6. OPORY PRZEPŁYWU CIECZY NEWTONOWSKICH

6.1. Równanie Bernoulli'ego dla strumienia cieczy rzeczywistej

Równanie Bernoulli'ego dla strugi płynu doskonałego:

(4.25)

lub

(4.26)

W ogólnym przypadku przepływu cieczy rzeczywistch (lepkich) równananie Bernoulli'ego przyjmuje postać:

(6.1)

Zasadnicza różnica między równaniem Bernoulli'ego dla płynu doskonalego i równaniem Bernoulli'ego dla płynu rzeczywistego polega na tym, że

1. Rozkład prędkości płynu rzeczywistego w przewodzie różni się od jednorodnego rozkładu prędkości w przypadku przepływu płynu doskonałego. Należy, zatem wprowadzić poprawkę uwzględniającą nierównomierność rozkładu prędkości w przekroju poprzecznym przewodu zwaną współczynnikiem Coriolisa:

(6.2)

W równaniu (9.1) E_Krz jest rzeczywistą energią kinetyczną, natomiast E_Kśr - średnią energią kinetyczną (taką samą jaką obliczylibyśmy w przypadku przepływu płynu doskonałego).

2. W przepływie płynu rzeczywistego w przewodach występują straty ciśnienia związane z dyssypacją energii. Żródłem dyssypacji energii jest zarówno tarcie wewnętrzne w płynie - ich miarą jet wysokość strat tarcia wewnętrznego  jak również miejscowe (lokalne) przeszkody, takie jak np. kolana, zawory itp. -ich miarą jetst wysokość strat miejscowych
   .

Globalną miarą tych strat jest jest tzw. całkowita wysokość strat ciśnienia H_str, określona za pomocą równania

gdzie

( 6.3)

Intepretację geometryczną równania Bernoulli'ego dla strumienia cieczy rzeczywistej przedstawiono na rys.9.2.

Rys.6.1. Interpretacja geometryczna równania Bernoulliego dla strugi płynu rzeczywistego.

6.2. Laminarny przepływ cieczy lepkiej w poziomym przewodzie o stałym przekroju kołowym

6.2.1. Rozkład naprężeń stycznych

Przyjmijmy następujące założenia upraszczające:

1. p=p(x),

2. przepływ jest ustalony i izotermiczny, tzn.
   (6.4)

Z bilansu sił działających na wyodrębniony, walcowy element płynu (rys.6.2)

Rys.6.2. Bilans sił działających na wyodrębniony element płynu w kształcie walca.

(6.5)

wynika, że

(6.6)

ale, zgodnie z (6.4)

(6.7)

Stałe całkowania C i C₁ wyznaczamy z warunków brzegowych:

Oznaczając dalej:

(6.8)

mamy:

(6.9)

Wielkość Δp zdefiniowaną za pomocą równania (6.8) nazywamy stratą ciśnienia lub różnicą ciśnień. Z kolei stosunek
nazywać będziemy dalej spadkiem ciśnienia.

Po uwzględnieniu w równaniu (6.6) związków (6.4) i (6.9) otrzymujemy prawo rozkładu naprężeń stycznych w przekroju poprzecznym rury:

(6.10)

Jest ono liniową funkcją zmiennej promieniowej osiągając maksymalną wartość

(9.11)

na ściance przewodu (por. rys.6.3)

Rys.6.3. Rozkłady: naprężeń stycznych i prędkości lokalnej w przekroju poprzecznym rury.

6.2.2. Rozkład prędkości

Zgodnie z hipotezą Newtona

(6.12)

lub w świetle (6.11)

(6.13)

Uwaga: znak „-” wynika stąd, że gradient prędkości
jest ujemny.

Po rozdzieleniu zmiennych

(6.14)

i scałkowaniu powyższego równania

(6.15)

z warunkiem brzegowym:

otrzymujemy poszukiwany rozkład prędkości:

(6.16)

Jak łatwo zauważyć profil prędkości opisany jest parabolą (rys.6.3), przy czym maksymalna prędkość

(6.17)

występuje w osi rury.

