IWM MiBM	Łukasz Zielonka	05.04.2016
Nr.1	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego

Uwagi:

Dobrze znanym przykładem ruchu ze stałym przyspieszeniem jest swobodny spadek CIA na ziemię. Stwierdzono, że gdy nie występuje opór powietrza, wszystkie ciała niezależnie od ich kształtu, masy, i składu chemicznego w tym samym punkcie nad powierzchnią Ziemi spadają z takim samym przyśpieszeniem. Taki idealny ruch, w którym zaniedbujemy opór powietrza oraz zmiany przyśpieszenia z wysokością, nazywamy spadkiem swobodnym. Przyśpieszenie swobodne spadających ciał nazywamy przyśpieszeniem ziemskim i tradycyjnie oznaczamy symbolem g.

Wartość przyśpieszenia ziemskiego nie jest stała, ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Przyczyną tego zjawiska są: a)spłaszczenie kuli ziemskiej, b)ruch obrotowy ziemi. Wartość g zmienia się wskutek działania tych dwóch czynników od wartość ok. 9.780m/s² na równiku do wartości ok. 9.832 m/s² na biegunie. Jest rzeczą oczywistą, że jak wynika z prawa powszechnego ciążenia, g będzie się również zmieniać wraz z wysokością, czyli z odległości od środka Ziemi. Na przykład dla szerokości geograficznej 45⁰, g będzie się zmieniać od wartości ok. 9,806m/s² na powierzchni Ziemi do wartości ok. 9.757 m/s² na wysokości rzędu 16km.

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego. Wahadło proste to punkt materialny (w tym przypadku kulka) zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Czas zmierzony podczas ruchu wahadła od punktu a (wychylenia i puszczenia punktu materialnego) do powrotu, czyli do tego samego punktu nazywamy okresem. Okres ten oznaczamy przez T i wyliczamy z następującego wzoru:

gdzie:

L – długość wahadła

g – przyspieszenie ziemskie

Przekształcając powyższy wzór jesteśmy w stanie obliczyć przyspieszenie ziemskie:

Wahadłem fizycznym nazywamy natomiast bryłę sztywną, która może wykonywać drgania wokół osi nie przechodzącej przez środek ciężkości bryły. Jeżeli ruch wahadła odbywa się w ośrodku materialnym, to na wskutek siły tłumiącej drgania będą zanikać. Wielkością charakteryzującą drgania tłumione jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia, czyli logarytm naturalny stosunku dwóch dowolnych kolejnych amplitud A_n i A_n+1 w chwilach t i t+T.

Tabela pomiarów

TABELA POMIARÓW I
Rodzaj kulki	Długość nici l [mm]	Średnica kulki d [mm]	Długość wahadła L=(l+d/2) [m]	Czas trwania 30 okresów	Okres T [s]	Średnia wartość okresu T [s]	Stosunek	Przyspieszenie g [m/s^2]
Drewniana	0,605	0,03	0,62	46,00 47,71 46,50	1,55 1,55 1,55	1,55	0,258	10,1
Aluminiowa	0,73	0,025	0,7425	53,00 52,94 52,22	1,76 1,76 1,74	1,75	0,250	9,9
Stalowa	0,68	0,03	0,695	49,10 49,20 48,70	1,64 1,65 1,62	1,63	0,261	10,3
Mosiężna	0,675	0,024	0,687	49,66 47,00 48,20	1,58 1,61 1,61	1,60	0,268	10,5

Obliczenia:

• kulka Drewniana

przyspieszenie

• kulka Aluminiowa

przyspieszenie

• kulka stalowa

przyspieszenie

• kulka Mosiężna

przyspieszenie

• Niepewność standardowa okresu

• Niepewność standardowa długości l:

=0,00129m

Niepewność złożona

Korzystając z prawa przenoszenia niepewności pomiarowych obliczyłem niepewność wartości u_c(g) dla każdej z kulek

Zestawienie wyników

Kulka Drewniana g=10,1±0,762

kulka Aluminiowa g=9,9±0,634

kulka Stalowa g=10,3±0,735

kulka Mosiężna g=10,5±0,768

Wartość tabelaryczna przyspieszenia ziemskiego wynosi g= 9,81 m/s^2.

g_d = 10,1 m/s² - 9,81 m/s² = 0,29

u(g_d) = 0,76 m/s²

g_d < u(g₁)

g_a = 9,9 m/s² - 9,81 m/s² = | 0,09 | m/s²

u(g_a) = 0,63 m/s²

g_a < u(g₂)

g_s = 10,07 m/s² - 9,81 m/s² = | 0,49 | m/s²

u(g_s) = 0,73 m/s²

g_s < u(g₃)

g_m = 10,5 m/s² - 9,81 m/s² = | 0,69 | m/s²

u(g_m) = 0,76 m/s²

g_m < u(g₄)

2. Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia.

Wahadło fizyczne

Tabela z mierzonymi wartościami:

Xn	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Okres T [s]	Średnia wartość okresu T[s]
An [mm]	495	450	405	370	330	300	280	260	240	225	37,50
An [mm]	460	410	380	350	320	210	270	250	235	215	37,60	37,70
An [mm]	480	440	400	360	330	300	280	260	250	230	38,00

Tabela z wyliczonymi wartościami logarytmicznego dekrementu tłumienia D:

XD1	D2	D3	D4	D5	D6	D7	D8	D9	Dśr
0,087	0,095	0,105	0,087	0,095	0,068	0,074	0,039	0,083	0,084

Przykładowe obliczenia:

Obliczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia

Obliczanie niepewności wartości standardowej metodą typu A

Obliczamy

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

• Współczynnik oporu ośrodka

, gdzie: , ,

• Współczynnik tłumienia

• Niepewność złożona u_c(β):

• Niepewność złożona u_c(b):

= 0,0000568

Wnioski:

Uzyskana wartość przyspieszenia różni się od wartości tablicowej, ale obliczając niepewność rozszerzoną możemy stwierdzić, że uzyskana wartość jest zgodna z wartością tablicową. Prawdopodobnie jest to spowodowane błędami pomiarów oraz tym, że w obliczeniach nie zostały uwzględnione opory powietrza i tarcie. Nie bez znaczenia jest również położenie układu pomiarowego.

Ruch wahadła fizycznego miał charakter gasnący w skutek oporów powietrza oraz tarcia, w związku z czym amplituda jego wychyleń malała. Mieliśmy więc do czynienia z ruchem tłumionym.