B:

K(5) = 1000 (1+0,025)²⁰ = 1000 · 1,63861644 = 1638,62

1 + r = 1,025⁴

r = 0,103812891

r = 10,38%

Intensywność oprocentowania

Przy kapitalizowaniu odsetek w sposób ciągły posługujemy się intensywnością oprocentowania δ.

a(t) = a(t,δ) = exp(δt)

Przykład 6

Bank C oferuje lokaty oprocentowane w sposób ciągły (z ciągła kapitalizacją odsetek) przy intensywności oprocentowania δ = 10%.

Oblicz wartość zakumulowaną 1000 zainwestowanych w tym banku na 5 lat.

Oblicz efektywną stopę procentową stosowaną w tym banku.

Rozwiązanie

Wartość zakumulowana:

K(5) = 1000 · exp(5 · 0,1)

K(5) = 1000 · 1,648721271

K(5) = 1648,72

Równoważna efektywna stopa procentowa:

1 + r = exp(0,1)

r = 0,105170918

r = 10,52%

Wartość obecna - PV ­- present value.

W chwili t w przyszłości dostaniemy kwotę K jaka jest obecna wartość tej kwoty przy stopie procentowej r.

Odpowiedź

PV(K, t, r) = K / (1+r)^t

Jest to taka kwota, która obecnie zainwestowana przy stopie procentowej r, w chwili t dała by wartość zakumulowaną K.

Przykład 7

Jaka jest wartość obecna kapitału 10.000 za 4 lata przy efektywnej stopie procentowej r = 8%.

Odpowiedź

PV(10.000, 4, 8%) = 10.000 / 1,08⁴

PV = 10.000 / 1,36048896

PV = 7350,30

Przykład 8

Inwestujemy kapitał 7.350,30 . Stopie procentowa inwestycji wynosi r = 8% .

Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 4 latach.

Odpowiedź

FV = FV(7350,30, 4, 8%) = K(4) = 7350,30 ·1,08⁴

FV = 7350,30 ·1,36048896

FV = 10.000,00

Przykład 9

Jaka jest wartość obecna kapitału 10.000 za 4 lata przy nominalnej stopie procentowej r⁽⁴⁾ = 8%.

Odpowiedź

PV = 10.000 / (1,02)¹⁶

PV = 10.000 / 1,372785705

PV = 7284,46

Przykład 10

Inwestujemy kapitał 7.284,46 . Stopie procentowa inwestycji wynosi r⁽⁴⁾ = 8% .

Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 4 latach.

Odpowiedź

FV = K(4) = 7284,46 ·1,02¹⁶

FV = 7284,46 ·1,372785705

FV = 10.000,00

Renta pewna

Ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach czasu i równej wielkości.

Określenie

Wartość obecna renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przy stopie procentowej r:

a_n = a_{n r} = 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … + 1/(1+r)ⁿ

a_n = v + v² + … + vⁿ

a_n = v(1-vⁿ)/(1-v)

a_n = (1-vⁿ)/r

Przykład 11

Jaka jest wartość obecna renty pewnej płatnej przez 6 lat z góry przy stopie procentowej 5% i równej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

a₆ = (1 - 1/(1+0,05)⁶) / 0,05

a₆ = ( 1 - 1/1,340095641 ) / 0,05

a₆ = ( 1 - 0,746215396 ) / 0,05

a₆ = 0,253784603 / 0,05

a₆ = 5,075692067

Wartość obecna renty to 5000 · a₆ czyli

5000 · a₆ = 25.378,46

Określenie

Wartość przyszła renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przy stopie procentowej r:

s_n = s_{n r} = 1 + (1+r) + (1+r)² + … + (1+r)^n-1

s_n = (1 - (1+r)ⁿ)/(1 - (1+r) )

s_n = ( (1+r)ⁿ - 1) / r

s_n = ( (1+r)ⁿ - 1)/r

Uwaga zachodzi:

s_n = (1+r)ⁿ · a_n

a_n = vⁿ · s_n

Przykład 12

Jaka jest wartość przyszła renty pewnej płatnej przez 6 lat z góry przy stopie procentowej 5% i równej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

s₆ = ( (1+0,05)⁶ - 1) / 0,05

s₆ = ( 1,34009564 - 1) / 0,05

s₆ = 0,34009564 / 0,05

s₆ = 6,801912812

Wartość przyszła renty to 5000 · s₆ czyli

5000 · s₆ = 34.009,56

Przykład 13

Jaka jest wartość obecna kapitału 34.009,56 za 6 lat przy stopie procentowej 5%

Odpowiedź

PV = 34.009,56 / 1,05⁶

PV = 34.009,56 / 1,340095641

PV = 25.378,46

Przykład 14

Jaka jest wartość przyszła za 6 lat kapitału 25.378,46 przy stopie procentowej 5%

Odpowiedź

FV = 25.378,46 · 1,05⁶

FV = 25.378,46 · 1,340095641

FV = 34.009,56

Określenie

Wartość obecna renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu m razy w roku (w wysokości 1/m przy każdej płatności) przy stopie procentowej r:

a_n^(m) = a_n^(m) _r = 1/m [1/(1+r)^1/m + 1/(1+r)^2/m + … + 1/(1+r)^nm/m ]

a_n^(m) = 1/m [v^1/m + v^2/m + … + v^nm/m ]

a_n = 1/m · v^1/m (1-vⁿ)/(1-v^1/m)

a_n = (1-vⁿ) / [m (v^1/m - 1)]

a_n = (1 - vⁿ) / r^(m)

Przykład 15

Jaka jest wartość obecna renty pewnej płatnej kwartalnie przez 6 lat z góry przy efektywnej stopie procentowej r= 5% i rocznej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

a₆⁽⁴⁾ = (1 - 1/(1+0,05)⁶) / r⁽⁴⁾

Ponieważ:

(1 + r⁽⁴⁾/4)⁴ = 1 + r

r⁽⁴⁾ = 4 [ (1+r)^1/4 - 1]

r⁽⁴⁾ = 4 [ (1,05)^1/4 - 1]

r⁽⁴⁾ = 4 [ 1,012272234 - 1]

r⁽⁴⁾ = 4 · 0,012272234

r⁽⁴⁾ = 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = ( 1 - 1/1,340095641 ) / 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = ( 1 - 0,746215396 ) / 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = 0,253784603 / 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = 5,169893987

Wartość obecna renty to 5000 · a₆⁽⁴⁾ czyli:

5000 · a₆⁽⁴⁾ = 25.849,47

Określenie

Wartość przyszła renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu m razy w roku (w wysokości 1/m przy każdej płatności) przy stopie procentowej r:

s_n^(m) = s_n^(m) _r = 1/m [1 + (1+r)^1/m + (1+r)^2/m + … + (1+r)^(nm-1)/m ]

s_n^(m) = ( (1+r)ⁿ - 1) / r^(m)

Uwaga zachodzi:

s_n^(m) = (1+r)ⁿ · a_n^(m)

a_n^(m) = vⁿ · s_n^(m)

Przykład 16

Jaka jest wartość przyszła renty pewnej płatnej kwartalnie przez 6 lat z góry przy efektywnej stopie procentowej r= 5% i rocznej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

s₆⁽⁴⁾ = ( (1+0,05)⁶ - 1) / r⁽⁴⁾

r⁽⁴⁾ = 0,049088937

s₆⁽⁴⁾ = ( 1,34009564 - 1) / 0, 049088937

s₆⁽⁴⁾ = 0,34009564 / 0, 049088937

s₆⁽⁴⁾ = 6,928152395

Wartość przyszła renty to 5000 · s₆⁽⁴⁾ czyli

5000 · s₆⁽⁴⁾ = 34.640,76

Określenie

Wartość obecna renty nieskończonej jednostkowej pewnej płatnej z dołu przy stopie procentowej r:

a_∞ = a_{∞ r} = 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … + 1/(1+r)ⁿ + …

a_∞ = v + v² + … + vⁿ + …

a_∞ = v /(1-v)

a_∞ = [1/(1+r)] / [ 1 - 1/(1+r) ]

a_∞ = 1 / [ (1+r) - 1 ]

a_∞ = 1/r

Przykład 17

Jaka jest wartość obecna renty pewnej nieskończonej płatnej z góry przy stopie procentowej 5% i równej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie - mamy obliczyć 5000·a_∞

5000·a_∞ = 5.000 / 0,05

5000·a_∞ = 100.000

Wartość obecna tej renty to 100.000,00 .

Określenie

Wartość obecna renty nieskończonej jednostkowej pewnej płatnej z dołu m razy w roku (w wysokości 1/m przy każdej płatności) przy stopie procentowej r:

a_∞^(m) = a_∞^(m) _r = (1/m)·[ 1/(1+r)^1/m + 1/(1+r)^2/m + … + 1/(1+r)^n/m + … ]

a_∞^(m) = (1/m)·[ v^1/m + v^2/m + … + v^n/m + … ]

a_∞^(m) = (1/m)·[ v^1/m /(1-v^1/m ) ]

a_∞^(m) = (1/m) · { [1/(1+r)^1/m ] / [ 1 - 1/(1+r)^1/m ] }

a_∞^(m) = 1 / m·[ (1 + r)^1/m - 1 ]

a_∞^(m) = 1/r^(m)

Przykład 18

Jaka jest wartość obecna renty pewnej nieskończonej płatnej kwartalnie z góry przy nominalnej stopie procentowej 4% i rocznej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie - mamy obliczyć 5000·a_∞⁽⁴⁾

5000·a_∞⁽⁴⁾ = 5.000 / 0,04

5000·a_∞⁽⁴⁾ = 125.000

Wartość obecna tej renty to 125.000,00 .

Równoważność w czasie dwóch kwot pieniężnych (kapitałów).

Dwa kapitały: K w chwili t oraz P w chwili są sobie równoważne w chwili T jeśli wartości obecne obu kapitałów wyliczone na chwilę T są sobie równe, czyli jeśli zachodzi:

PV(K) = PV(P)

PV(K,T) = PV(P,T)

Uwaga

W regule procentu złożonego, jeżeli dwa kapitały są sobie równoważne w chwili w chwili T przy stopie procentowej r to są sobie równoważne w każdej chwili przy stopie procentowej r.

W związku z tym mówimy o równoważności kapitału przy stopie procentowej r bez wymieniania chwili czasowej równoważności.

Przykład 19

Rozważamy dwa kapitały: K = 5.000 w chwili t = 5, i P = 6.000 w chwili s = 8 przy stopie procentowej r = 8%. Czy są one sobie równoważne?

Rozwiązanie

Obliczymy wartość zaktualizowaną obu kapitałów na chwilę obecną (T=0).

PV(K) = 5.000 v⁵ = 5.000 / (1,08)⁵ = 5.000 / 1,46932801 = 3.402,92

PV(P) = 6.000 v⁸ = 6.000 / (1,08)⁸ = 6.000 / 1,85093021 = 3.241,61

Odpowiedź

Te kapitały nie są sobie równoważne przy stopie procentowej r = 8%. Przy tej stopie procentowej kapitał K = 5.000 w chwili t = 5 ma większą wartość niż kapitał P = 6.000 w chwili s = 8.

Przykład 20

Oblicz jaki kapitał K w chwili t = 3 jest równoważny kapitałowi W = 5.000 w chwili s = 9 przy stopie procentowej r = 5,2%.

Rozwiązanie

K = PV(W, s-t)

K = W·v^s-t

K = W / (1+r)^s-t

K = 5.000 / (1,052)^9-3

K = 5.000 / (1,052)⁶

K = 5.000 / 1,355484135

K = 3.668,72

Przykład 21

Oblicz jaki kapitał K w chwili t = 7 jest równoważny kapitałowi W = 8.000 w chwili s = 3 przy stopie procentowej r = 4,8%.

Rozwiązanie

K = PV(W, s-t)

K = W·v^s-t

K = W / (1+r)^s-t

K = 8.000 / (1,048)^3-7

K = 8.000 / (1,048)^-4

K = 8.000 · (1,048)⁴

K = 8.000 · 1,206271676

K = 9650,17

Strumień przepływów pieniężnych (kapitałowych)

To ciąg kapitałów w określonych momentach czasu: (K_i , t_i) , i = 1, 2, …m.

Równoważność dwóch strumieni przepływów finansowych (pieniężnych, kapitałowych).

Dane są dwa strumienie przepływów pieniężnych:

A = (K_i , t_i) , i = 1, 2, …m ,

B = (P_j , s_j) , j = 1, 2, … w .

Te dwa strumienie przepływów pieniężnych (kapitałowych) są równoważne przy stopie procentowej r, jeżeli wartości obecne obu strumieni pieniężnych są równe:

PV(A) = PV(B)

czyli

PV(K­₁) + PV(K­₂) + … + PV(K­_m) = PV(P­₁) + PV(P­₂) + … + PV(P­_w)

Przykład 22

Czy przy stopie procentowej r = 7,3% dwa strumienie przepływów kapitałowych:

A = (3.000 ; 1) , (2.000 ; 3) , (4.000 ; 5)

B = (1.000 ; 4) , (9.000 ; 8)

Są sobie równoważne.

Wartość długu niespłaconego

W każdej chwili musi zachodzić równość:

Wartość obecna długu = Wartość obecna wszystkich płatności

Wyznaczanie rat spłaty długu

Spłata długu równymi ratami.

Kapitał K ma być spłacony rentą pewną o n płatnościach z równą ratą R przy stopie procentowej r. Musi zachodzić równoważność pożyczanego kapitału K w chwili t = 0 oraz renty pewnej z ratą w wysokości R czyli:

K = R · a_n

Wyznaczanie wielkości raty R

Ekonometryczne modelowanie procesów finansowych Wykład

EkoModProcFin w 1.doc 1/8 P. Zaremba

---