Zestaw 16

1. definicja masy w fizyce

2. prawo Hooke'a. Ruch harmoniczny. Gł charaktery ruchu drgającego

1.

Masa

Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na postępowanie). Nieznaną masę m porównujemy ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomiędzy nimi sprężynę i zwalniamy ją. Masy, które początkowo spoczywały polecą w przeciwnych kierunkach z prędkościami v₀ i v.

Nieznaną masę m definiujemy jako

2.

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem

F = - kx

gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a.

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem

x = Acosωt

Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że

- kx = ma

czyli

- kx = m(dv/dt)

wreszcie

- kx = m(d²x/dt²)

Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "-". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosωt i sprawdzamy

dx/dt = v = - Aωsinωt

d²x/dt² = a = - Aω²cosωt

Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)

(- kAcosωt) = m(- Aω²cosωt)

i otrzymujemy

ω² = k/m

Widzimy, że x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy
.

Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinωt jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).

Najogólniejszym rozwiązaniem jest

x = Asin(ωt + ϕ)

gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.

Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:

• dla wychylenia A

• dla prędkości ωA (występuje gdy x = 0)

• dla przyspieszenia ω²A (występuje gdy x = A)

---