wyznaczanie modulu sztywnosci, Sprawozdanie z �wiczenia nr 3.

Laboratorium fizyczne

Pkal Adam

grupa 22 (B)

data:96-01-xx

Sprawozdanie z wiczenia numer 3.

Temat: Wyznaczanie moduu sztywnoci na skrcanie metod dynamiczn.

Politechnika Zielonog�rska 1997

1. Wstp teoretyczny.

a). Drgania oscylatora harmonicznego.

Jeeli punkt materialny porusza si ruchem okresowym tam i z powrotem po tej samej drodze, to ruch taki nazywamy drgajcym. Przemieszczenie czstki w takim ruchu mona zawsze opisa przy pomocy funkcji sinus i cosinus. Poniewa te dwie funkcje nazywamy harmonicznymi, to ruch opisany przez te funkcje czsto nazywany jest ruchem harmonicznym. Ruch harmoniczny opisany zostanie na przykadzie ukadu masa - spryna, kt�rego schemat znajduje si na rysunku poniej (rys. 1). Pierwsze om�wione zostan drgania niegasnce.

0x01 graphic

Rysunek 1. Ukad masa spryna jako przykad oscylatora harmonicznego.

- drgania niegasnce to drgania, w kt�rych pomijane s wszelkie siy oporu, przeciwstawiajce si ruchowi. W przypadku poniszego ukadu zakada si e na mas nie dziaa adna sia tarcia pomidzy ni a podoem. Std ciao takie, o masie m, przyczepione do idealnej spryny o wsp�czynniku sprystoci k i mogce si porusza po doskonale gadkiej poziomej powierzchni, jest przykadem oscylatora harmonicznego prostego. W ukadzie tym jeeli ciao jest wychylone w lewo to dziaa na niego sia zgodna z r�wnaniem F = -kx, gdzie x jest wartoci wychylenia ciaa z pooenia r�wnowagi.⁽⁾Jeeli ciao to znajduje si po przeciwnej stronie pooenia r�wnowagi to sia, jaka dziaa na nie ma tak sam warto, lecz przeciwny zwrot. Stosujc drug zasad dynamiki Newton'a, e F = ma otrzymujemy:

-kx = ma

wiedzc, e przyspieszenie a jest drug pochodn przesunicia x wzgldem czasu t mamy:

md²x/dt² +kx = 0; a dzielc to przez mas otrzymujemy:

d²x/dt² + k/mx = 0; zakadamy e k/m = _o² i otrzymujemy ostatecznie :

d²x/dt² + _o²x = 0; gdzie jest czstoci koow wyraan w [rad/sek].

Powysze r�wnanie jest r�wnaniem ruchu oscylatora harmonicznego prostego. Jego rozwizaniem jest wanie funkcja harmoniczna, kt�ra jest zar�wno okresowa jak i ograniczona.

x = A cos(t +)

gdzie A jest amplitud drga, czyli maksymalnym wychyleniem ciaa z pooenia r�wnowagi, natomiast to tzw. przesunicie fazowe stanowice o tym, czy ruch ciaa rozpocz si od pooenia „zerowego”, czy te jakiego dowolnie innego.

- ruch tumiony - to taki ruch, w kt�rym opr�cz siy sprystoci (w ukadzie takim jak poprzednio) istnieje take sia tumienia (np. tarcia) opisana zalenoci F_t = h dx/dt.

Ukad z si tumic musi spenia r�wnanie:

m d²x/dt² + h dx/dt + k/m x = 0 ; dzielc to prze mas otrzymujemy:

d²x/dt² +2 dx/dt + _o²x = 0 ; gdzie 2 jest sta tumienia r�wn : 2 = h/m.

Rozwizaniem tego r�wnania jest nastpujca funkcja:

x = A₀e^-^tcos (t + )

Amplitud tego typu drga stanowi wyraenie A = A_oe^-^t; gdzie A_o jest amplitud pocztkow. Wida, e amplituda wypadkowa A maleje z upywem czasu.

-drgania wymuszone to drgania w ukadzie, w kt�rym opr�cz drga wasnych ciaa wywoywane s take drgania przez si wymuszajc = _m cos ``t. Ruch drgajcy wymuszony opisuje r�wnanie:

m d²x/dt² + h dx/dt + kx = = _m cos ``t

Rozwizaniem tego r�wnania jest funkcja:

x = _m/G sin (``t - ); gdzie G² = m²(``² - ²) + h²²

natomiast = arc cos (h``/G)

Wida, e ukad taki drga z czstotliwoci siy wymuszajcej oraz, e ruch ten nie jest ju ruchem tumionym. Ponadto z rozwizania r�wnania r�niczkowego wynika, e gdy czsto koowa siy wymuszajcej przyblia si do wartoci czstoci drga wasnych , to amplituda gwatownie ronie ( wsp�czynnik G dy do zera).

b). Wahado fizyczne jako oscylatory harmoniczne.

