ciagi szeregi, Ściągi dla studentów, Matematyka


Def. Ciąg funkcyjny:

Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.

Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:

Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limnfn(x)-f(x) lub fn(x) ne→ f(x) ⇔ Λε>0 ΛxΑ Vs Λn>s. fn(x)- f(x)<ε oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Λfn(x) A⇒f(x) ⇔ Λε>0 Vδ ΛxA fn(x)- f(x)<ε

Dla zb. zwykłej liczba δ ma istnieć dla każdego ε>0 i x∈A

Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A

Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła

[fn(x) A⇒ f(x)] ⇒ [fn(x) e→ f(x)]

Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą

Warunek Cauche'go:

Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λε>0 Vr że Λn>r zachodzi [fn(x) - fr(x)]<ε

-Szereg geometryczny:

Saqn-1 lub Saqk

1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0

2. Jeżeli a≠0 to szer. geom.

-dla q<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q

-dla q≥1 szer. geom. rozb.

-Szereg Dirchleta: S1/na , a∈R, dla α>1 sz zbieżny; dla a ≤1 sz rozbieżny.

-Szereg naprzemienny: Szereg Σ(-1)n+1an, gdzie an>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.

Def. Zbieżność szeregu liczbowego:

Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim Sn =S ; S- suma szeregu.

Def. Równość szeregów:0x01 graphic

Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.

Def. Iloczyn przez liczbę:0x01 graphic

Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu Σak pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg: 0x01 graphic

który nazywamy n - resztą szeregu Σak .

Tw. Jeżeli szeregi Σan; Σbn są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S1 i S2 to Σ(an+ bn ) i Σ(kan) wynoszą odpowiednio S1+S2 i kS1 .

Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:

Jeżeli szereg Σan jest zbieżny, to lim an=0

Dowód:

an=Sn-Sn-1 ; lim an= lim (Sn-Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S=0

Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.

Dowód:

Sn=a1+ a2+ a3+…+ an Λ an≥0, ciąg Sn jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny ⇒ Sn -jest zbieżny.

Kryterium porównawcze:

Jeżeli wyrazy szeregów Σ an i Σ bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n0 , że n> n0 i spełniona jest nierówność an≤ bn, to:

- ze zbieżności szer bn wynika zbieżność szeregu an

- z rozbieżności szeregu an wynika rozb szeregu bn

Dowód:

Sn=Σ an - chcemy pokazać, że jest zbieżny.

Sn = Sn0+Σak ≤ Sn0 +Σbk ≤ Sn0 + B;

k= n0 +1 ciąg sum częściowych Sn =Sn0 + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność Σbk\n z założenia zbieżny i równy B.

Kryterium d'Alamberta:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim an+1/an, to szereg Σan o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.

Kryterium Cauchyego:

Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n√an, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.

Kryterium całkowe:

Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x≥ n0∈N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n0 f(x)dx

Kryterium Leibniza:

Jeżeli ciąg {an} jest nierosnący oraz lim an=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.

[Ciąg nierosnący Λan+1≤an ]

Kryterium Weierstrassa:

Jeżeli Σan liczb. jest zbież i jeżeli0x01 graphic
spełniona jest nierówność fn(x)≤an to Σ funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Σan nazywamy majorantą Σ funkcyjnego.

Dowód:

Σan jako zbieżny musi spełniać warunek:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

- war. konieczny i dostateczny zb Σ funkcyjnego.

Def: Bezwzględna zbieżność szeregu:

Σan nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny Σ złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli Σan jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (Σan )=Σ (an). Jeżeli Σ jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.

Def. Iloczyn Caychy'ego szeregów:

Szereg Σan, gdzie an = Σ ak bn-k+1; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów Σan i Σbn tzn:

(Σan ) (Σbn ) = Σan

(Σan ) (Σbn ) = Σan ak =Σak bn - k

Twierdzenie: Jeżeli szeregi Σan i Σbn s --> [Author:AS] ą zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.

Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli Σfn(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to 0b[Σfn(x)]dx=Σ0bfn(x)dx.

Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:

Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f'n(x) w przedziale <a,b>, Σ funkcyjny Σfn(x) jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.Σf'n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:

0x01 graphic

Def. Promień szeregu potęgowego:

Promieniem R zbieżności Σ potęgowego Σanxn nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla Σ ten jest Σ zbieżnym.

Tw. Promień szeregu potęgowego:

Jeżeli istnieje granica:

0x01 graphic

to promień zbieżności szeregu Σanxn wynosi:

0x01 graphic

Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału Σ pot. Σ anxn tzn. x∈(-R,R) to całka:0x01 graphic
przy czym promień zbieżności tego szeregu jest taki jak szeregu wyjściowego.

Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla: 0x01 graphic

Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:

Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. Σ pot. Σ anxn to pochodna: 0x01 graphic
- promień zb. tego Σ jest taki sam jak szeregu wyjściowego.

Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu Σ funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować wyraz po wyrazie:

0x01 graphic

Szereg Taylora:

Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x0 wszystkie pochodne, tzn. jest klasy C. Funkcję taką dla każdego x∈Q-{x0} i każdego n∈N możemy rozwinąć w Σ Taylora:

0x01 graphic

Tw. o reszcie Taylora:

Jeżeli istnieje liczba M.>0, że0x01 graphic
Spełniona jest nierówność:

0x01 graphic

czyli funkcja daje się rozwinąć w otoczeniu Q w Σ Taylora.

Dowód:

0x01 graphic
szacujemy moduł z reszty.

0x01 graphic

badamy zbieżność Σ z d'Alamberta:

0x01 graphic

Rozwinięcie w szereg Taylora:

0x01 graphic

Szereg Fouriera:

Jeżeli dana jest funkcja f:<a,a+2l>→R, to szereg trygonometryczny

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic

nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) i będziemy zapisywali:

0x01 graphic
,

Warunki Dirchleta:

Mówimy że funkcja f:<a,a+2l)→R ograniczona spełnia w przedziale <a;a+2l>Warunki Dirchleta jeżeli a) funkcja ta jest przedziałem monotoniczna: b) funkcja fest cuągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów w których ma nieciągłość pierwszego rodzaju

Nieciągłość usuwalna Nieciągłość nieusuwalna

Lim f(x)= lim f(x)≠f(x0) Lim f(x)= lim f(x)

ΧX0- ΧX0+ ΧX0- ΧX0+

Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji f. która działa w przedziale f;<a;a+2l>→R spełniająca warunki Dirchleta, jest zbieżny w każdym punkcie przedziału <a; a+2l> przy czym w dowolnym punkcie x0∈(a;a+2l) w którym f. f: fest ciągła suma szeregu wynosi f(x) natomiast w punktach x0∈(a;a+2l) w któryvh funkcja f jest nieciągła suma szeregu wynosi0x01 graphic
-śr. arytmet. granic jednostronnych

Na krańcach przedziału suma szer. wynosi 0x01 graphic

Macierze:

Def. Podobieństwo Macierzy:

Macierz kwadratową A nazywamy podobną do macierzy kw. B, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P (det≠0) taka, że B=P-1AP, macierz P. nazywamy macierzą podobieństwa

Tw: Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy b z macierzą podobieństwa P., to macierz B jest również podobna do macierzy A z macierzą podobieństwa P-1

Dowód: B=P-1AP *P.

PB=AP ⇒ PB*P-1=A

Def. Macierz ortogonalna:

Macierz kwadratową i nieosobliwą A nazywamy ortogonalną ⇔

1. detA=±1

2. A*AT =E

Dowód:

A - ortogonalna:

AAT=E, AA-1=E

AAT=AA-1|*A-1

A-1AAT= A-1AA-1⇒ EAT= EA-1⇒ AT= A-1

Definicja Bazy:

Układ B{e1,e2} gdzie 0x01 graphic
są wektorami liniowo niezależnymi nazywamy bazą w przestrzeni V2 (analogicznie dla B-{e1,e2,e3} (Trzy wektory 0x01 graphic
liniowo niezależne jeżeli kombinacja 0x01 graphic

Bazę B nazywamy ortonormalną gdy wszystkie wektory bazowe mają dł. równą 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe

Macierz przejścia:

Dane są dwie bazy: B{e1,e2, e3} oraz B'{e1',e2', e3'} w prz.V3. Z definicji bazy:

0x01 graphic

Tw. Macierz przejścia P od bazy ortonormalnej B do bazy B' jest zawsze macierzą ortogonalną: PT=P-1

Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy:

0x01 graphic

Def: Operacji liniowej:

Operacja A: V3V3 (A: V2V2) nazywamy liniową jeśli spełnia warunek:

  1. 0x01 graphic
    - warunek addytywności (analogiczności dla V2)

  2. 0x01 graphic
    -w jednorodności

Def: Operacji jednostkowej:

Operację A, która działa w V3→V3 (lub A: V2→V2 ) nazywamy jednostkową jeżeli:0x01 graphic
A=E - ozn. op. jednostkowej.

Macierz operacji jednostkowej:

0x01 graphic
Macierz operacji jednostkowej nie zależy od bazy ( w każdej bazie jest taka sama) AB'=P-1ABP; EB'=P-1EBP=P-1P=EB.

Def: Operacji symetrycznej:

Operację A:Vn→Vn (n=2,3) nazywamy symetryczną⇔0x01 graphic

Def: Operacji antysymetrycznej:

Operację A:Vn→Vn (n=2,3) nazywamy antysymetryczną⇔0x01 graphic

Def: Wartości własne i wektory własne:

Liczbę λ nazywamy wartością własną operacji liniowej A:V3→V3 (A: V2→V2) jeżeli istnieje niezerowy wektor

0x01 graphic
taki, że0x01 graphic
.Wektor0x01 graphic
nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej λ przy A.

Def. Tensor o walencji 1:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n1 liczb xi zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady:

0x01 graphic
; (xi')=pii'xi

Def. Tensor o walencji 2:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n2 liczb αij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: αi'j' =pii'pjj'αij

Tensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież

0x01 graphic
- Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x1,x2,x3)

Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m. względem osi wyznaczonej przez wektory bazowe: 0x01 graphic
-moment względny x1,x2,x3

Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.

