PA WYK 5

c.d. zagadnienia dotyczący transmisji - przykłady

P1.

Obliczenie transmitancji operatorowej konkretnego układu

Dany jest obwód pracy przekaźnika elektromagnetycznego jak na rysunku. Obwód ten zostaje zasilony skokowo napięciem u(t). Określić jak zmienia się prąd w obwodzie przekaźnika.

Rys. a) obwód przekaźnika P. i b) obwód ze schematem zastępczym przekaźnika

wejście u(t) , u(s)

wyjście : i(t) , i(s)

y(t) = i(t),y(s)=i(s)

Układamy równanie określające sumę spadków napięć w obwodzie przekaźnika :

i(t)R +i(t)Rp + Ldi(t)/dt = u(t)

i(R+rp)+Ldi(t)/dt = u(t)

Ldi(t)/dt + i(R+rp)*i(s)= u(s)

i(s) [Ls +(R+Rp)] =u(s)

G(s) = i(s)/u(s) = 1/(Ls +(R+Rp)) = 1/ ((L/(R+Rp))*s+1) =1/(Ts+1) , gdzie T=L/(R+Rp)

Wykorzystujemy własność transmitancji , że transformatę wyjścia, czyli odpowiedź y(t) = i(s) znajduje się pzrez mnożenie transmitancji G(s) pzrez transformatę we u(s) dla wymuszenia skokowego :

u(t) = k*1(t) => u(s) = k*1/s otrzymujemy :

y(s)=i(s) = k*1/s *1/(Ts+1), na podstawie ^. Wiersza tablicy transformat i oryginałów z wykładu 4., znajdujemy dla transformaty wy i(s) funkcję oryginalną y(t):

y(t) =i(t)=k*(1-e^-t/T), gdzie T=L/(R+Rp) jest stałą czasową.

Na podstawie analizy powyższego wzoru będącego również rozwiązaniem równania różniczkowego prąd i(t) zmienia się według krzywej inercyjnej. Przy zwiększaniu rezystancji R w obwodzie przekaźnika zmniejsza się stała czasowa układu powodując szybsze narastanie prądu i(t) a konsekwencji zmniejszenie czasu przyciągania przekaźnika.

Wykres

Przy. 2

Obliczenie transmitancji operatorowej konkretnego układu

Dany jest układ RC jak na rys.

Obliczyć transmitancję układu zakładając, że wielkością wy jest napięcie na pojemności C.

We : u(t), u(s)

wy : u_c(t) , y(t), u_c(t) = y(t) ,y(s) = u_c(s)

Układamy układ równań na sumę spadku napięć w obwodzie i prąd kondensatora :

{Ri(t) +u_c(t) = u(t)

{i(t) =Cdu_c(t)/dt

RCdu_c(t)/dt +u_c(t) = u(t) , po uwzględnieniu , że RC = T oraz że , u_c(t) = y(t)

otrzymujemy :

Tdy(t).dt + y(t) =u(t) ,

Tsy(s) +y(s) =u(s),

y(s) [Ts+1]=u(s) G(s) = 1/(Ts+1), gdzie T= RC - stała czasowa układu

Wykorzystując własności transmitancji , że transformatę wy , czyli odpowiedź y(s) =u_c(s) znajduje się przez mnożenie transmitancji G(s) przez transformatę we u(s), dla wymuszenia skokowego : u(t) =k1(t):

u(t)= k * 1(t) => u(s) = k*1/s ,

y(s) = u(s)*g(s)= k*1/s *1/(Ts+1) = k 1/s(Ts+1), a po przejściu do funkcji oryginalnej(wiersz ^ , z tab. Transformat i oryginałów ) otrzymujemy rozwiązanie:

y(t) = u_c(t) = k(1-e^-t/T , czyli wzór określa zmnianę napięcia na pojemności C przy wymuszeniu skokowym.

Szybkość narastanie na pojemności zależy od stałej czasowej RC.

Własności i charakterystyki dynamicznych układów liniowych

Dla poznania własności ukł. Dynam. Ptzyjmuje się pewien umownie ustalony zbiór czynników. Jest to istotne z tego względu , że poznanie czyli identyfikacja obiektu może dotyczy różnych obiektów dyna. , których własności mogą zostac porównane.

Innym sposobem poznania własności obiektów dynamicznych może być analiza tych obiektów polehgająca na wyróżnieniu w struktórach tych obiektów układów dynamicznych , których własności zostały już zbadane. Takimi obiektami są np. układy o tzw. prostej dynamice tworzącej zbiór podstawowych obiektów dynamicznych. Na podstawie własności obiektów zbadanych wnioskuje się o własnościach obiektu złożonego.

