Ułamki egipskie
Matematyczne Wypracowania
UŁAMKI EGIPSKIE
Wieskubi
Tak podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczba czy najprostsze - figury geometryczne, powstały na długo przed pojawieniem się tekstów matematycznych. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane, znane obecnie, zachowały się mniej więcej z początku drugiego tysiąclecia p.n.e. Na ten okres przypada rozkwit dwóch wielkich cywilizacji starożytnego Wschodu - Egiptu i Babilonu.
Starożytny Egipt (IV tysiąclecie p.n.e. - 641 n. e.), to kraj o bardzo wyraźne wytyczonych granicach. Tworzyła je wysychająca Sahara na zachodzie, Morze Śródziemne i Morze Czerwone prawie odcinały go z północy i wschodu, skalisty Punt, czyli pogranicze Sudanu i Etiopii, stanowiły granicę południową.
Takie położenie geograficzne sprawiało, że był on mniej narażony na najazdy. Wylewający po dziś dzień mulisty Nil, który odnawiał płodność gleby, umożliwiał wysoki poziom i rozwój rolnictwa na tamtych terenach. W związku z tym, życie w starożytnym Egipcie przede wszystkim skupiało się tuż nad brzegami rzeki. Występowało tam największe, w owych czasach, nagromadzenie ludności. Dlatego więc organizacja państwowa była w Egipcie bardziej potrzebna niż gdziekolwiek indziej.
Na czele państwa stał król (faraon) - „bóg o władzy absolutnej” (według religii starożytnego Egiptu). Państwo rządzone było przy pomocy urzędników, zaś ziemię uprawiali chłopi.
Silni władcy prowadzili zwycięskie wojny. Kraj rozwijał się w pokoju. Ludność, zorganizowana w kilkudziesięcioosobowe brygady, nie mające stałego miejsca pobytu, całkowicie dyspozycyjna, pozwalała na podejmowanie przez państwo nawet niesłychanie ambitnych przedsięwzięć. Prowadzono duże roboty publiczne, jak na przykład budowa piramid w Gizie i Sakkara, dające w czasie wylewów Nilu zatrudnienie licznym robotnikom. Najbardziej znanymi budowami jest budowa piramidy Dżesera (pierwsza), która powstała około roku -2650 oraz największej piramidy Cheopsa, wybudowanej niecałe sto lat później.
Wyprawy na Synaj i do Libii powodowały, że rosła liczba rzemieślników i kupców. Rozwijały się różne dziedziny nauki: matematyka, a szczególnie geometria i miernictwo, astronomia (w związku z potrzebą określenia pór wylewów Nilu, kreślenia map nieba), medycyna (chirurgia i ziołolecznictwo), technika i mechanika (budownictwo, irygacja) oraz literatura.
Historię Starego Państwa znamy jedynie w zarysie. Gdzieniegdzie można też znaleźć informacje na temat powstawania i rozwoju różnych dziedzin nauki.
Jeśli chodzi o matematykę Wczesnego i Starego Państwa, to nie wiemy prawie nic. Zachowały się tylko liczbowe zapisy, a nawet rysunki na kamiennych płytach i ścianach. Większa część tekstów matematycznych, które zachowały się w zabytkach starożytnego Egiptu, pisana była na papirusie (papierze wyrabianym z łodygi rośliny o tej samej nazwie). Nasze podstawowe informacje o staroegipskiej matematyce odnoszą się do jednego okresu i nie jesteśmy w stanie pokazać, jak w dawnej cywilizacji rozwijała się ona w ciągu swych dziejów.
Mimo to naukowcom udało się zagłębić w tajnikach egipskich liczb. Sposób przydzielania ziemi do obróbki brygadom świadczy o wprowadzeniu tam pojęcia gabarytu. Oznacza to, że wzór (pole podstawy x wysokość) był uznany za dobry zarówno dla prostokąta jak i trójkąta.
Wynalazek pisma ideograficznego (każdemu pojęciu odpowiada hieroglif - obrazek, rzeźbiony święty znak) dał początek w starożytnym Egipcie piśmiennictwu. Pismo ideograficzne wykluczało nawet namiastki systemu pozycyjnego.
