Filtr Hilberta

Filtr Hilberta ma następującą reprezentację w dziedzinie częstotliwości:

, co przedstawia rysunek:

.

Filtr nie zmienia amplitudy sygnału, ponieważ H(w)=1. Nie tłumi on również sygnału, lecz przesuwa wszystkie częstotliwości w fazie o �1/2
.
Transformaty Hilberta sinusa i cosinusa:
,

SSB - widmo

Modulacja jednowstęgowa, jak sama nazwa wskazuje jest przenoszona za pomocą tylko jednej wstęgi bocznej. Dzięki temu przenosi tą samą informację co modulacja dwuwstęgowa a zajmuje mniejsze pasmo, które ma taką samą szerokość jak sygnał modulujący, ponieważ występuje tutaj tylko jedna wstęga boczna.

Sygnał wstęgi górnej:

sygnał wstęgi dolnej:

gdzie: k - współczynnik proporcjonalności, x(t) - sygnał modulujący;

Jak widać z powyższych wzorów sygnał SSB-SC dla jednej wstęgi bocznej składa się z dwóch części, które są sygnałami wzajemnie ortogonalnymi. Dotyczy to zarówno sygnałów modulujących x(t) jak i sygnałów modulowanych o częstotliwości nośnej. Sygnały SSB-SC można traktować jako złożenie dwóch sygnałów DSB-SC, w których jeden jest modulowany sygnałem x(t) a drugi sygnałem ortogonalnym do x(t).

Widmo sygnału SSB-SC przedstawia się następującym wzorem (kolejno dla sygnału z wstęgą górną i dolną):
oraz


gdzie S_x(
) jest widmem sygnału modulującego, a
- częstotliwością nośną.
Moc sygnału SSB-SC jest dwukrotnie większa niż moc sygnału modulowanego dwuwstęgowo (DSB-SC) i wynosi:

Sygnał SSB-SC można również przedstawić w takiej postaci:

, gdzie kąt
określa przesunięcie fazowe między wektorami sygnałów modulujących.
Jak widać ze wzoru, obwiednia takiego sygnału nie jest proporcjonalna do sygnału modulującego, a kąt fazowy nie jest proporcjonalny do czasu, co powoduje, że częstotliwość chwilowa sygnału ulega ciągłym zmianom.

Interesującym przypadkiem modulacji SSB-SC jest modulacja tonowa tj. sygnałem harmonicznym, który posiada w widmie częstotliwości tylko jeden prążek. Jeżeli sygnały modulujące mają postać:

,
to w ogóle nie występują tutaj zmiany amplitudy sygnału zmodulowanego, który jest sygnałem harmonicznym o częstotliwości
±
_m.
.

Metoda filtrowa

Sygnał pierwotny modulowany jest falą sinusoidalną o częstości kołowej
. (Wynikiem tej operacji jest powstanie sygnału DSB-SC). Otrzymany w ten sposób sygnał wprowadzany jest na wejście filtru pasmowo przepustowego, który usuwa jedną ze wstęg.




Modulacja wymaga zastosowania idealnego filtru, które w rzeczywistych układach nie istnieją. Odfiltrowanie to realizujemy wykorzystując filtr środkowoprzepustowy, zatem dla układu generującego sygnał SSB musimy spełnić trzy podstawowe wymagania:

• pożądana wstęga boczna leży wewnątrz pasma przepustowego filtru

• eliminowana wstęga boczna leży wewnątrz pasma zaporowego tego filtru

• zakres przejściowy, oddzielający pasmo przepustowe od pasma zaporowego, jest dwa razy większy od najniższej częstotliwości sygnału modulującego.

Metoda fazowa

W metodzie fazowej wykorzystywany jest filtr Hilberta (filtr kwadraturowy FK). Metoda fazowa polega na podziale sygnału wejściowego na dwie części: sygnał x(t), oraz sygnał przechodzący przez filtr Hilberta x�(t). Pierwszy z nich mnożymy przez sygnał
, drugi zaś przez sygnał
. Otrzymane w ten sposób sygnały sumujemy i otrzymujemy sygnał SSB-SC.
W metodzie tej sygnał modulujący jak i modulowany o częstotliwości nośnej są poddawane przesunięciu w fazie o -90°.
Otrzymane sygnały są następnie ze sobą sumowane zgodnie ze wzorem na postać ogólną sygnału zmodulowanego SSB. Sytuację tę przedstawia poniższy rysunek.


W rozwiązaniach praktycznych nie jest możliwe uzyskanie idealnego przesunięcia w fazie dla wszystkich częstotliwości jednakowo. Zatem problem ten występuje zawsze, gdy sygnał modulujący posiada pewne widmo składające się z różnych częstotliwości. Dla sytuacji modulacji tonowej mamy tylko jeden prążek w widmie i problem ten nie występuje.