Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. fn(x) natomiast cały ciąg będziemy oznaczać {fn (x) } który po napisaniu daje: (f1 (x) i f2 (x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny {fn(x)}jest określony w A, to dla każdego x0∈A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego, otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {fn(x0)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.
Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {fn(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy limn→∞fn(x)-f(x) lub fn(x) ne→∞→ f(x) ⇔ Λε>0 Λx∈Α Vs Λn>s. fn(x)- f(x)<ε oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem: Λfn(x) A⇒f(x) ⇔ Λε>0 Vδ Λx∈A fn(x)- f(x)<ε
Dla zb. zwykłej liczba δ ma istnieć dla każdego ε>0 i x∈A
Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A
Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła
[fn(x) A⇒ f(x)] ⇒ [fn(x) e→ f(x)]
Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą
Warunek Cauche'go:
Na to aby ciąg fn(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby Λε>0 Vr że Λn>r zachodzi [fn(x) - fr(x)]<ε
-Szereg geometryczny:
Saqn-1 lub Saqk
1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a≠0 to szer. geom.
-dla q<1 szer. geom. zb. i S=a/1-q
-dla q≥1 szer. geom. rozb.
-Szereg Dirchleta: S1/na , a∈R, dla α>1 sz zbieżny; dla a ≤1 sz rozbieżny.
-Szereg naprzemienny: Szereg Σ(-1)n+1an, gdzie an>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer naprzemiennym.
Def. Zbieżność szeregu liczbowego:
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy właściwej lim Sn =S ; S- suma szeregu.
Def. Równość szeregów:
Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.
Def. Iloczyn przez liczbę:
Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu Σak pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy szereg:
który nazywamy n - resztą szeregu Σak .
Tw. Jeżeli szeregi Σan; Σbn są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S1 i S2 to Σ(an+ bn ) i Σ(kan) wynoszą odpowiednio S1+S2 i kS1 .
Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:
Jeżeli szereg Σan jest zbieżny, to lim an=0
Dowód:
an=Sn-Sn-1 ; lim an= lim (Sn-Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S=0
Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Dowód:
Sn=a1+ a2+ a3+…+ an Λ an≥0, ciąg Sn jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny ⇒ Sn -jest zbieżny.
Kryterium porównawcze:
Jeżeli wyrazy szeregów Σ an i Σ bn są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n0 , że n> n0 i spełniona jest nierówność an≤ bn, to:
- ze zbieżności szer bn wynika zbieżność szeregu an
- z rozbieżności szeregu an wynika rozb szeregu bn
Dowód:
Sn=Σ an - chcemy pokazać, że jest zbieżny.
Sn = Sn0+Σak ≤ Sn0 +Σbk ≤ Sn0 + B;
k= n0 +1 ciąg sum częściowych Sn =Sn0 + B jest ograniczony stąd wynika zbieżność Σbk\n z założenia zbieżny i równy B.
Kryterium d'Alamberta:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim an+1/an, to szereg Σan o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n√an, to szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x≥ n0∈N wówczas war koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n0∫∞ f(x)dx
Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg {an} jest nierosnący oraz lim an=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.
[Ciąg nierosnący Λan+1≤an ]
Kryterium Weierstrassa:
Jeżeli Σan liczb. jest zbież i jeżeli
spełniona jest nierówność fn(x)≤an to Σ funkcyjny jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A. Σan nazywamy majorantą Σ funkcyjnego.
Dowód:
Σan jako zbieżny musi spełniać warunek:
- war. konieczny i dostateczny zb Σ funkcyjnego.
Def: Bezwzględna zbieżność szeregu:
Σan nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny Σ złożony z bezwzględnych wartości. Jeżeli Σan jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (Σan )=Σ (an). Jeżeli Σ jest zbieżny to nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczyn Caychy'ego szeregów:
Szereg Σan, gdzie an = Σ ak bn-k+1; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów Σan i Σbn tzn:
(Σan ) (Σbn ) = Σan
(Σan ) (Σbn ) = Σan ak =Σak bn - k
Twierdzenie: Jeżeli szeregi Σan i Σbn s --> [Author:AS] ą zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn jest zbieżny.
Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli Σfn(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to 0∫b[Σfn(x)]dx=Σ0∫bfn(x)dx.
Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f'n(x) w przedziale <a,b>, Σ funkcyjny Σfn(x) jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.Σf'n(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:
Def. Promień szeregu potęgowego:
Promieniem R zbieżności Σ potęgowego Σanxn nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych wartości x dla Σ ten jest Σ zbieżnym.
