R o z d z i a ł 1
WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII BŁĘDÓW
W ZASTOSOWANIU DO OBLICZEŃ I POMIARÓW
1.1. METODY OBLICZEŃ W ŚWIETLE POTRZEB GEODEZYJNYCH.
Geodezja jako nauka o Ziemi zawiera w sobie szereg dyscyplin towarzyszących. Dyscypliny te wyrosły na bazie potrzeb nauki i techniki w formie samoistnych działów, które w programie dydaktycznym stanowią odrębne przedmioty. Jeżeli dla jakiegokolwiek pomiaru podstawowym warunkiem jego realizacji są instrumenty do pomiaru wg określonej metody, to sposób poprawnego opracowania tych wyników wymaga znajomości metod liczenia. Wyniki pomiaru pewnych wielkości wchodzą zwykle w skład danych liczbowych do funkcji określanych nie zawsze wprost, ale najczęściej w formie pośrednich rozwiazań. Również możliwość wielokrotnego rozwiązania zadania wymaga wprowadzenia uzasadnionych ograniczeń. Właśnie ten dział geodezji, bazujący głównie na wykonywaniu dużej ilości obliczeń związanych z obserwacjami, musiał się szczególnie rozwinąć dla zaspokojenia potrzeb, wprowadzając do numerycznego opracowania wyniku eksperymentu wiele nowych technik rachunkowych.
We wszystkich dociekaniach eksperymentalnych mamy do czynienia z wartościami przybliżonymi. Dokonując jakiegokolwiek pomiaru, na przykład mierząc powierzchnię skrzydła samolotu odpowiednim przyrządem, otrzymujemy na ogół wynik przybliżony, o czym można się przekonać powtarzając pomiar. Wynikiem takiego pomiaru są wartości liczbowe, które wobec nie znanej wartości rzeczywistej są liczbami przybliżonymi. Podobnie, dokonując złożonych operacji rachunkowych na liczbach uzyskanych z pomiarów, otrzymujemy również wynik przybliżony. Od właściwego doboru stopnia przybliżenia użytych liczb zależy uzyskany wynik, a zarazem bezpośrednie źródło poznania określonych wielkości fizycznych. Rachunki wykonywane na liczbach przybliżonych nie mogą bowiem mieć większych dokładności, niż na to pozwala dokładność danych.
Opracowywane wyniki pomiarów, jako oparte na działaniu z liczbami przybliżonymi, należą do numerycznego opracowania danych liczbowych. Mimo że obecnie coraz częściej sięga się do doskonalszych narzędzi, jak elektroniczne środki obliczenowe, to nie zawsze jest pożądane czy możliwe, aby uruchamiać tak skomplikowane narzędzia rachunków. Dlatego konieczne jest zaznajomienie się również z prostymi, lecz często bardziej dostępnymi i praktyczniejszymi metodami techniki obliczeniowej.
Technika obliczeniowa na liczbach przybliżonych daje wprawdzie wyniki przybliżone, które jednak w pewnych fazach opracowania albo wystarczają, albo pomagają w wyszukiwaniu dokładności wartości.
Obliczenia są częścią procesu goedezyjnego i przedstawiają pewnego rodzaju zadanie matematyczne, w którym jako dane najczęściej występują wielkości pochodzące z pomiarów. Na ich podstawie wyznacza się wartości wielkości nieznanych, związanych z danymi przez ściśle określone zależności matematyczne.
Podobnie jak w matematyce, każde zadanie geodezyjne może być rozwiązane liczbowo (analitycznie, rachunkowo) lub rysunkowo (graficznie). W określonych warunkach sposoby graficzne, zwłaszcza półgraficzne, dostarczają wyników dostatecznie dokładnych i dlatego w praktyce posługujemy się nimi z dużym pożytkiem. Większość zadań geodezyjnych rozwiązuje się jednak liczbowo, zwłaszcza przy obecnym rozpowszechnieniu elektronicznych środków obliczeniowych.
Wydajność pracy i dokładność wyników zależy od warunków, w jakich wykonuje się obliczenia, tzn. na stanowisku roboczym w terenie, w samochodzie sztabowym w miejscu pomiaru, czy też w pracowni obliczeń, jak równeż od środków użytych do obliczeń. Wydajność pracy zależy nie tylko od mniej lub więcej zautomatyzowanego sposobu obliczeń, ale również od technicznego przygotowania rachmistrza, jego podejścia do pracy, systematyczności i skrupolatności oraz przestrzegania ustalonych zasad, które postaramy się omówić.
1.1.1. Zasady ogólne
Przed przystąpieniem do obliczeń rachmistrz powinien dokładnie zapoznać się z zadaniem i ustalić sobie tok pracy. Jeżeli nasuwa się jakaś wątpliwość, powinien zajrzeć do podręcznika i przypomnieć sobie teoretyczną stronę zagadnienia.
Kolejność obliczeń najlepiej jest ująć w odpowiedni schemat (wzór, formularz) rachunkowy, który daje tę korzyść, że całość obliczeń jest przejrzysta oraz ułatwia sprawdzenie i korzystanie z danych w dalszej fazie robót lub przy późniejszych pomiarach. Dobrze opracowany formularzz ułatwia też prawidłowe i bezbłędne wykonywanie obliczeń, a więc przyczynia się do zwiększenia wydajności pracy.
W wyniku obliczeń geodezyjnych musimy otrzymać wartości wolne od błędów rachunkowych. Bezbłędne liczenie wymaga jednak, obok pewnych uzdolnień rachmistrza i nabytej przez niego wprawy, również należytej znajomości związków istniejących między wielkościami danymi i szukanymi, znajomość ta umożliwia bowiem kontrolowanie obliczeń we właściwym czasie. Jeżeli w toku obliczeń zauważy się jakieś niezgodności, to trzeba zaraz szukać błędu, bo może się rozszerzyć zakres obliczeń poprawkowych i zmarnuje się wtedy więcej czasu.
Warunkiem nieodzownym do zredukowania ilości omyłek jest posługiwanie się w obliczeniach cyframi czytelnymi. Należy też uważać na porządkowe i ujednolicone pisanie liczb, tzn. na pisanie ich odpowiednio co do miejsca jednych pod drugimi oraz dzielenie liczb wielocyfrowych na znormalizowane grupy. Obliczenia powinny być prowadzone od razu na czysto, przepisywanie bowiem jest dodatkowym źródłem omyłek.
Ważnym zagadnieniem jest właściwa dokładność obliczeń. Używanie wielu cyfr bezużytecznie komplikuje pracę, często nie dając w zamian żadnych korzyści w postaci lepszych wyników. Ponadto, taka czy inna dokładność obliczeń powinna być dostosowana do potrzeb praktycznych.
1.1.2. Pisownia liczb
Dla zmniejszenia możliwości popełnienia błędów rachunkowych powinno się liczby pisać jednolicie, w sposób uporządkowany, nie zaniedbując tej zasady również przy obliczeniach pomocniczych.
Do oddzielenia cześci ułamkowej od liczby całkowitej używa się przecinka, umieszcza się go u podstawy ostatniej cyfry liczby całkowitej, na przykład 426,34. Jeżeli dla jasności chcemy podać, że jest to liczba mianowana, to odpowiedni symbol pisze się za ostatnią napisaną cyfrą, na przykład 38,8 cm albo 0,388 m. Ta sama zasada obowiązuje też przy pisaniu wartości kątów w układzie dziesiętnym (gradowym), na przykład 125,489g. W przeciwiństwie do tego, wartości kątów wyrażone w starym podziale koła, ponieważ chodzi tu o układ sześćdziesiątkowy (a nie dziesiętny), pisze się w grupach danego rodzaju, a więć 1050645,5.
Często występują liczby stanowiące mały ułamek, na przykład arc 1 = 0,000 001 570 796. Dla skrócenia pisowni piszemy wtedy tylko cyfry znaczące, traktując pierwszą z nich jako liczbę całkowitą i za pomocą kropki w środkowej wysokości cyfr zaznacza się mnożenie przez 10 z wykładnikiem ujemnym wyrażającym liczbę opuszczonych zer. Tak więc mamy arc 1 = 1,570796 10-6.
Jeżeli chce się zaznaczyć, że ostatnia cyfra danej liczby nie jest już pewna, to pisze się ją w mniejszej wysokości lub obniżoną, na przykład 4678.
Dla większej czytelności i łatwiejszego zachowania porządkowanej pisowni, należy liczby wielocyfrowe pisać w grupach trzycyfrowych, licząc od przecinka w lewą i prawą stronę. Na przykład: 3,141 592 653 6; 6 366,197 72; 1 000 000.
Grupy oddziela się między sobą małymi przerwami (spacjami) i nie wolno w tym celu używać kropek. Jeżeli do obliczeń lub wykazów używa się gotowych druków, posiadających liniaturę pionową, pisze się poszczególne grupy w odpowiednich kolumnach. W wykazach kątów lub powierzchni stosuje się kolumny oparte na wyjątku, bowiem stopnie, minuty i sekundy, podobnie jak hektary, ary i metry kwadratowe, stanowią odrębne grupy znaczeniowe.
1.1.3. Sprawdzenie obliczeń
Sprawdzenie obliczeń polega na otrzymaniu tych samych wyników drogą niezależnego rachunku różnymi metodami (np. raz analitycznie, drugi raz graficznie), przy czym oba obliczenia mogą być wykonane przez tego samego wykonawcę albo też wykonują je niezależnie dwaj wykonawcy na tzw.„dwie ręce”, posługując się tymi samymi wzorami lub odpowiednio przekształconymi, co oczywiście jest pewniejsze. Nie są to jednak jedyne sposoby uzyskiwania prawidłowych wyników, można bowiem w pełni zabezpieczyć się przed błędami nie rozwiązując zadania dwukrotnie, lecz stosując odpowiednie kontrole wewnętrzne i szereg kontrolnych czynności pośrednich.
Przed grubymi błędami, powstałymi np. na skutek przyjęcia niewłaściwych danych, powstania przed liczbą błędnego znaku, omyłkowego umieszczenia przecinka itp., ustrzeże nas bardzo dobre sprawdzenie wyniku na rysunku lub wykresie, a nieraz nawet zwykłe szacowanie.
Ze względu na wyjątkowe znaczenie, jakie posiada stałe zabezpieczenie się przed błędami, w rachunkach geodezyjnych wykrystalizowały się pewne sposoby kontroli i pewne typy sprawdzianów. Jednym sposobem kontroli jest dwukrotne niezależne rozwiązanie całego zadania (od początku do końca) przez jednego rachmistrza, a w pewnych wypadkach na „dwie ręce”. Inny sposób kontroli polega na tym, że zadanie rozwiązuje się tylko jeden raz przy stosowaniu szeregu sprawdzianów wewnętrznych, a druga osoba, sprawdza dokładnie pierwszy etap pracy, mianowicie przyjęcie właściwych danych i poprawne ułożenie zadania oraz pewne decydujące etapy. Niekiedy sam wykonawca może uzyskać kontrolę zupełną, jeżeli po zakończeniu obliczeń podstawi otrzymane wartości końcowe do zależności wyjściowych.
5