6.2.3. Objętościowe natężenie przepływu - prawo Hagena-Poiseuille'a.

Obliczymy elementarny, objętościowy strumień objętości (natężenie lub wydatek przepływu) przez powierzchnię pierścienia o grubości dr (rys. 6.3.):

(6.18)

Po postawieniu (6.16.37) do (6.18) mamy

(6.19)

Rezultatem całkowania równania (6.19) jest prawo Hagena - Poiseuille'a:

(6.20)

Zgodnie z tym prawem:

Objętościowe natężenie przepływu w rurze o przekroju kołowym jest proporcjonalne do spadku ciśnienia i do czwartej potęgi średnicy wewnętrznej rury.

Równanie Hagena -Poiseuille'a stanowi merytoryczną podstawę do konstruowania wszelkiego rodzaju wiskozymetrów kapilarnych, tj. przyrządów do wyznaczania dynamicznego współczynnika lepkości η. W rzeczy samej, znając średnicę kapilary (zagwarantowane są wówczas laminarne warunki przepływu), długość jej odcinka L oraz dokonując pomiaru objętościowego strumienia przepływu cieczy Q i towarzyszącej mu różnicy ciśnień Δp na odcinku L można łatwo wyznaczyć η.

Średnia prędkość przepływu wynosi:

(6.21)

Z kolei, skojarzenie równań (6.17) i (6.21.42) prowadzi do zależności:

(6.22)

9.3. Równanie Darcy'ego. Współczynnik oporów

Ogólne równanie wymiarowe (strukturalne) opisujące badany przepływ cieczy w rurach gładkich ma postać:

(6.23)

Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama można je sprowadzić do postaci bezwymiarowej:

(6.24)

gdzie

(6.25)

jest tzw. współczynnikiem tarcia wewnętrznego Fanninga, natomiast

(6.26)

jest liczbą Reynoldsa.

Przekształcając równanie (6.25) ze względu na
otrzymujemy

(6.27)

lub

(6.28)

gdzie

(6.29)

nosi nazwę współczynnika oporów przepływu.

Równanie (6.28) nosi nazwę równania Darcy'ego.

Inne znane postaci równania Darcy'ego są następujące:

(6.29a)

(6.29b)

(6.29c)

gdzie

(6.30)

jest wysokością strat tarcia wewnętrznego,

(6.31)

jest tzw. spadkiem hydraulicznym,

oznacza tzw. spadek ciśnienia

Równanie Darcy'ego, a w szczególności postać (6.29) stosuje się do przewidywania wysokości strat tarcia wewnętrznego (wiskotycznego). Obowiązuje ono w całym zakresie przepływu z tym, że wzory opisujące zależność funkcyjną
różnią się od siebie w zakresie laminarnym przepływu i w zakresie turbulentnym.

9.4. Zależność
w zakresie laminarnym przepływu cieczy w rurze gładkiej

Ze wzoru określającego średnią prędkość przepływu (6.21) wynika, że

(6.32)

Z równania Darcy'ego mamy z kolei:

(6.33)

Porównując stronami (6.32) i (6.31) otrzymujemy:

(6.34)

9.5. Zależność
w zakresie turbulentnym przepływu cieczy w rurze gładkiej

W zakresie przepływu turbulentnego, jak dotąd nie udało się znaleźć ścisłej i jednoznacznie określonej funkcji
. Istnieją natomiast przybliżone związki funkcyjne, które dość dokładnie opisują przepływ turbulentny w rurach gładkich.

Przytoczymy dwa rodzaje funkcji reprezentujące współczynnik oporów λ w zakresie burzliwym: jedną - opartą na wzorze logarytmicznym Prandtla - jest to semi-teoretyczna formuła Kármana - Prandtla:

(6.35)

Doświadczalnie wyznaczone stałe A i B wynoszą odpowiednio:

Równanie (6.35)zapisywane jest najczęściej w postaci:

(6.36)

Obowiązuje ono w przedziale
.

Drugą, najczęściej stosowaną formułą empiryczną jst:

wzór Blasiusa:

;
(6.37)

i wzór Nikuradse

;
(6.38)

Warto zauważyć, że wzór Blasiusa (6.37) jest szczególnym przypadkiem ogólnej formuły:

(6.39)

Z badań doświadczalnych wynika, że c = c(Re) i m = m(a).