Nie warto byłoby się zajmować pismem egipskim, jako bardziej prymitywnym od babilońskiego, gdyby nie fakt, że miało ono konsekwencje w rozwoju arytmetyki. Dorysowanie na przykład znaku owalu (rot-część) obok, lub nad hieroglifem oznaczającym liczbę, powodowało, że należało go odczytać jako odwrotność.
Tak na przykład hieroglif:
należało odczytywać jako 1/20. Innymi słowy, owal nad hieroglifem oznacza to samo, co dziś wykładnik -1.
Hieroglif:
należało odczytywać jako 1/12. Nie należy przy tym uważać dwu pałeczek za jednostki towarzyszące znakowi dziesiątki. Hieroglif jest niepodzielny i użycie akurat w tym znaku dwu pałeczek jest przypadkiem.
Egipcjanie ryli lub rzeźbili swoje znaki dłutem i młotkiem na kamiennych pomnikach lub rysowali je na odłamkach skał, na skorupach garnków lub na liściach papirusu, za pomocą trzciny ze zgniecionym końcem, umoczonej w barwiącej materii.
Starożytni Egipcjanie znali i stosowali wielkie liczby. Egipski system numeracji pozwalał wyrażać liczby przekraczające milion. Istniały specjalne hieroglify do oznaczania jedności i kolejnych potęg dziesiątki, aż do siódmej włącznie.
W bardzo starym mieście Hierakonpolis, na lewym brzegu Nilu, około 100 km od pierwszej katarakty, znaleziono buławę z kilkoma napisami. Jest to jedno z najstarszych znanych świadectw archeologicznych hieroglificznego pisma i numeracji egipskiej. Buława należał do Narmera, króla, który zjednoczył Dolny i Górny Egipt około roku 2900 p.n.e. Oprócz imienia Narmera, napisanego fonetycznie, na głowie buławy wypisane są liczby odpowiadające ilości sztuk bydła (rogatego) i ilości jeńców, rzekomo przywiezionych przez władcę z jego zwycięskich wypraw. Te obliczenia, zapewne wysnute z fantazji, na chwałę króla Narmera, odczytuje się w ten sposób: 400 000 byków (bydła rogatego), 422 000 kóz, 120 000 jeńców.
Warto dodać, że podobny jak na buławie zapis umieszczony został również na pomniku, wystawionym dla uczczenia zwycięstwa wojsk egipskich nad nieprzyjacielem.
Jak już wspomniano, Egipski system zapisywania liczb oparty był na liczbie 10, która stanowiła podstawę. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 aż do potęgi 7 włącznie istniały specjalne znaki.
10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1
Sn HH Hfnw Dba xA St mDw Wa
Cyfra 1 mogła być symbolem graficznym pałeczki, tyczki do mierzenia, niegdyś używanej jako jedność. Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9.
Znak 10 - będący prawdopodobnie symbolem pęta do krępowania krów, przypominał podkowę lub odwrócone duże U. Cyfra 10 mogła powstać również z rysunku sznurka, którego niegdyś używano do wiązania tych pałeczek w wiązki po 10 lub krępowania krów. Pisownia egipska mogła potem ten rysunek przedstawić w kształcie odwróconego dużego „U”.
Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do odmierzania pól, spiralę, albo jak niektórzy twierdzą laskę kapłańską.
Znak dla 1000 przedstawiał kwiat (pęd) lotosu, symbol Nilu, któremu Egipt zawdzięcza swe istnienie. Warto wspomnieć, że dawniej znak ten oznaczał „bardzo dużo”.
Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba. Liczba 100 000 była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach.
Znak 1 000 000 przedstawia postać człowieka w stanie ekstazy, z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga (Hek) podtrzymującego sklepienie niebieskie, symbol „nieskończoności”, lub „wszystkiego”.
Liczbę 10 000 000 oznaczano podkreślając koło, słońce.
Oto przykłady zapisu cyfr:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 1000 10000 100000 1000000 1000000
Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczające jedności, dziesiątki, setki itd. Pisano tyle razy, ile było w danej liczbie jedności w odpowiednich rzędach, przy czym rzędy pisano w porządku odwrotnym do naszego (starożytni Egipcjanie pisali od prawej ręki do lewej).