Własności obiektu dynamicznego :

mogą zostać określone na podstawie

równania (całkowego , różnicowego )

transmitancji operatorowe G(s)

charakterystyk dynamicznych

skokowe

częstotliwościowe (wymaga wprowadzenia transmitancji widmowej G(j omega)

• amplituda fazowa

• amplitudowa

• fazowa

• ch- ki logarytmiczne

• składowej rzeczywistej transmitancji

• skadowej urojonwj transmitancji

charakterystyk statycznych (w stanie ustalonym)

Równania różniczkowe jako sposób opisu obiektów dynamicznych zostały przedstawione w wyk 4 i w przykładach.

Transmitancja operatorowa - wyk 4

Poniżej przedsawiono sposób opisu schematu blokowych układów automatyki .

G₁(s) = k/(Ts+1) transmitancja obiektu rzeczywistego

G₂(s) = 1/s transmitancja obiektu całkującego

3 i 4 charakterystyki dynamiczne i statyczne - określenia charakterystyk zostały podane na 1wyk.

Charakterystyka skokowa - odpowiedź jednostkowa

Char. Skokowa synamcznego układu liniowego kest odp. Jednostkowa h(t), którego jako sygnał wy powstaje po wprowadzeniu na we obiektu, pzry zerowych warunkach początkowych sygnału funkcji jednostkowej y(t)= 1(t)

y(t) = 1(t) {0, przy t<0

{ 1, przy t<=0

(dla oryginału y(t) = 1(t) = 1 ,transf. G(s) = 1(s) = 1/s )

Transf. Laplace'a - skokowa :

h(s) = G(s) *1(s)

g(s) = G(s), a po przejściu do fun. Oryg. : h(t) = L(pisane) ^-1 (G(s)/s) co w przypadk , gdy u(t) = k*(t), to

y(t) = k* L^-1(pisane) [G(s)/s)]

Odpowiedź jednostkowe y(t) = h(t) dla konkretnych układów zostały podane w p. 1 i 2 na początku tego wyk.

Transmitancja Widmowa . CHar. Częstotliwościowe.

Pojęciem transmitancji widmowej odnosi się do układu dyna. O następujących właściwościach :

jeddnowymiarowy

lniowy

ciągły

stacjonarny

o stałych skupionych

wzór różniczkowy

interpretacja

Transita. operatorowa

G(s) = b_ms^m +b_m-1 s^m-1+ ... +b₁+b₀/ a_nsⁿ +a_n-1s^n-1... +a₁s +a₀

G(s) = L(pisane)

Powyrzsze równanie jest wymuszeniem hramonicznym czyli okresowym

np.: u(t)=U_max cos omega t to :

y₁ (t) = U_max /2 G(j omega)e^jomega t ,

Wzór na tran. WIDMOWĄ :

G(j omega) = b_m(jomega)^m. + b^m-1(j omega)^m.-1 ... + b₁ (j omega ) + b₀ / a_n(j omega )ⁿ + a_n-1(jomega )^n-1 + a₁(j om)+a₀

postać zespolona

postać wykładnicza

postać symboliczna

G(jom) = Y^/ U^ = Y_max e^{jom t} / U_max e^{j[omt + fi(om)]}

G(j om)= G(s) | s= j om oraz G(s) = G(j om)| jom = s

Transformata fouriera

G(j om) = F(pisane, kaligraficzne ) [y(t)]/(F(pis)[u(t)]

gdzie F(pis,kal) - oznaczatransformate Fouriera .

char. Amplitu. - fazow.	Przedstawia krzywą, która kreśli koniec wektora poprowadzony ze środka układu współ., przy zmianach pulsacji kątowej (omega)	1
char. Amplitudowa	przedstawia zależność (wykres ) modułu A(omega) transmi. G(jomega) w funkcji omega.	2
Char. Logarytmiczna amplitudowa Lm(omega) [dB] = 20log A(omega)	przedstawia zależność (wykres) zmiennej Lm(omega) będcej logarytmem dziesiętnym modułu transmitancji A(omeha) od pulsacji omega okrelonej na skali logarytmicznej ( Jeśli :20log A(omega) = 1dB to 20 logA(ome)=log10^20*1/20, 20logA(omeg) = 20log10^1/20 , zatem : A=10^1/20= pierw 20stop.(10) =1.22	3
Charakterystyka fazowa fi (omega)	przedstawia zależność (wykres) argumentu fi(omega) transmitancji G(j omega) od pulsacji omega	4
Charakterystyka logarytmiczna fazowa : fi(omega - logarytmiczne)	przedstawia zależność (wykres) argumentu fi(omega) transmitancji G(j omega) odp ulsacji omega określonej na skali logarytmicznej	5

---