Tw. Promień szeregu potęgowego:
Jeżeli istnieje granica:
to promień zbieżności szeregu Σanxn wynosi:
Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału Σ pot. Σ anxn tzn. x∈(-R,R) to całka:
przy czym promień zbieżności tego szeregu jest taki jak szeregu wyjściowego.
Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:
Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb. Σ pot. Σ anxn to pochodna:
- promień zb. tego Σ jest taki sam jak szeregu wyjściowego.
Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu Σ funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować wyraz po wyrazie:
Szereg Taylora:
Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x0 wszystkie pochodne, tzn. jest klasy C∞. Funkcję taką dla każdego x∈Q-{x0} i każdego n∈N możemy rozwinąć w Σ Taylora:
Tw. o reszcie Taylora:
Jeżeli istnieje liczba M.>0, że
Spełniona jest nierówność:
czyli funkcja daje się rozwinąć w otoczeniu Q w Σ Taylora.
Dowód:
szacujemy moduł z reszty.
badamy zbieżność Σ z d'Alamberta:
Rozwinięcie w szereg Taylora:
Szereg Fouriera:
Jeżeli dana jest funkcja f:<a,a+2l>→R, to szereg trygonometryczny
gdzie:
nazywamy trygonometrycznym szeregiem Fouriera funkcji f(x) i będziemy zapisywali:
,
Warunki Dirchleta:
Mówimy że funkcja f:<a,a+2l)→R ograniczona spełnia w przedziale <a;a+2l>Warunki Dirchleta jeżeli a) funkcja ta jest przedziałem monotoniczna: b) funkcja fest cuągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów w których ma nieciągłość pierwszego rodzaju
Nieciągłość usuwalna Nieciągłość nieusuwalna
Lim f(x)= lim f(x)≠f(x0) Lim f(x)= lim f(x)
Χ→X0- Χ→X0+ Χ→X0- Χ→X0+
Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera dla funkcji f. która działa w przedziale f;<a;a+2l>→R spełniająca warunki Dirchleta, jest zbieżny w każdym punkcie przedziału <a; a+2l> przy czym w dowolnym punkcie x0∈(a;a+2l) w którym f. f: fest ciągła suma szeregu wynosi f(x) natomiast w punktach x0∈(a;a+2l) w któryvh funkcja f jest nieciągła suma szeregu wynosi
-śr. arytmet. granic jednostronnych
Na krańcach przedziału suma szer. wynosi
Macierze:
Def. Podobieństwo Macierzy:
Macierz kwadratową A nazywamy podobną do macierzy kw. B, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P (det≠0) taka, że B=P-1AP, macierz P. nazywamy macierzą podobieństwa
Tw: Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy b z macierzą podobieństwa P., to macierz B jest również podobna do macierzy A z macierzą podobieństwa P-1
Dowód: B=P-1AP *P.
PB=AP ⇒ PB*P-1=A
Def. Macierz ortogonalna:
Macierz kwadratową i nieosobliwą A nazywamy ortogonalną ⇔
1. detA=±1
2. A*AT =E
Dowód:
A - ortogonalna:
AAT=E, AA-1=E
AAT=AA-1|*A-1
A-1AAT= A-1AA-1⇒ EAT= EA-1⇒ AT= A-1
Definicja Bazy:
Układ B{e1,e2} gdzie
są wektorami liniowo niezależnymi nazywamy bazą w przestrzeni V2 (analogicznie dla B-{e1,e2,e3} (Trzy wektory
liniowo niezależne jeżeli kombinacja
Bazę B nazywamy ortonormalną gdy wszystkie wektory bazowe mają dł. równą 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe
Macierz przejścia:
Dane są dwie bazy: B{e1,e2, e3} oraz B'{e1',e2', e3'} w prz.V3. Z definicji bazy:
Tw. Macierz przejścia P od bazy ortonormalnej B do bazy B' jest zawsze macierzą ortogonalną: PT=P-1
Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy:
Def: Operacji liniowej:
Operacja A: V3→V3 (A: V2→V2) nazywamy liniową jeśli spełnia warunek:
- warunek addytywności (analogiczności dla V2)
-w jednorodności
Def: Operacji jednostkowej:
Operację A, która działa w V3→V3 (lub A: V2→V2 ) nazywamy jednostkową jeżeli:
A=E - ozn. op. jednostkowej.
Macierz operacji jednostkowej:
Macierz operacji jednostkowej nie zależy od bazy ( w każdej bazie jest taka sama) AB'=P-1ABP; EB'=P-1EBP=P-1P=EB.