Liczby, miary i wagi, którymi posługiwali się starożytni Egipcjanie:
Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, nie potrafimy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie - kiedy odkryto ułamki? Dorysowywanie owalu nad hieroglifem, było chyba jednak początkiem ułamków. Z całą pewnością wiadomo, że najwcześniej poznanymi spośród wszystkich ułamków są połowa i ćwierć. Świadczyć o tym może odkrycie, którego dokonała, na terenie Górnego Egiptu (dzisiejszy Luxor), pewna europejska ekspedycja naukowa w połowie zeszłego stulecia. W ruinach starożytnych Teb, miasta będącego swego czasu stolicą Egiptu, znaleziono drogocenny papirus. Papirus ten, zwany „papirusem Rhinda” (od nazwiska oficera angielskiego, który nabył go na własność w 1858r.), o wymiarach 5,25 m X 33 cm, zawierający 84 zdania, w 1877 roku wydano w tłumaczeniu drukiem.
Zaczyna się on od słów:
„?Przepis do osiągnięcia poznania wszelkich rzeczy ciemnych... wszelkich tajemnic, które są zawarte w przedmiotach. Ułożona była ta księga w roku 33, Mesori dnia... za króla Górnego i Dolnego Egiptu RA-A-US życie dającego, według wzoru starych pism, które wygotowane były za czasów króla (RA-EN-M-A'T). Oto pisarz Ahmes pisał kopię tę”.
Ten przeszło 5-m długości i około 30 cm szerokości, zapisany czarnym i czerwonym tuszem (tzw. hieratyką, tj. pismem stosowanym w życiu codziennym na papirusach) dokument uznany został za najstarszy dokument matematyczny świata. „Sposoby do poznania wszelkich tajemnic”, o których pisał Ahmes, zawierały wiele bardzo ciekawych informacji o matematyce egipskiej. Dzisiaj powiedzielibyśmy, że papirus Rhinda zawierał pewien usystematyzowany materiał w formie wykładu z matematyki. Zadania są w nim sklasyfikowane nie według metod (na przykład, zadania na proporcje, równania liniowe itd.), lecz według tematów.
Dla nas najbardziej interesująca jest część dokumentu, zajmująca się ułamkami, które nieraz sprawiają tyle kłopotu uczniom szkoły podstawowej, a znane były już w starożytnym Egipcie na kilka tysięcy lat przed naszą erą.
licznik
mianownik
Egipcjanie, ze względu na łatwość zapisywania, używali jedynie ułamków prostych (tak nazywa się odwrotność liczb naturalnych). Pozostałe ułamki przedstawiali jako sumy różnych, koniecznie prostych ułamków. Największą trudność sprawiał przypadek dzielenia z resztą.
Kiedy Egipcjanie w swych obliczeniach posługiwali się ułamkami, zawsze zakładali, że licznik jest równy jedności, natomiast mianownik ulega zmianie (tak zwane ułamki alikwotne). W ten sposób dysponowali faktycznie wszystkimi liczbami wymiernymi (liczba wymierna jest sumą liczby całkowitej i skończonej liczby różnych ułamków prostych).
Należy jednak zaznaczyć, że najważniejszym zagadnieniem, do którego sprowadzała się niemal cała arytmetyka egipska, było dążenie do rozkładu ułamków na sumę różnych ułamków alikwotnych o licznikach równych jedności.
Bardziej złożone ułamki Egipcjanie wyrażali, zatem jako sumę ułamków z jedynką w liczniku. Tak na przykład ułamki złożone przedstawiano jako:
3 1 1
--- = --- + ----
4 2 4
5 1 1
--- = --- + -----
12 3 12
3 1 1 1
--- = --- + ---- + ----
7 4 7 28
4 1 1 1
--- = --- + ---- + ----
5 2 5 10
W technice rachunkowej starożytnego Egiptu powstał teoretyczno-liczbowy problem rozkładu ułamków na sumę ułamków alikwotnych. Zadanie to nie mające jednoznacznego rozwiązania, Egipcjanie rozwiązali empirycznie, w kilku etapach. Sprowadzało się ono do ułożenia tablicy kanonicznych (ogólnie przyjętych porządków) rozkładów dla ułamków 2/n, ponieważ przy dzieleniu podstawowym działaniem było podwajanie. Od takiej właśnie tablicy zaczyna się wspomniany już papirus Rhinda.
