Ogólna charakterystyka funkcji użyteczności

Dla uproszczenia funkcję użyteczności będziemy rozpatrywali jako funkcję dwóch zmiennych. W rzeczywistości może to być funkcja dowolnej liczby zmiennych. Obrazem funkcji użyteczności jest krzywa obojętności.

Krzywa obojętności określa wszystkie kombinacje koszyków dóbr, które przynoszą taką samą satysfakcję konsumentowi, mają tę samą użyteczność. Konsument może dowolnie dobierać koszyki dóbr. Niezależnie od tego ich użyteczność będzie taka sama.

Zbiór krzywych obojętności nazywany jest mapą obojętności. Pokazuje ona stopy substytucji między dwoma towarami dla każdego poziomu ich bieżącej konsumpcji. Im wyżej jest położona krzywa obojętności, tym wyższy poziom satysfakcji z zakupu danych dóbr. Wyraża ona upodobania konsumentów.

Te znaczki tylko tak strasznie wyglądają. Naprawdę to jest dużo prostsze i liczy się to szybko i przyjemnie.

U=f(X₁, X₂) - ogólna postać funkcji użyteczności

ΔU = δU/δX₁*ΔX₁ + δU/δX₂*ΔX₂ - przyrost funkcji użyteczności (różniczka)

Jeśli ΔU = δU/δX₁*ΔX₁ + δU/δX₂*ΔX₂ = 0 to następuje maksymalizacja użyteczności.

δX₂/δX₁ = - ((δU/δX₁)*ΔX₁) / ((δU/δX₁)*ΔX₂) = MRS_X1X2

((δU/δX₁)*ΔX₁) / ((δU/δX₁)*ΔX₂) = (MU_X1/MU_X2)

MU_X1 - krańcowa użyteczność dobra X₁ (przyrost użyteczności w wyniku zwiększenia konsumpcji dobra X₁ o jednostkę)

MU_X2 - krańcowa użyteczność dobra X₂ (przyrost użyteczności w wyniku zwiększenia konsumpcji dobra X₂ o jednostkę)

Nazwa MU pochodzi od angielskiego skrótu Marginal Utility.

Krańcowa stopa substytucji (MRS)

Krańcowa stopa substytucji (MRS - Marginal Rate of Substitiuton) jest to ilość jednego dobra, którą konsument jest skłonny oddać w zamian za dodatkową jednostkę drugiego dobra. Krańcowa stopa substytucji zawsze będzie malejąca. Stosunek tych dwóch wielkości będzie miał wartość ujemną. Swiadczy o tym również malejąca i wypukła krzywa obojętności. Malejąca MRS uważana jest za prawie uniwersalną cechę ludzkich preferencji.

1. Funkcja użyteczności dla doskonałych substytutów.

U = X₁ + X₂

Użyteczności dóbr będących doskonałymi substytutami są takie same. Zatem są one wymieniane w stosunku 1 : 1. Stąd wynika, że nachylenie wynosi ΔX₁/ΔX₂ = 1/1. Relacja zastępowalności obu dóbr jest zawsze taka sama. Nie ma znaczenia to, w jakich proporcjach konsumujemy oba dobra.

Równowaga konsumenta dla doskonałych substytutów

Punkt równowagi konsumenta wyznaczamy rozwiązując następujący układ równań (szukamy maksimum ograniczenia budżetowego dla X₁ = - X₂):

U = X₁ + X₂ - funkcja użyteczności

m = p₁X₁ + p₂X₂ - ograniczenie budżetowe

2. Funkcja użyteczności dla dóbr doskonale komplementarnych.

U = min{X₁, X₂}

Dobra doskonale komplementarne konsumowane są w równych proporcjach. Jeśli wzrasta konsumpcja tylko jednego dobra, to użyteczność się nie zmienia. Dopiero jednakowa zmiana konsumpcji obu dóbr powoduje zmianę użyteczności.

Równowaga konsumenta dla dóbr doskonale komplementarnych

Należy rozwiązać układ równań:

X₁ = X₂ - funkcja użyteczności

m = p₁X₁ + p₂X₂ - ograniczenie budżetowe

Aby rozwiązać ten układ trzeba znalezć maksimum ograniczenia budżetowego, gdy X₁ = X_2.

3. Funkcja użyteczności Cobb-Douglasa.

U = X^α₁X^β₂

Istnieje wzajemna zastępowalność dóbr X₁ i X₂, ale nie są to doskonałe substytuty ani dobra doskonale komplementarne. Nachylenie krzywych obojętności jest równe relacji cen ΔX₂/ΔX₁ = p₁/p₂ = MRS_x1x2

Równowaga konsumenta dla funkcji Cobb-Douglasa.

W punkcie równowagi E:

ΔX₂/ΔX₁ = p₂/p₁ = MRS_x1x2 = 1

Aby wyznaczyć punkt równowagi, należy rozwiązać następujący układ równań:

U = X^α₁X^β₂ - funkcja użyteczności

m = p₁X₁ + p₂X₂ - ograniczenie budżetowe

Układ ten rozwiązujemy przy pomocy funkcji Lagrange'a:

λ - krańcowa użyteczność z bogactwa (mówi o tym, o ile wzrośnie użyteczność przy wzroście dochodu o jednostkę). Powtórka z analizy matematycznej wskazana. ;-)

L = X^α₁X^β₂ - λ(p₁X₁ + p₂X₂ - m)

Pochodne cząstkowe funkcji L przyrównujemy do zera:

δL/δX¹ = α(X₁)^α-1 * X₂^β - λp₁ = 0

δL/δX² = X₁^α * β(X₂)^β-1 - λp₂ = 0

δL/δλ = - p₁X₁ - p₂X₂ - m

Ponieważ:

α(X₁)^α-1 * X₂^β = MU_X1

X₁^α * β(X₂)^β-1 = MU_X2

to:

MU_X1 - λP₁ = 0

MU_X2 - λP₂ = 0

- p₁X₁ - p₂X₂ - m

MU_X1 = λP₁

MU_X2 = λP₂

p₁X₁ + p₂X₂ = m

Po przekształceniach:

MU_X1/MU_X2 = p₁/p₂

p₁X₁ + p₂X₂ = m

Czyli:

MRS_X1X2 = p₁/p₂

p₁X₁ + p₂X₂ = m

---