Politechnika Łódzka

Filia w Bielsku-Białej

Wydział Budowy Maszyn

Informatyka

Rok 1, Semestr 2

Grupa 2

ĆWICZENIE 40

Temat: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa.

Wykonali:

Korpiela Krzysztof

Krzepis Patryk

Luber Damian

F

v

ΔS v

v₂

v₁

Warstwowy przeoływ cieczy lepkiej

We wszystkich cieczach możemy zaobserwować pewne ruchy. Polegają one na tym, że warstwy poruszające się szybciej oddziałują na warstwy poruszające się wolniej pewną siłą. Jest to siła tarcia wewnętrznego i jest ona skierowana stycznie do powierzchni poruszającej się warstwy.

Siłę tarcia wewnętrznego F możemy wyrazić wzorem:

,

gdzie:

• V=V1-V2 jest różnicą prędkości dwóch warstw odległych od siebie o odcinek Z

• V/Z jest gradientem prędkości wzdłuż kierunku osi OZ

• jest dynamicznym współczynnikiem lepkości cieczy.

Aby pełniej scharakteryzować własności cieczy lepkich, oprócz dynamicznego współczynnika lepkości η, stosuje się tzw. kinematyczny współcznnik lepkości ν, równy:

ν = η/ρ

gdzie: ρ - gęstość cieczy.

Przemieszczanie się cząsteczek cieczy, z punktu widzenia mikroskopowego modelu cieczy, związane jest z pokonywaniem przez nie bariery energetycznej ΔE, występującej pomiędzy sąsiadującymi ze sobą cząsteczkami. Stąd wynika, że wraz ze wzrostem temperatury rośnie energia kinetyczna cząsteczek i łatwiej wówczas mogą one pokonywać barierę potencjału oddziaływań międzycząsteczkowych ΔE. Efektem makroskopowym tych procesów jest zmniejszanie się współczynnika lepkości cieczy η gdy temperatura rośnie. W najprostszym ujęciu wpływ temperatury na współczynnik lepkości opisany jest zależnością eksponencjalną:

η = η₀ exp(ΔE/kT)

gdzie: k = 1.3805 * 10^-23 [J/K] - stała Boltzmana,

T - temperatura w skali bezwzględnej.

Mamy dwa rodzaje ruchów cieczy:

ruch warstwowy (laminarny), który charakteryzuje się symetrią osiową (elementy cieczy poruszają się w równoległych warstwach). W ruchu tym nie ma składowych poprzecznych prędkości i nie ma tu mieszania się elementów cieczy w kierunku prostopadłym do przepływu. Ruch laminarny charakterystyczny jest dla małych prędkości cieczy.

ruch wirowy (turbulentny), który związany jest z nieuporządkowanym ruchem cieczy. Nie można tu wyodrębnić poszczególnych warstw składających się z takich samych elementów cieczy. Ruch ten charakterystyczny jest dla dużych prędkości cieczy.

Do ustalenia momentu, w którym ciecz przechodzi z ruchu laminarnego w turbulentny służy liczba Reynoldsa, która jest miarą naprężeń stycznych występujących wskutek tarcia wewnętrznego:

,

gdzie V jest średnią prędkością w kanale o średnicy D. Jeśli Re>2300 mamy przepływ burzliwy, a jeśli Re<2300 mamy przepływ laminarny.

Do opisu własności cieczy służą dwie wielkości:

lepkość dynamiczna - będąca współczynnikiem tarcia wewnętrznego powstającego podczas przemieszczania się względem siebie dwóch równoległych warstw cieczy. Wartość uzależniona jest od temperatury, rodzaju płynu, ciśnienia.

lepkość kinematyczna - będąca ilorazem lepkości dynamicznej i gęstości cieczy.

Jeśli wewnątrz cieczy lepkiej porusza się ciało stałe (bryła), to warstwa cieczy przylegająca bezpośrednio do tej bryły przylepia się do jej powierzchni i jest całkowicie unoszona z prędkością równą prędkości ciała. Następne warstwy cieczy są unoszone z coraz mniejszą prędkością, gdyż pojawia się siła oporu lepkiego. Dla kuli poruszającej się w cieczy prawdziwe jest prawo Stokesa mówiące, że na kulę o promieniu r poruszającą się z prędkością V w ośrodku ciekłym o lepkości działa siła oporu wyrażona wzorem:
, który słuszny jest dla warstwowego przepływu cieczy. Tak więc równanie ruchu będzie miało postać:

mdv/dt = mg - 4/3Πr³ρg - 6Πηrv

Rozwiązując to równanie otrzymujemy następującą zależność prędkośći kuli od czasu:

v(t) = v_g(1 - e^(-6Πηr/m)t)

gdzie: vg - graniczna prędkość kuli, z jaką będzie ona opadała ruche,jednostajnym, po wytworzeniu się równowagi pomiędzy siłą ciężkości Q, siłą wyporu F_wp i siłą Stokesa T(v_g).