Rozkłady od n=3 do n=101 kryją, jak milczący sfinks, tajemnicę drogi, na której je otrzymano. Nad rozwiązaniem tej egipskiej zagadki pracowało wielu uczonych. Idąc śladami wywodów B.L. Van der Waerdena pisarze musieli poznać na pamięć najprostsze rozkłady, które występowały na każdym kroku. W tekstach stosowano je bez osobnych wyjaśnień:
1 1 1
--- + --- = ----
6 6 3
1 1 1 1
--- + --- + ----- = ---
6 6 6 2
1 1 2
--- + --- = ----
3 3 3
1 1 1
--- + --- = ----
3 6 2
1 1 1
--- + --- + ---- = 1
2 3 6
Są to wszystko najprostsze ułamki, a działania na nich były równie dobrze znane jak działania na liczbach całkowitych. Stąd za pomocą prostych kombinacji mogli oni wyprowadzić następujące zależności:
2 1 1
--- = --- + ----
3 2 6
1 1 2 1
--- + --- = ---- +---
2 3 3 6
2 1 1
--- + --- = ---- + 1
3 2 6
Jak świadczą zadania zawarte w skórzanym zwoju, przechowywanym w Londynie i pochodzącym w przybliżeniu z XVIII-XIX wieku p.n.e., wyrażenia dzieli się przez 2, 3, 4 i otrzymuje się następną serię rozkładów.
Bardzo ważny jest wzór:
2 1 1
--- = --- + ----
3 2 6
Od niego zaczyna się faktycznie tworzenie tablicy rozkładów kanonicznych z podwajaniem ułamków:
1 1 1 1 2 1 1
--- + --- = ---- + --- (to samo co --- = --- + --- )
3 3 2 6 3 2 6
1 1 1 1
--- + --- = ---- +----- (podzielono przez 3)
9 9 6 18
1 1 1 1
---- + --- = ---- + ----- (podzielono przez 5) , itd.
15 15 10 30
Ta część tablicy, jak jednogłośnie uznają wszyscy badacze, jest najstarsza. Pozostaje zgłębić rzecz najważniejszą: ogólny przypadek rozkładu ułamka na ułamki proste.
Okazuje się, że trzeba po prostu podzielić 2 przez n. Dla nas taki wniosek jest bardzo prosty, zaś dla staroegipskiego rachmistrza był to genialny domysł.
Tak właśnie postępował rachmistrz w swej tablicy poczynając od n=11. Przy tym dzielenie przez 5, 9, 11, 17, 23, 29 wykonywano za pomocą wielu ułamków zaczynających się od ciągu 2/3, gdzie 2/3 było ułamkiem naturalnym, tradycyjnym. Dzielenie przez 7, 13 wykonywano za pomocą ułamków zaczynających się od ciągu 2.
Podobnie jak współcześnie, Egipcjanie posługiwali się do zapisu ułamków tymi samymi znakami hieroglificznymi, co do wyrażania liczb naturalnych.
Jak już wspomniano wcześniej, celem odróżnienia zwykłej liczby od ułamka, nad lub obok zapisu określającego wartość mianownika umieszczano hieroglif - obrazek .
Dzielenie m : n Egipcjanie czasem przedstawiali jako mnożenie liczby razy odwrotność liczby.
Ułamek 1/3 w zapisie hieroglificznym wyglądał na przykład następująco:
Natomiast ułamek 1/30 następująco:
Oprócz ułamków z jedynką w liczniku, Egipcjanie używali ułamka 2/3, który stanowił wyjątek. Posiadał on własny znak hieroglificzny postaci:
Pojawienie się ułamków alikwotnych jest wielce charakterystyczne dla początkowego rozwoju pojęcia liczby w starożytnej cywilizacji. Ułamki alikwotne typu 1/n są pierwszymi ułamkami algorytmicznymi. Dalszym etapem rozwoju liczby wymiernej było wprowadzenie do użytku tych części jako m liczb całkowitych, tzn. interpretacja ułamka m/n jako liczby całkowitej mianowanej. W matematyce staroegipskiej rozwój nie poszedł jednak dalej poza te ułamki podstawowe, zwane ułamkami egipskimi.
Oprócz przedstawionego zapisu w starożytnym Egipcie funkcjonował jeszcze jeden system. Oparty był on na potężnym znaku oka boga-sokoła Horusa (według mitologii pociętego przez Seta), symbolizującym ochronę oraz życie.