Def: Operacji symetrycznej:
Operację A:Vn→Vn (n=2,3) nazywamy symetryczną⇔
Def: Operacji antysymetrycznej:
Operację A:Vn→Vn (n=2,3) nazywamy antysymetryczną⇔
Def: Wartości własne i wektory własne:
Liczbę λ nazywamy wartością własną operacji liniowej A:V3→V3 (A: V2→V2) jeżeli istnieje niezerowy wektor
taki, że
.Wektor
nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej λ przy A.
Def. Tensor o walencji 1:
Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n1 liczb xi zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady:
; (xi')=pii'xi
Def. Tensor o walencji 2:
Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n2 liczb αij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: αi'j' =pii'pjj'αij
Tensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież
- Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x1,x2,x3)
Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m. względem osi wyznaczonej przez wektory bazowe:
-moment względny x1,x2,x3
Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.
Def. Kwadryka:
Zbiór wszystkich punktów M(x1x2x3) o promieniach wodzących
i spełniających równanie
nazywamy kwadryką tensorową tensor TB. Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia .
Równanie kwadryki i w postaci macierzowej:
Postać kanoniczna kwadryki tensorowej:
Rachunek operatorów:
Funkcja Heviside'a:
0 dla x<c
η(x-c)= 0,5 dla x=c
1 dla x>c
Def. Przekształcenie Laplace'a:
Przekształcenie Laplace'a funkcji f(x) zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną wzorem:
Jeżeli całka istnieje, to funkcję nazywamy transformatą Laplace'a funkcji f(x) i oznaczali będziemy symbolem:
F(s)=L[f(x)]
Def. Klasy oryginałów:
Mówimy, że funkcja f(x) przedziałami ciągła należy do klasy oryginałów gdy spełnia następujące warunki:
f(x)=0, dla x<0
f(x)=0,5(f(x+)+ f(x-))
Istnieją stałe M i α takie, że f(x)≤Meαx.
Twierdzenie o podobieństwie:
Twierdzenie o tłumieniu:
I. Twierdzenie o przesunięciu:
II. Twierdzenie o przesunięciu:
Tw. O Transformacji funkcji okresowej:
Jeżeli funkcja f(x) z klasy oryginałów jest funkcją okresową o okresie T dla wszystkich x∈R+ , to:
Najczęściej spotykane transformaty:
Liczby Zespolone:
Kryterium porównawcze:
Jeżeli
o wyrazach dodatnich jest zbieżny, to szereg Σzn jest bezwzględnie zbieżny.
Kryterium d'Alamberta:
Jeżeli
o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.
Kryterium Cauchy'ego:
Jeżeli
o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieżny gdy g<1, natomiast rozbieżny gdy g>1.
Tw. Warunek konieczny i dostateczny:
Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbieżności Σzn o wyrazach zn=xn+yn do sumy S=S1+S2i jest jednoczesna zbieżność szeregów Σxn i Σyn odpowiedio do sum S1 i S2.
Def. Granicy według Heinego:
Def. Granicy według Cauchy`ego:
Def. Logarytm liczby zespolonej:
Liczbę zespoloną w=u+iv nazywamy logarytmem naturalnym z liczby zespolonej z=x+iy≠0 w =ln z, jeżeli ew=z, ln z=lnz+i(ϕ+2kπ).
Def. Pochodna funkcji zesoplonej:
Pochodną funkcji w=f(z) w punkcie z0 nazywamy granicę:
,jeżeli granica istnieje i jest skończona.
Def. Holomorficzność funkcji w punkcie:
Mówimy, że funkcja jest Holomorficzna, jeśli jest różniczkowalna w punkcie z0 i pewnym jego otoczeniu.
Def. Holomorficzność funkcji w obszarze D:
Mówimy, że funkcja jest holomorficzna w obszerze D, jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego obszaru.
Tw. Cauchy'ego-Riemana:
Jeżeli funkcja f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ma pochodną w punkcie z0=x0+ iy0 ,to istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe części rzeczywistej u(x,y) i części urojonej v(x,y) oraz pochodne spełniają w tym punkcie równania:
Warunek konieczny, aby f(z) miała pochodną:
Jeżeli część rzeczywista u(x,y) i część urojona v(x,y) funkcji f(z)=u(x,y)+v(x,y) spełniają warunki Cauychego-Riemana w pewnym obszarze D i ponadto pochodne cząstkowe tych funkcji są ciągłe w tym obszarze, to funkcja f(z) w każdym punkcie a=x+iy tego obszaru pochodną f'(z) określoną wzorem:
Rozwinięcia funkcji: