ĆWICZENIE NR 4
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO I REWERSYJNEGO
WSTĘP TEORETYCZNY
- NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO, PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE
Przyciąganie pomiędzy ciałami odbywa się za pośrednictwem pola grawitacyjnego (pola ciężkości), które na równi z innymi polami fizycznymi i substancjami jest jedną z postaci materii. Charakterystyczną właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na umieszczony w nim punkt materialny działa siła ciężkości wprost proporcjonalna do masy tego punktu. Wektorowo opisuje się pole grawitacyjne za pomocą natężenia g, które jest równe stosunkowi siły ciężkości G działającej na punkt materialny do wartości jego masy m:
Swobodny spadek jest to ruch ciała, zachodzący pod wpływem tylko jego siły ciężkości. Przyspieszenie ziemskie grawitacyjne, (niekiedy zwane przyspieszeniem spadku swobodnego)
Jest ono jednakowe dla wszystkich ciał i zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wartość przyspieszenia ziemskiego g (w cm/s2) na niedużych wysokościach h (w metrach) n.p.m. można obliczyć ze wzoru przybliżonego:
Normalna wartość g przyjęta w obliczeniach barometrycznych i przy ustalaniu jednostek wynosi 0,80665 m/s2
W większości obliczeń technicznych pomija się zależność g od ϕ i przyjmuje się g=9,81 m/s2, zaś do wyznaczania zmiany g zachodzącej podczas oddalania się od powierzchni ziemi stosuje się wzór przybliżony:
gdzie M - masa ziemi, R0=6370 km - średni promień Ziemi, zaś g0=9,81 m/s2
- RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSCYLATORA HARMONICZNEGO
Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej
Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N/m nazywamy siłą kierującą.
(wielkość ω0 nazywa się częstością kołową). Po podstawieniu i przekształceniu, otrzymujemy:
Równanie to nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennej x.
Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2Π. Korzystając z powyższej własności i równania wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości:
skąd
Podstawiając za ω0 otrzymamy:
- WAHADŁO MATEMATYCZNE, FIZYCZNE, REWERSYJNE
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m (kulka) zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. W rzeczywistości każde wahadło musi być zbudowane w ten sposób, że nić jest nieco rozciągliwa i posiada pewną masę, a kulka metalowa zawieszona na tej nici jest większa od punktu matematycznego. Kulka odchylona od położenia równowagi i swobodnie puszczona porusza się ruchem drgającym. Na kulkę działa siła ciężkości.
W położeniu równowagi kierunek g pokrywa się z kierunkiem nici.
W położeniu np. B wektor g rozkładamy na dwie składowe: styczną i normalną
Składowa decyduje o ruchu, składową tę można wyrazić jako:
Na rysunku widać, że gdzie x - odchylenie, l - długość nici, czyli:
g i l to stałe, a więc przyspieszenie jest wprost proporcjonalne do nachylenia. Czyli ruch kulki można uważać za ruch harmoniczny, a przyspieszenie w nim wyraża się wzorem:
czyli -
Jest to prawo drgań wahadła matematycznego. Okres wahadła zależy od długości wahadła i przyspieszenia w danym punkcie Ziemi. Na podstawie tego wzoru można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie:
Wahadło rewersyjne to specjalnie skonstruowane wahadło fizyczne, które pozwala na dokładny pomiar l0. Okres drgań wahadła fizycznego wyraża się wzorem:
Jeżeli mamy jakąś masę i szukamy np. okresu drgań wahadła względem punktu O i A to zgodnie z prawem Steinera moment bezwładności względem O:
,
gdzie C- środek masy układu, BC - moment bezwładności względem C
Okres wahań względem O można zapisać:
,
a względem A:
Korzystając z równości okresów można wyznaczyć BC:
czyli:
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO
|
Położenie |
|
|
L.P. |
Dolne [mm] |
Górne [mm] |
l[mm] |
1 |
21.45 |
521.50 |
500.05 |
2 |
21.80 |
520.75 |
498.95 |
3 |
21.45 |
521.20 |
499.75 |
4 |
21.60 |
521.00 |
499.40 |
5 |
21.45 |
521.60 |
500.15 |
6 |
21.65 |
521.65 |
500.00 |
7 |
21.95 |
521.25 |
499.30 |
8 |
21.15 |
521.30 |
500.15 |
9 |
21.70 |
521.20 |
499.50 |
10 |
21.50 |
521.35 |
499.85 |
|
21.57 |
521.28 |
499.71 |
Długość wahadła l [mm]
Dokładność katetometru = 0,05 mm
[mm][m]
Okres T [s]
L.P. |
t[s] |
Δt |
1 |
14.10 |
0.01 |
2 |
14.22 |
0.11 |
3 |
13.81 |
0.30 |
4 |
14.12 |
0.01 |
5 |
14.15 |
0.04 |
6 |
14.16 |
0.05 |
7 |
14.13 |
0.02 |
8 |
14.31 |
0.20 |
9 |
13.91 |
0.20 |
10 |
14.22 |
0.11 |
|
14.11 |
0.10 |
[s]
Π ≈ 3.141592653589
Ze względu na to, że największy okres jest obarczony największym błędem względnym pozostałe wartości zaokrąglamy do trzech miejsc po przecinku.
Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA FIZYCZNEGO
|
|
L.P. |
D[mm] |
1 |
13.19 |
2 |
13.07 |
3 |
13.19 |
4 |
13.18 |
5 |
13.18 |
6 |
13.20 |
7 |
13.19 |
8 |
13.18 |
9 |
13.18 |
10 |
13.14 |
|
13.17 |
Średnica kulki d [mm]
Dokładność śruby mikrometrycznej = 0,01 mm
[mm][m]
Błąd wyznaczymy stosując metodę różniczki zupełnej
Wartość przyspieszenia ziemskiego jest nieco zawyżona, prawdopodobnie z powodu błędu pomiaru czasu. Jest to bowiem najbardziej usterkogenny moment pomiaru, albowiem decyduje moment obserwacji, uchwycenie punktu szczytowego i przeniesienie go na stoper. Jak wynika z obliczeń przeważnie moment zatrzymania stopera występował wcześniej niż faktycznie osiągnięte maksymalne wychylenie
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA REWERSYJNEGO
|
Pryzmat |
|
L.P. |
Dolny |
Górny |
1 |
35.00 |
610.10 |
2 |
34.50 |
610.70 |
3 |
34.65 |
610.40 |
4 |
34.50 |
610.15 |
5 |
34.25 |
610.35 |
6 |
35.20 |
610.50 |
7 |
34.90 |
610.45 |
8 |
33.25 |
610.30 |
9 |
35.20 |
610.65 |
10 |
34.95 |
609.60 |
|
34.64 |
610.32 |
Długość wahadła l [mm] (odległość między pryzmatami)
Dokładność katetometru = 0,05 mm
[mm][m]
Grubość soczewki s[mm]
Dokładność suwmiarki = 0,1 mm
s= 9.5 ± 0,1 [mm] =0.0095 ± 0,0001[m]
Po przeprowadzeniu 10 pomiarów każdy z nich dał identyczny wynik. Tak więc przyjęto tę wartość za średnią.
Obliczenia poszczególnych czasów i odległości soczewek:
L.P. |
h1[mm] |
T11[s] |
|
T12[s] |
|
h2[mm] |
T21[s] |
|
T22[s] |
|
1 |
543.20 |
15.00 |
0.06 |
15.29 |
0.07 |
456.65 |
14.60 |
0.11 |
14.84 |
0.10 |
2 |
543.50 |
14.87 |
0.07 |
15.41 |
0.05 |
456.60 |
14.35 |
0.14 |
14.87 |
0.15 |
3 |
543.20 |
15.00 |
0.06 |
15.38 |
0.02 |
456.60 |
14.50 |
0.01 |
14.76 |
0.15 |
4 |
543.55 |
15.03 |
0.09 |
15.35 |
0.01 |
456.85 |
14.60 |
0.11 |
14.77 |
0.10 |
5 |
543.45 |
15.12 |
0.18 |
15.34 |
0.02 |
456.70 |
14.47 |
0.02 |
15.09 |
0.05 |
6 |
542.95 |
15.00 |
0.06 |
15.32 |
0.04 |
456.70 |
14.50 |
0.01 |
15.09 |
0.05 |
7 |
543.15 |
14.81 |
0.13 |
15.47 |
0.11 |
457.00 |
14.47 |
0.02 |
15.00 |
0.25 |
8 |
543.15 |
14.85 |
0.09 |
15.34 |
0.02 |
456.70 |
14.40 |
0.09 |
14.97 |
0.05 |
9 |
543.15 |
14.90 |
0.04 |
15.43 |
0.07 |
456.80 |
14.38 |
0.11 |
15.10 |
0.05 |
10 |
543.60 |
14.85 |
0.09 |
15.28 |
0.08 |
456.90 |
14.60 |
0.11 |
14.88 |
0.15 |
|
543.29 |
14.94 |
0.09 |
15.36 |
0.05 |
456.75 |
14.49 |
0.07 |
14.94 |
0.11 |
Wartości h1 i h2 są wielkościami względnymi, tak więc odległość soczewki od przymatu obliczymy odejmując wartość od górnej pozycji i dodając połowę grubości soczewki:
± 0,15 [mm] = 0,1145 ± 0,00015 [m]
± 0,15 [mm] = 0,20105 ± 0,00015 [m]
Ponieważ soczewka oddalona o x od jednego pryzmatu jest jednocześnie oddalona o l-x od drugiego możemy obliczyć jeszcze h3 i h4.
[m]
[m]
Oczywiście okresy h1 i h3 oraz h2 i h4 będą odpowiednio równe.
Analizując okresy odpowiednich położeń soczewki dochodzimy do wniosku, że punkt, w którym T1=T2 leży gdzieś między h2 i h4
[s]
Obliczenie przyspieszenia ziemskiego:
Błąd wyznaczymy stosując metodę pochodnej logarytmicznej:
Jak widać po przeprowadzonych badaniach przyspieszenie ziemskie jest wartością zbliżoną do
10 m/s2. Rzeczywiście wartości tablicowe wskazują iż ma ono wartość 9,81 m/s2. Odchylenie wyniku od rzeczywistej wartości jest dość duże , aczkolwiek przy mało dokładnych obliczeniach można by te wyniki wykorzystać. Różnica wynikła prawdopodobnie z pominięcia oporów powietrza, ale najmniej dokładnym pomiarem był pomiar czasu, ze względu na trudność uchwycenia momentu maksymalnego wychylenia i to prawdopodobnie zaważyło na wyniku.
Dokładność z jaką dokonano pomiarów jest raczej zadowalająca, choć każde polepszenie dokładności przyrządów zmniejszyłoby zapewne błąd systematyczny.
Niestety uzyskany wykres nie prezentuje żadnych zależności, ze względu na bardzo małą liczbę pomarów. Wykres powinien składać się z dwóch parabol przecinających się w jednym punkcie.