POLITECHNIKA ŚLĄSKA GLIWICE 9.03.2000

W GLIWICACH

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

Laboratorium z fizyki.

Temat:

Wyznaczanie współczynnika przewodnictwa cieplnego ciał stałych metodą Angströma.

Sekcja :1

Grupa I sem:II

Bodzek Krzysztof Brańka Marek

Stępień Paweł

1. Opis zjawiska fizycznego.

Wymiana ciepła pomiędzy ciałami o różnych temperaturach może przebiegać na trzy sposoby:

1. promieniowanie,

2. konwekcje,

3. przewodnictwo.

Podstawą samego zjawiska przewodnictwa cieplnego jest przekazywanie energii kinetycznej chaotycznego ruchu cieplnego drobin. Jest ono jednym z tzw. zjawisk transportu. Prawo przewodnictwa cieplnego sformułował J.B. Fourier w roku 1822. Wykazał on, że gęstość strumienia cieplnego q jest proporcjonalna do gradientu temperatury:

gdzie:

 - współczynnik przewodnictwa cieplnego

Znak minus w prawie Fouriera oznacza, że energia w procesie przewodnictwa cieplnego przenosi się w kierunku zmniejszania temperatury. Powyższy związek jest słuszny jednie pod warunkiem, że względna różnica temperatur na odległości średniej drogi swobodnej cząsteczek jest mała w porównaniu z jednością:

W razie niespełnienia powyższego warunku związek pomiędzy gradientem temperatury i gęstością strumienia cieplnego staje się bardziej skomplikowany.

Proces przewodnictwa cieplnego w ciałach stałych, w tym także w metalach, związany jest z drganiami sieci krystalicznej i zależy od jej struktury. Według kwantowej teorii ciał stałych drgania termiczne sieci krystalicznej są skończonym zbiorem drgań normalnych tworzących w procesie interferencji paczki falowe zwane fononami. W metalach na sieciowe przewodnictwo cieplne nakłada się zjawisko z ruchem elektronów pasma przewodnictwa. Dla temperatur wyższych od temperatury Debye'a (np. w warunkach pokojowych) przewodnictwo cieplne elektronowe związane jest z przewodnością elektryczną σ prawem Wiedemanna-Franza:

gdzie:

k - stała Boltzmanna

e - ładunek elektronu

Niech w pręcie o długości L wytworzona będzie stała różnica temperatur T=T₁-T₂. Równanie przewodnictwa cieplnego zapiszemy wówczas w postaci :

gdzie:

κ - współczynnik przewodnictwa temperaturowego

Podstawowym założeniem jest fakt wymiany ciepła pomiędzy prętem i ośrodkiem podlegający prawu Newtona w którym parametry κ i  wynoszą odpowiednio:

Angström podał następujące warunki brzegowe rozwiązania powyższego równania:

1. na jednym końcu pręta (x=0) temperatura zmienia się okresowo i można wyrazić ją za pomocą szeregu Fouriera:

gdzie:

n - indeks n-tej harmonicznej

2. temperatura drugiego końca pręta (x=L) jest stała, równa temperaturze wody chłodzącej.

W odległości x od źródła ciepła temperatura pręta opisana jest ogólnym równaniem:

Po przeprowadzeniu niezbędnych obliczeń otrzymamy wzór charakteryzujący okresowe zmiany temperatury. Na uwagę zasługuje fakt podobieństwa otrzymanego wzoru do równania opisującego rozprzestrzeniającą się falę. Z tego też względu fale takie określa się mianem fal temperaturowych.

Zakładając, że jeśli dla punktu x=1 temperatury będą zmieniać się w sposób charakterystyczny dla przebiegu sinusoidalnego to możemy przyjąć n=1. Wówczas dla składowej rzeczywistej otrzymujemy:

T₁=Ae^-ax cos(t-bx)

Analogicznie dla punktu przesuniętego o l:

T₁=Ae^-a(x+l) cos[t-b(x+l)]

Stosunek kolejnych fal temperaturowych pozwala wyliczyć współczynnik a:

a z przesunięcia fazowego wyliczamy współczynnik b:

gdzie:

 - okres zmian warunków nagrzewania

t - czasowe przesunięcie grzbietów fal.

Stąd ostatecznie otrzymujemy wzór na współczynnik przewodnictwa temperaturowego w metalowym pręcie:

2. PRZEBIEG ĆWICZENIA

1. Włączamy obieg wody chłodzącej.

2. Za pomocą autotransformatora ustalamy napięcie zasilające nagrzewnicy

na 80 [V].

3. Uruchamiamy program angstrem.bat.

4. Po nagrzaniu nagrzewnicy nakładamy go na koniec badanego pręta i równocześnie rozpoczynamy rejestrację pomiarów. Wytwarzamy w pręcie okresowe zmiany temperatury poprzez nakładanie i zdejmowanie nagrzewnicy. Czas grzania i chłodzenia przyjmujemy 6 min.

5. Pomiary kończymy po wytworzeniu 4 cykli grzewczo - chłodzących.

6. Dane pomiarowe zapisane są w pliku pomiary.dat w 9 kolumnach zawierających, czas, temperaturę i błąd jej pomiaru dla kolejnych punktów pomiarowych.

7. Za pomocą odpowiedniego programu komputerowego rysujemy wykresy czasowych zmian temperatury poszczególnych punktów pręta.