Dowolne ciao sztywne powieszone tak, e moe waha si dookoa pewnej osi przechodzcej przez to ciao, nazywamy wahadem fizycznym. Na rysunku poniej (rys.2) przedstawione jest ciao o nieregularnym ksztacie, kt�re moe obraca si dookoa poziomej osi przechodzcej przez punkt P. Zostao ono odchylone z pooenia r�wnowagi o kt . Pooenie r�wnowagi to takie, w kt�rym rodek masy ciaa C ley na linii pionowej przechodzcej przez P.

0x01 graphic

Rysunek 2. Wahado fizyczne.

Oznaczenia dalszych wielkoci s nastpujce:

d - odlego midzy osi obrotu przechodzc przez punkt P a rodkiem masy C;

I - moment bezwadnoci ciaa wzgldem osi obrotu

M - masa ciaa

- przywracajcy r�wnowag moment siy przy ktowym przemieszczeniu

= -Mgdsin

poniewa D = Mgd (moment kierujcy lub wsp�czynnik proporcjonalnoci) to:

= -D

jest take: = Id²/dt² = I;

tak, e d²/dt² = /I = -D/I

std wz�r na okres drga wahada fizycznego przy maych amplitudach jest nastpujcy:

(1)

c). Zastosowanie wahada torsyjnego do wyznaczania moduu sztywnoci.

Wahado torsyjne, przedstawione na rysunku obok (rys. 3), to wahado, w kt�rym krek obraca si wok� swojej osi ruchem okresowym. O stanowi dla niego prt, na kt�rym krek jest zawieszony. G�rna cz prta jest sztywno zamocowana a dolna obraca si razem z krkiem, wic prt ulega skrcaniu. Na krek dziaa w�wczas moment siy skrconego drutu i stara si go przywr�ci do pooenia P. Moment ten jest proporcjonalny do wielkoci skrcenia, czyli ktowego przemieszczenia, zatem:

= -D

Rysunek 3. Wahado torsyjne.

Wahado torsyjne pozwala wyznaczy modu sztywnoci danego prta (drutu). Polega to na tym, e bada si okresy drga tego samego wahada lecz przy r�nych masach krka. Dalej naley wyznaczy zwizek midzy moduem sztywnoci a momentem siy wystpujcym podczas skrcenia prta. Wiadomo, e podczas skrcenia naprenia styczne () wynosz:

= F_s /S = G gdzie G - modu sztywnoci ;

- odksztacenie wzgldne

Wspomagajc si rysunkiem poniej widzimy, e istniej nastpujce zalenoci:

= Gs/l ; ( bo: s/l = )

= s/r

std: M = Gr⁴/2l

0x01 graphic

Rysunek 4. Odksztacenia podczas skrcania.

( g�rna podstawa walca obr�cona jest w stosunku do dolnej o kt )

wynika z tego, e Gr⁴/2l = D⁽⁾ wic jeeli: 0x01 graphic
to:

G = 8lI/T²r²

Jeeli zaoona jest dodatkowa tarcza w�wczas:

G = 8lI/r⁴(T₂²-T₁²)

W wiczeniu dodatkowa tarcza o promieniu R ma moment bezwadnoci r�wny I = 1/2 RMw�wczas r�wnanie na modu sztywnoci przyjmie posta:

G = 4lmR²/ r⁴(T₂²-T₁²) (2)

d). Waciwoci spryste cia staych. Rodzaje odksztace. Prawo Hooke'a i granice jego stosowalnoci.

- odksztacenie ciaa - polega na zmianie jego wymiar�w i objtoci wywoana dziaaniem si zewntrznych. Podczas odksztacenia sprystego elementy struktury (atomy, czsteczki) przemieszczaj si z jednych pooe r�wnowagi w drugie. Przeciwdziaaj temu siy oddziaywania midzyczsteczkowego skutkiem czego jest pojawienie si w ciele si sprystych.

- odksztacenie spryste - to takie, kt�re znika po usuniciu si zewntrznych

- naprenia normalne - to naprenia, kt�re pojawiaj si w damym ciele na skutek dziaajcych na nie si, skierowanych prostopadle do rozpatrywanego przekroju tego ciaa. Naprenia takie, najczciej oznaczane symbolem s stosunkiem wartoci siy dziaajcej prostopadle do przekroju do pola powierzchni tego przekroju.:

= F/A [ Pa = N/m²]

Lub inaczej:

= E•

gdzie: E - to tzw. modu Younga charakteryzujcy materia przedmiotu

- jest to odksztacenie wzgldne ( l/l ; gdzie l - dugo przedmiotu)