Def. Kwadryka:

Zbiór wszystkich punktów M(x1x2x3) o promieniach wodzących 0x01 graphic
i spełniających równanie 0x01 graphic

nazywamy kwadryką tensorową tensor TB. Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia .

Równanie kwadryki i w postaci macierzowej:0x01 graphic

Postać kanoniczna kwadryki tensorowej:

0x01 graphic

Rachunek operatorów:

Funkcja Heviside'a:

0x08 graphic
0 dla x<c

η(x-c)= 0,5 dla x=c

1 dla x>c

Def. Przekształcenie Laplace'a:

Przekształcenie Laplace'a funkcji f(x) zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną wzorem:

0x01 graphic

Jeżeli całka istnieje, to funkcję nazywamy transformatą Laplace'a funkcji f(x) i oznaczali będziemy symbolem:

F(s)=L[f(x)]

Def. Klasy oryginałów:

Mówimy, że funkcja f(x) przedziałami ciągła należy do klasy oryginałów gdy spełnia następujące warunki:

  1. f(x)=0, dla x<0

  2. f(x)=0,5(f(x+)+ f(x-))

  3. Istnieją stałe M i α takie, że f(x)≤Meαx.

Twierdzenie o podobieństwie:

0x01 graphic

Twierdzenie o tłumieniu:

0x01 graphic

I. Twierdzenie o przesunięciu:

0x01 graphic

II. Twierdzenie o przesunięciu:

0x01 graphic

Tw. O Transformacji funkcji okresowej:

Jeżeli funkcja f(x) z klasy oryginałów jest funkcją okresową o okresie T dla wszystkich x∈R+ , to:

0x01 graphic

Najczęściej spotykane transformaty:

0x01 graphic

Liczby Zespolone:

Kryterium porównawcze:

Jeżeli 0x01 graphic
o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to szereg Σzn jest bezwzględnie zbieżny.

Kryterium d'Alamberta:

Jeżeli 0x01 graphic
o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.

Kryterium Cauchy'ego:

Jeżeli 0x01 graphic
o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.

Tw. Warunek konieczny i dostateczny:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności Σzn o wyrazach zn=xn+yn do sumy S=S1+S2i jest jednoczesna zbieżność szeregów Σxn i Σyn odpowiedio do sum S1 i S2.

Def. Granicy według Heinego:

0x01 graphic

Def. Granicy według Cauchy`ego:

0x01 graphic

Def. Logarytm liczby zespolonej:

Liczbę zespoloną w=u+iv nazywamy logarytmem naturalnym z liczby zespolonej z=x+iy≠0 w =ln z, jeżeli ew=z, ln z=lnz+i(ϕ+2kπ).

Def. Pochodna funkcji zesoplonej:

Pochodną funkcji w=f(z) w punkcie z0 nazywamy granicę:

0x01 graphic
,jeżeli granica istnieje i jest skończona.

Def. Holomorficzność funkcji w punkcie:

Mówimy, że funkcja jest Holomorficzna, jeśli jest różniczkowalna w punkcie z0 i pewnym jego otoczeniu.

Def. Holomorficzność funkcji w obszarze D:

Mówimy, że funkcja jest holomorficzna w obszerze D, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego obszaru.

Tw. Cauchy'ego-Riemana:

Jeżeli funkcja f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ma pochodną w punkcie z0=x0+ iy0 ,to istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części rzeczywistej u(x,y) i części urojonej v(x,y) oraz pochodne spełniają w tym punkcie równania:

0x01 graphic

Warunek konieczny, aby f(z) miała pochodną:

Jeżeli część rzeczywista u(x,y) i część urojona v(x,y) funkcji f(z)=u(x,y)+v(x,y) spełniają warunki Cauychego-Riemana w pewnym obszarze D i ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym obszarze, to funkcja f(z) w każdym punkcie a=x+iy tego obszaru pochodną f'(z) określoną wzorem:

0x01 graphic

Rozwinięcia funkcji:

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Algebra zbiorów, Ściągi dla studentów, Matematyka
zagadnienia matematyczne, Ściągi dla studentów, Matematyka
Matematyka - wzory, Ściągi dla studentów, Matematyka
Matematyka finansowa - wzory, Ściągi dla studentów, Matematyka
Postac iloczynowa trojmianu kwadratowego, Ściągi dla studentów, Matematyka
matematyka finansowa, Ściągi dla studentów, Matematyka
Matematyka - aproksymacja i interpolacja, Ściągi dla studentów, Matematyka
metody probablistyczne, Ściągi dla studentów, Matematyka
Ulamki egipskie, Ściągi dla studentów, Matematyka
analiza rentownosci, Ściągi dla studentów, Matematyka
Fraktale, Ściągi dla studentów, Matematyka
Algebra zbiorów, Ściągi dla studentów, Matematyka
pedagogika czasu wolnego - bielecka, Nauka, ściagi dla studentów turystyki i rekreacji ;)

więcej podobnych podstron