Znak oka boga-sokoła Horusa tworzył całość składającą się z sześciu części. W całości przedstawiany był za pomocą jednego znaku hieroglificznego:
System oparty na przedstawionym znaku nazwany został systemem ułamkowym „Oko Horusa”. Stosowany był przez starożytnych Egipcjan w receptach oraz przy odmierzaniu gruntów i zboża. Każdy z elementów symbolu reprezentował inną wartość ułamkową. Dla uzyskania ułamka dodawano do siebie odpowiednie fragmenty symbolu.
Wartości ułamkowe poszczególnych elementów „Oka Horusa”:
1/8
1/4
1/2 1/16
1/64 1/32
Ułamki te w sumie dają tylko
63
------
64
Zamiana dowolnego ułamka na sumę ułamków prostych, którą nazywamy dzisiaj rozkładem, odbywała się poprzez stosowanie odpowiedniego algorytmu. Po oddzieleniu części całkowitej należało odejmować największy spośród mniejszych ułamków prostych. Przy tej operacji licznik reszty maleje, a więc operacja ma skończoną wartość.
Oto przykład zastosowania opisanego algorytmu rozkładu na ułamki proste:
9 1 27 - 19 8
--- - --- = ---------- = ----
19 3 57 57
8 1 64 - 57 7
--- - --- = --------- = ------
57 8 456 456
7 1 462 - 456 6 1
----- - ---- = ------------ = ---------- = --------
456 66 30 096 30 096 5016
czyli
9 1 1 1 1
--- = --- + --- + ----- + -------
19 3 8 66 5 016 .
Warto zauważyć, że rozkład na ułamki proste nie jest jednoznaczny. Świadczy o tym choćby równość:
1 1 1
--- = --- + ---
2 3 6 .
Egipcjanie posiadali tablice rozkładów liczb 2/n na ułamki proste, a dla ułamka 2/3 przyporządkowany był, jak już wspomniano, oddzielny hieroglif. Arytmetyka, przy tak określanych ułamkach była rzeczą niesłychanie pracochłonną. Z papirusu Ahmesa odczytać można na przykład zadanie stawiane ówczesnym uczniom:
Podziel 100 bochenków pomiędzy 5 osób tak, by ich przydziały tworzyły ciąg arytmetyczny i żeby 1/7 liczby bochenków chleba otrzymanych przez pierwszych trzech była równa liczbie bochenków chleba otrzymanych przez ostatnich dwóch.
Nawet dzisiejszymi metodami rozwiązanie będzie żmudne. Należy pochylić czoło nad pracowitością ówczesnych uczniów.
Matematyka w starożytnym Egipcie stanowiła zespół wiadomości, jeszcze nie rozczłonkowanych na arytmetykę, geometrię, algebrę, i była przede wszystkim zbiorem przepisów na liczbowe rozwiązanie najprostszych zadań arytmetycznych, algebraicznych i geometrycznych. Problemy, z jakimi stykali się egipscy pisarze, były przeważnie praktyczne. Wiele rozwiązań znajdowano drogą prób, po omacku. Nic, więc dziwnego, że były one niezręczne i wymagały przezwyciężenia większych trudności, które przy innym może sposobie może nie występowałyby. Przykładem są tu działania na ułamkach.
Matematyka starożytnego Egiptu, ułamki egipskie miały wpływ na dalsze losy nauki. Sami Grecy opowiadali przecież, że wiele podstawowych wiadomości nabyli w czasie pobytu w Egipcie. Zgodnie z opinią większości uczonych stwierdzić dzisiaj możemy, że geometria odkryta została w Egipcie, a początek swój miała w mierzeniu pól, zaś rozwój ułamków sięga swymi korzeniami do ułamków egipskich.
Literatura:
1. Marek Kordos Wykłady z historii matematyki, WsiP Warszawa 1994.
2. Georges Ifrah Dzieje Liczby, czyli historia wielkiego wynalazku, Zakład Narodowy im.
Ossolińskich, Warszawa 1990.
3. Paul Johnson Cywilizacja Starożytnego Egiptu, Wydawnictwo 69, Warszawa 1997.
4. Asger Aaboe Matematyka w starożytności, PWN 1968.
5. Historia Matematyki pod red. A.P. Juszkiewicza