9.7. Przepływ turbulentny w rurach chropowatych. Wykres Nikuradse

W wielu przypadkach, ważnych z punktu widzenia zastosowań technicznych rura, za pomocą, której transportowana jest ciecz ma ściankę wewnętrzną odznaczającą się pewną chropowatością. Miarą chropowatości ścianki przewodu jest wysokość chropowatości, k, którą określamy jako średnią wielkość występów nierówności na tej ściance. Jest to tzw. chropowatość absolutna. Bezwymiarową miarą chropowatości ścianki jest tzw. chropowatość względna:

(6.40)

Celem zbadania wpływu chropowatości ścianki rury na wartość współczynnika oporów Nikuradse zastosował rury o przekroju kołowym, powleczone cienką warstwą kleju, na którą naniesione zastały ziarenka piasku o zbliżonej średnicy. Rezultatem badań laminarnego i turbulentnego przepływu cieczy w rurach o sztucznej, „piaskowej” chropowatości jest wykres zwany wykresem lub harfą Nikuradse (rys.9.5). Służy on w praktyce do wyznaczania
w zależności od Re i ε.

Rys.9.5. Wykres Nikuradse.

Z doświadczenia Nikuradse wynikają następujące wnioski:

1/ w zakresie laminarnym 0<Re<2100 zarówno w przypadku rur gładkich jak i chropowatych

; (6.34)

chropowatość (0,2<ε<7%) nie wpływa na kształt i położenie krzywej (6.34),

2/ w przedziale 2100<Re<3100 ma miejsce przejście od ruchu laminarnego do turbulentnego,

3/ Powyżej Re
(Re>3100) ciecz przepływa ruchem turbulentnym

Wyróżnić przy tym należy trzy strefy:

I - strefa rur gładkich, w której
opisać można jedną z zależności: (6.38), (6.37) lub (6.38),

II- strefa przejściowa, charakteryzująca się tym, że w jej obrębie
. Zależność tę najwierniej opisuje wzór Colebrooka i White'a:

(6.41)

Krzywa graniczna oddzielająca strefę II od strefy III określona jest równaniem:

(6.42)

III - strefa przepływu, gdzie
. Strefa III nazywana jest przez niektórych autorów strefą kwadratową. Wynika to z faktu, że zgodnie z równaniem Darcy'ego, w którym
, wysokość strat tarcia wewnętrznego jest kwadratową funkcją średniej prędkości przepływu. W strefie tej obowiązuje wzór Nikuradse:

(6.43)

Najbardziej wygodnym w zastosowaniu praktycznym jest jednak wzór Waldena:

(6.44)

Istotną zaletą tego wzoru jest stwierdzony w drodze doświadczalnej fakt, że opisuje on zależność
w całym zakresie przepływu turbulentnego zarówno w rurach chropowatych jak i gładkich.

9.8. Przybliżona metoda obliczania współczynnika
przy przepływie cieczy w przewodach niekołowych

Celem obliczenia strat ciśnienia przy przepływie cieczy w przewodach o przekroju niekołowym stosuje się metodę przybliżoną, polegającą na tym, że w równaniu Darcy'ego zamiast średnicy D podstawia się średnicę zastępczą D_z, przy czym

(6.45)

gdzie tzw. promień hydrauliczny zdefiniowany jest następująco:

- (6.46)

W równaniu (6.46) dokonano następujących oznaczeń:

S - pole przekroju strumienia cieczy

L_z - obwód zwilżony przez strumień cieczy

Zatem

(6.47)

przy czym:

(6.48)

jest zastępczą liczbą Reynoldsa

W przypadku przewodu o przekroju prostokątnym

(o wymiarach
) mamy:

S = ab

L_z = 2(a+b)

i stąd

9.9. Obliczanie wysokości strat miejscowych

Równanie Bernoulli'ego dla cieczy rzeczywistej przepływającej w rurze o zmiennym przekroju, z uwzględnieniem strat lokalnych ma postać:

(6.1)

gdzie

(6.3)

Wysokość straty miejscowej dla danej przeszkody można obliczyć ze wzoru

(6.49)

gdzie

- współczynnik straty miejscowej , zależny od rodzaju przeszkody, jej wymiarów,

liczby Reynoldsa itp.

Zatem

(6.50)

H_str

z₁

z₂

---