8. Określamy przesunięcie czasowe fal temperaturowych Δt oraz ich amplitudy w poszczególnych punktach pręta oddalonych od siebie o Δl = 10 cm.

9. Obliczamy współczynnik przewodnictwa temperaturowego stosując dane dla kolejnych par punktów pomiarowych pręta.

10. Obliczamy średnią wartość współczynnika temperaturowego a następnie współczynnik przewodnictwa cieplnego według wzoru:

gdzie:

c_w - ciepło właściwe pręta

ρ - gęstość materiału pręta

3. WYNIKI POMIARÓW I OBLICZENIA

Wyniki przeprowadzonych pomiarów znajdują się na dyskietce.

Wykres czasowych zmian temperatury poszczególnych punktów pręta znajduje się na stronie 9.

Pręt wykonany jest z miedzi, dla której ciepło właściwe wynosi 0,4•10³ [ J / kg K ], natomiast gęstość materiału pręta jest równa 8,9•10³ [ kg / m³ ].

Pomiary i wykresy fal temperaturowych rejestrowanych przez termistor 4 odrzucamy w obliczeniach, gdyż nie ma charakteru sinusoidalnego.

W przypadku czujnika 3 mieliśmy do czynienia z chwilowym defektem który ujawnił się na wykresie w postaci przesunięcia wartości temperatury. To spowodowało, że do wyznaczania współczynnika zostały wykorzystane wskazania czujników 1 i 2 dla których nie ujawniły się błędy grube.

Przewodnictwo temperaturowe obliczymy na podstawie wyznaczonych wartości amplitudy fal i czasowego przesunięcia ich maksimów dla dwóch kolejnych wskazaniach temperatury z wykresów wyznaczonych dla czujników 1 i 2 korzystając z wzoru:

Natomiast błąd liczymy metodą różniczki zupełnej:

Gdzie:

l - odległość między 2 punktami pomiarowymi [m]

t₁ - czas osiągnięcia temperatury maksymalnej 1 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [s]

t₂ - czas osiągnięcia temperatury maksymalnej 2 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [s]

T₁ - wartość temperatury maksymalnej 1 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [K]

T₂ - wartość temperatury maksymalnej 2 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [K]

Korzystając z wyników przeprowadzonych przez komputer otrzymujemy następujące dane:

-dla pierwszego cyklu:

T₁= 316,58 ΔT₁= 0,20 t₁ = 389,09 Δt₁ = 0,01

T₂= 305,54 ΔT₂= 0,13 t₂= 594,07 Δt₂= 0,01

-dla drugiego cyklu:

T₁= 335,77 ΔT₁= 0,17 t₁ = 1117,07 Δt₁ = 0,01

T₂= 315,85 ΔT₂= 0,13 t₂= 1248,12 Δt₂= 0,01

-dla trzeciego cyklu:

T₁= 343,17 ΔT₁= 0,13 t₁ = 1836,10 Δt₁ = 0,01

T₂= 337,97 ΔT₂= 0,14 t₂= 1943,10 Δt₂= 0,01

-dla czwartego cyklu:

T₁= 347,81 ΔT₁= 0,14 t₁ = 2561,12 Δt₁ = 0,01

T₂= 325,01 ΔT₂= 0,14 t₂= 2650,15 Δt₂= 0,01

Natomiast l = 0,1 [m] Δl = 0,01 [m]

Wykorzystując program Excel obliczamy:

κ₁ = 0,00069 Δκ₁ = 0,00007

κ₂ = 0,00062 Δκ₂ = 0,00003

κ₃ = 0,00072 Δκ₁ = 0,000073

κ₄ = 0,00083 Δκ₂ = 0,000083

κ_śr = 0,000715 Δκ_śr = 0,000072

zatem:

κ = (7,15
0,72 )
10^-4 m²/s

Korzystając ze wzoru:

obliczamy współczynnik przewodnictwa cieplnego

λ
=2543,46 J m^-1 s^-1 K^-1

Błąd natomiast obliczamy ze wzoru:

Δλ = 256,685

a zatem

λ=(2,54
0,26)
10³ J m^-1 s^-1 K^-1

4.Wnioski

Na znaczny błąd badanej wielkości składają się przede wszystkim źle wyznaczone czasy osiągania maksimów temperaturowych a także same wartości temperatur maksymalnych. Wielkości te odczytane są przez komputer z dużym błędem. Nie mają wiec charakteru sinusoidalnie zmiennego a zatem nie są zgodne z założeniami ANGSTRÖMA.

Ponadto sama metoda nagrzewania była niedoskonała. Nagrzewanie było prowadzone za pośrednictwem nagrzewnicy nakładanej na badany materiał, odległość na jaką została umieszczona nagrzewnica w poszczególnych cyklach nie była ściśle wyznaczona, to spowodowało powstawanie niewielkich błędów, które ujawniły się dopiero podczas obliczeń.

Inna wada która ujawniła się dopiero po przeanalizowaniu otrzymanych wyników pomiarów to chwilowa usterka czujnika nr 3. Ponieważ nie było pewności co do prawidłowości wskazań z tego czujnika wyniki pomiarów z niego nie zostały uwzględnione podczas wyznaczania współczynnika przewodnictwa cieplnego z ciał stałych metodą ANGSTRÖMA.

---