- naprenia styczne - to naprenia, kt�re s skutkiem dziaania si poprzecznie skierowanych do rozpatrywanego przekroju. Oznaczane s najczciej symbolem , lecz w tym sprawozdaniu by on ju wykorzystany wczeniej , wic we wzorach uyto symbolu: . Naprenia styczne pojawiaj si przede wszystkim podczas cinania (dlatego te czsto nazywane s tncymi) oraz skrcania przedmiot�w. Warto napre tncych obliczamy ze wzoru:

= G•

gdzie: G - modu sztywnoci;

- odksztacenie wzgldne (ktowe)

Prawo Hooke'a - m�wi o tym, e: „Naprenie jest wprost proporcjonalne do odksztacenia lecz tylko w granicach proporcjonalnoci”. Po przeksztaceniu powyszych wzor�w otrzymujemy tego potwierdzenie :

l = l/E

Dla skrcania wz�r powyszy przyjmuje posta:

= M_sl/GI

gdzie: - kt skrcenia

M_s - moment skrcajcy

l - dugo prta

G - modu sprystoci

I - moment bezwadnoci

Na nastpnej stronie znajduje si wykres bdcy charakterystyk napre normalnych w stosunku do wyduenia przedmiotu. Wida, e do wartoci _p, bdcej granic proporcjonalnoci Hooke'a wykres przyjmuje posta prostej pierwszego stopnia co potwierdza charakter proporcjonalnoci.

0x01 graphic

Rysunek 5. Wykres zalenoci odksztacenia o napre

w pr�bce

2. Spos�b przeprowadzenia wiczenia.

Prowadzcy zajcia przekaza nam niezbdne instrukcje⁽⁾, na kt�rych znajduje si szczeg�owy opis postpowania niezbdnego do prawidowego dokonania pomiar�w. W instrukcji tej znajduje si te schemat stanowiska do bada oraz tabelki, w kt�re naleao wpisa otrzymane wyniki. Warto jednak zaznaczy, e oznaczenia (symbole) uyte w instrukcji r�ni si nieco od tych, uytych w sprawozdaniu, co moe prowadzi do nieporozumie.

3. Wyniki pomiar�w.

Wyniki, jakie otrzymalimy podczas dowiadczenia zostay umieszcone w tabelach zawartych w instrukcji do wicze. Tutaj zostan opisane jedynie wartoci obliczone przez nas, niezbdne p�niej do analizy wynik�w (ocena bd�w).

Wielko fizyczna		rednio
symbol	opis	symbol	warto	jednostka
r	rednica drutu	r_r	0,00123	[m]
T₁	okres b. masy	T_1r	2,52	[s]
T₂	okres z mas dod.	T_2r	2,82	[s]
G	modu sztywn.	G	4,79•10⁹	[N/m²]
m	masa tarczy	m	0,4257	[kg]

4. Ocena bd�w.

Instrukcja podaje, e bdy pomiaru okres�w drga T₁ i T₂ naley obliczy ze wzoru Gaussa na bd redni kwadratowy wartoci redniej. Bd pomiaru promienia drutu r okreli jako maksymalne odstpstwo od wartoci redniej , natomiast bd pomiaru moduu sztywnoci G⁽⁾wyznaczy metod pochodnej logarytmicznej. I tak mamy:

0x01 graphic
0,004714 [s]

gdzie: n - liczba pomiar�w ( w wiczeniu n = 10)

- odchylenie od wartoci redniej ( = T_i- T_r)

analogicznie T₂ = 0,00537 [s]

r = 0,00125 - 0,00123 = 0,00002 [m]

m = 2•10^-3 [kg]⁽⁾

l = 10^-3 [m]

R = 10^-4[m]

Pochodna logarytmiczna wzoru (2) prowadzi do zalenoci:

ln G = ln 4 + ln l + ln m + 2ln R - 4ln r - ln (T₂ - T₁) - ln (T₂+ T₁)

R�niczkujc powysze wyraenie mamy:

G/G = 0 + l/l + m/m + 2R/R + 4r/r + T₁/(T₂ - T₁) + T₂/(T₂ + T₁)

Po wstawieniu wszystkich wartoci⁽⁾ i dokonaniu oblicze mamy:

G/G = 0,101799

5. Wnioski.

W wiczeniu tym najczstszym pomiarem by pomiar czasu, jaki zajmowao trzydzieci okres�w drga wahada torsyjnego. Z tego te wzgldu dla tej wielkoci naleao liczy odchylenie standardowe od wartoci redniej (dla pozostaych byo to tylko najwiksze odchylenie od wartoci redniej). Sam pomiar czasu by jednak utrudniony ze wzgldu na niewyrane wskazania miernika. Czsto wartoci byy przymusowo zaokrglane, poniewa ostatnia cyfra wskanika bya nieczytelna. Reasumujc, uszkodzony wywietlacz miernika oraz bdy wystpujce w seriach pomiarowych innych wielkoci (grubo drutu, rednica tarczy itd.), wpyny na warto bdu wzgldnego pomiaru moduu sztywnoci, kt�ry wyni�s procentowo a:� G/G�=�10%.