F_wp

T(v)/2 T(v)/2

Q > F_wp + T(v)

T(v_g)/2 T(v_g)/2

Q = F_wp + T(v_g)

Z warunku równowagi sił wynika więc, że prędkość graniczna vg będzie równa:

gdzie: d = 2r - średnica kulki.

Zatem jeśli w warunkach równowagi sił kulka orzebędzie drogę l w czasie t, to w oparciu o powyższe równanie lepkość cieczy η można obliczyć ze wzoru:

Opis doświadczenia.

Najpierw wyznaczamy, za pomocą wagi analitycznej, masę m dziesięciu kulek i wyznaczamy masę średnią mśr i błąd masy. Mierzymy średnicę d każdej kulki i wyznaczamy błąd pomiaru. Mierzymy również długość l opadania kulek ruchem jednostajnym oraz szacujemy błąd bezwzględny l pomiaru. Wszystkie wyniki pomiarów i obliczeń notujemy w tabeli 1.

Tabela 1.

M 10^-3 [kg]	m 10^-3[kg]	m 10^-3 [kg]	d 10^-3 [m]	d 10^-3 [m]	l 10^-2 [m]	l 10^-2 [m]	[kg/m3]
0,631	0,063	0,001	2,46	0.01	50	0.1	1260

Następnie wyznaczamy czas t opadania kulek oraz obliczamy wartość średnią. Pomiary czasu opadania kulek prowadzimy w czterech temperaturach, począwszy od temperatury otoczenia do ok 50C. Obliczamy dla poszczególnych serii pomiarowych, średnie wartości czasów opadania kulek, oraz błąd średni kwadratowy pojedynczego pomiaru t_k i błąd pomiaru czasu Δt.

Δt = (Δ
t_k² + 0,0001)^1/2.

Wyniki obliczeń przedstawia tabela 2.

Tabela 2.

T1= 21,1[°C]	T2= 25,6[°C]	T3= 30,3[°C]	T4= 35,2[°C]	T5= 40,5[°C]	T6= 45,2[°C]	T7= 50,2[°C]
ti [s]	ti [s]	ti [s]	ti [s]	ti [s]	ti [s]	ti [s]
7,91	5,68	4,41	3,44	2,60	2,44	2,13
7,78	5,50	4,41	3,37	2,75	2,34	2,00
7,81	5,59	4,28	3,35	2,72	2,35	2,00
7,72	5,50	4,22	3,41	2,60	2,28	2,07
7,71	5,47	4,19	3,25	2,72	2,35	1,93
t=7,78 [s] Δtk=2612 [s] Δt=2797 [s]	t=5,55 [s] Δtk=2988 [s] Δt=3151 [s]	t=4,30 [s] Δtk=4308 [s] Δt=4423 [s]	t=3,36 [s] Δtk=2112 [s] Δt=2997 [s]	t=2,68 [s] Δtk=2088[s] Δt=2315 [s]	t=2,35 [s] Δtk=1308 [s] Δt=1647 [s]	t=2,03 [s] Δtk=2332 [s] Δt=2537 [s]

Tabela 3 przedstawia odwrotności wartości temperatury T, wartość lepkości gliceryny w poszczególnych temperaturach, oraz wartości: lnη, parametrów a, b, Δa, Δb, ΔE, δ_E.

Tabela 3.

T [K]	1/T 10^-4 [K]	η [Ns/m^2]	Δη [Ns/m^2]	lnη
294,1	0,00340	0,3499	0,0082	-1,044
298,6	0,00335	0,2494	0,0063	-1,383
303,3	0,00330	0,1934	0,0058	-1,637
308,2	0,00324	0,1512	0,0040	-1,883
313,1	0,00319	0,1204	0,0034	-2,111
318,2	0,00314	0,1057	0,0028	-2,241
323,2	0,00309	0,0911	0,0029	-2,390
a = 435*10^2 [K] Δa=28*10^2 [K]	b = -15,832 Δb=0,076	ΔE=374*10^-2[eV] δe= 24*10^-2 [eV]

ΔE = a * k [K*J/K] = 4347,764 * 1,3805 * 10^-23 [J] = 6002,088*10^-23 [J]

δ_e = Δa * k [K*J/K] = 280,877 * 1,3805 * 10^-23 [J] = 384,647*10^-23 [J]

Z zależności: 1 eV ≈ 1,602 * 10^-19 J, czyli 1 J = 1/1,602 * 10¹⁹ eV :

ΔE = 3746,622*10^-4 [eV]

δ_e = 240,104*10^-4 [eV]

Błędy bezwzględne wyznaczonych wartości lepkości Δη obliczono wg wzoru:

Poniższe wykresy przedstawiają odpowiednio zależności:

• η = η(T)

• lnη = ΔE/k * 1/T + lnη₀

Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa

4

---