Przepływ płynu w kanale otwartym

Wprowadzenie

Przez kanał otwarty będziemy rozumieć każdy przewód, w którym istnieje powierzchnia swobodna cieczy, a więc nie tylko naprawdę otwarte koryta rzek i kanałów, ale również rury, które nie są całkowicie wypełnione cieczą.

Jeśli ciecz ma powierzchnię swobodną, to ciśnienie na całej tej powierzchni jest stałe, równe ciśnieniu otoczenia, w praktycznych przypadkach prawie zawsze równe ciśnieniu atmosferycznemu. Nie występuje więc różnica ciśnień, która w zamkniętych przewodach jest niezbędna do wywołania przepływu. Siłą napędową, powodującą przepływ cieczy mimo istnienia oporów przepływu, jest w kanałach otwartych różnica wysokości powierzchni cieczy. Gdy ciecz przepływa w dół kanału, jej energia potencjalna maleje, zamieniając się
w pracę pokonania oporów tarcia wewnętrznego. Równanie Bernoulliego zapisane dla punktów 1 i 2 w przewodzie (rys. 1)

Wielkość h_op, analogiczna do wielkości Δp/(ρ · g) w przepływach przez przewody zamknięte, jest wysokością słupa cieczy odpowiadającą oporom przepływu, które w przewo­dach zamkniętych są reprezentowane przez dodatkową różnicę ciśnień między końcami przewodu Δp.

Zajmujemy się ruchem jednostajnym, w którym przepływ w każdym przekroju jest jednakowy, czyli

i z równania Bernoulliego zostaje

Ponieważ wielkość h_op reprezentuje opory przepływu, można ją wyrazić równaniem Darcy-Weissbacha dla przewodu o przekroju niekołowym, którego wymiar poprzeczny jest charakteryzowany przez średnicę zastępczą d_z, równą czterem promieniom hydraulicznym R_h,

gdzie promień hydrauliczny R_h jest stosunkiem przekroju poprzecznego strumienia do obwodu omywanego.

Z ostatniego równania otrzymujemy

Współczynnik oporów λ jest funkcją liczby Reynoldsa, zależy więc od prędkości.
W praktyce jednak w typowych kanałach otwartych liczba Reynoldsa Re przybiera dla wody bardzo wysokie wartości ze względu na małą lepkość i duże wymiary poprzeczne kanału,
a ścianki są zwykle bardzo szorstkie - grunt, beton, zanieczyszczone osadami rury. W takich warunkach współczynnik oporów nie zależy od Re, a tylko od szorstkości powierzchni, może więc być dla danego kanału uznany za stały. Ostatnie równanie można więc przedstawić
w postaci

lub Q_v

Nosi ono nazwę równania Chézy'ego. Współczynnik oporów C można obliczyć ze wzoru Manninga

gdzie R_h jest wyrażone w metrach, a n zależy od szorstkości ściany i przybiera wartości od
n = 0,009 dla ścian gładkich do n = 0,03 dla zarośniętych kanałów ziemnych.

Przepływ pod- i nadkrytyczny

Całkowita energia jednostki objętości cieczy, będąca sumą energii kinetycznej i poten­cjalnej, wynosi

(1)

gdzie: b - szerokość powierzchni swobodnej,

h - średnia głębokość wody.

Ponieważ Q_v = const, to energia cieczy zależy tylko od wysokości napełnienia kanału h. Z postaci tego równania wynika, że

Przy pewnej głębokości energia całkowita przyjmuje więc wartość minimalną - rys. 2. Taki przepływ nazywamy krytycznym, a odpowiadającą mu głębokość - głębokością krytyczną. Każdą inną energię całkowitą ciecz może mieć przy tym samym natężeniu przepływu przy dwóch różnych głębokościach strumienia. Przy mniejszej głębokości przekrój strumienia jest mały, przez to prędkość duża, dominuje więc energia kinetyczna. Taki przepływ nazywamy podkrytycznym, albo rwącym. Przy dużej głębokości przekrój jest duży, prędkość mała i dominuje energia potencjalna. Jest to przepływ nadkrytyczny, inaczej - spokojny. Parametry przepływu krytycznego można wyznaczyć z równania przez określenie minimum energii całkowitej. Przy warunku

otrzymuje się z równ. (1)

(2)

Z tego wzoru można też wyznaczyć krytyczną prędkość. Ponieważ

to podstawiając Q_v z równ. (2), otrzymujemy

(3)

Wielkość ta jest równa prędkości rozchodzenia się fal na powierzchni i odgrywa
w kanałach otwartych analogiczna rolę, jak prędkość dźwięku w przepływach gazu. Oznacza to, że jeśli prędkość przepływu jest większa od krytycznej (przepływ podkrytyczny) to zaburzenie przepływu, spowodowane np. przez przeszkodę w kanale, nie może wpłynąć na przepływ w górze kanału. Ostatnie równanie można zapisać w postaci

Gdy liczba Froude'a, zdefiniowana równaniem

(4)

jest mniejsza od jedności (Fr < 1), to przepływ jest nadkrytyczny, gdy Fr > 1, przepływ jest podkrytyczny.

Z równania Chézy'ego można wyznaczyć jeszcze spadek krytyczny. Jest to spadek, przy którym prędkość cieczy przybiera wartość krytyczną

(5)

4

---