dr Agnieszka Bobrowska 

 

1 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Wykład 3 

 

3. Funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci i jej własno

ś

ci

1

 

 

3.1. U

Ŝ

yteczno

ść

 kardynalna i ordynalna jako kategorie ekonomiczne 

Z  relacj

ą

  preferencji,  o  której  była  mowa  w  pierwszym  paragrafie,  wi

ąŜ

e  si

ę

 

ś

ci

ś

le  poj

ę

cie 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci oraz funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci

2

. 

Rozwa

Ŝ

ania nad u

Ŝ

yteczno

ś

ci

ą

 dóbr wywodz

ą

 si

ę

 z filozofii utylitarystycznej (j. Bentham), w której 

zakładano, 

Ŝ

e  człowiek  d

ąŜ

y  w  swoich  działaniach  do  osi

ą

gni

ę

cia  maksimum  satysfakcji, 

przyjemno

ś

ci,  czy  innych  pozytywnych  subiektywnych  dozna

ń

. 

Ź

ródłem  owych  dozna

ń

  mo

Ŝ

e  by

ć

 

konsumpcja  dóbr.  St

ą

d  u

Ŝ

yteczno

ść

  potraktowano  jako  cech

ę

  dobra,  wynikaj

ą

c

ą

  z  jego  własno

ś

ci, 

polegaj

ą

c

ą

 na wywoływaniu subiektywnych odczu

ć

, które daje konsumentowi spo

Ŝ

ycie dobra.  

U

Ŝ

yteczno

ść

  jest  w  tym  rozumieniu  definiowana  jako  zdolno

ść

  towaru  do  zaspokojenia  potrzeb 

konsumenta.  Mimo,  wydawałoby  si

ę

  oczywisto

ś

ci  definicji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci,  pojawiaj

ą

  si

ę

  trudno

ś

ci 

pomiaru  tej  kategorii.  U

Ŝ

yteczno

ść

  jest  bowiem  nieodzownie  zwi

ą

zana  z  subiektywnym  odczuciem 

konsumenta. To samo dobro mo

Ŝ

e by

ć

 ró

Ŝ

nie oceniane przez ró

Ŝ

nych konsumentów, a ponadto temu 

samemu  konsumentowi  mo

Ŝ

e  przynosi

ć

  ró

Ŝ

ny  poziom  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  w  rozmaitych  warunkach. 

Odwołajmy  si

ę

  do  klasycznych  przykładów:  je

Ŝ

eli  jeste

ś

my  głodni,  to  ta  sama  bułka  b

ę

dzie  miała 

nieporównywalnie  wi

ę

ksz

ą

  u

Ŝ

yteczno

ść

 ni

Ŝ

  w sytuacji, kiedy  zjedli

ś

my  wła

ś

nie obiad; szklanka  wody 

dla konsumenta latem b

ę

dzie miała  wy

Ŝ

sz

ą

 u

Ŝ

yteczno

ść

 ni

Ŝ

 dla  tego samego konsumenta  w 

ś

rodku 

zimy. 

Pocz

ą

tkowo  u

Ŝ

yteczno

ść

  była  traktowana  przez  ekonomistów  jako  pewien  rodzaj  liczbowej  miary 

zadowolenia  konsumenta  z  konsumpcji  dóbr,  co  miało  umo

Ŝ

liwi

ć

  porównania  interpersonalne. 

Zaproponowano  nawet  nazw

ę

  jednostki  miary  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  -utyl.  Takie  podej

ś

cie  było  wła

ś

ciwe  dla 

tzw. kardynalnej teorii u

Ŝ

yteczno

ś

ci. Koncepcja ta była krytykowana jako zbyt idealistyczna, a badania 

nad  wyborami  konsumenta  doprowadziły  do  powstania  kolejnej  teorii  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  porz

ą

dkowej 

(ordynalnej). Koncepcja ta zakłada, 

Ŝ

e konsument dokonuj

ą

c wyborów dóbr wyra

Ŝ

a swoje preferencje, 

a u

Ŝ

yteczno

ść

 jest zmienn

ą

 wskazuj

ą

c

ą

 na kolejno

ść

 preferencji indywidualnego konsumenta.  

Zgodnie z teori

ą

 u

Ŝ

yteczno

ś

ci kardynalnej mo

Ŝ

liwe jest stwierdzenie, i

Ŝ

 okre

ś

lony koszyk towarów 

ma  dla  konsumenta  u

Ŝ

yteczno

ść

  trzykrotnie  wi

ę

ksz

ą

  od  innego  koszyka.  Według  teorii  u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

ordynalnej mo

Ŝ

na ustali

ć

 jedynie, i

Ŝ

 dany koszyk jest dla konsumenta bardziej u

Ŝ

yteczny ni

Ŝ

 inny. Nie 

mo

Ŝ

na jednak zmierzy

ć

 tej ró

Ŝ

nicy przy pomocy silnej skali pomiarowej. 

 

                                                 

1

  Wykład  opracowany  na  podstawie  E.  Panek:  Ekonomia  matematyczna,  Akademia  Ekonomiczna  w  Poznaniu, 

Pozna

ń

 2000, rozdział 1 

2

  Proponujemy  przypomnie

ć

  sobie  kategori

ę

  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  z  podr

ę

czników  z  zakresu  mikroekonomii  np. 

B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 
2001, H. R. Varian, Mikroekonomia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, lub inne 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

2 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

3.2. Definicja funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

Funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  stanowi  liczbow

ą

  charakterystyk

ę

  pola  preferencji,  wyra

Ŝ

a  stopie

ń

 

zadowolenia  konsumenta  z  nabycia  okre

ś

lonego  koszyka  towarów.  Mo

Ŝ

na  j

ą

  wyrazi

ć

  w  postaci  tzw. 

indykatora preferencji, który daje si

ę

 szacowa

ć

 metodami ekonometrycznymi. Jest ona bardzo wa

Ŝ

na, 

poniewa

Ŝ

  o  ile  poj

ę

cie  relacji  preferencji  umo

Ŝ

liwia  uporz

ą

dkowanie  zbioru  X,  czyli  przestrzeni 

towarów  oraz  znajduje  zastosowanie  jedynie  w  rozwa

Ŝ

aniach  teoretycznych,  o  tyle  funkcja 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci  umo

Ŝ

liwia  wyra

Ŝ

enie  w  sposób  wymierny  stopnia  zadowolenia  konsumenta 

(u

Ŝ

yteczno

ś

ci)  z  nabycia  konkretnego  koszyka  towarów,  a  co  si

ę

  z  tym  wi

ąŜ

e,  cz

ę

sto  znajduje 

praktyczne  zastosowanie.  Dlatego  wła

ś

nie  przedmiotem  niniejszego  paragrafu  b

ę

dzie  funkcja 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci, jej własno

ś

ci oraz inne zwi

ą

zane z ni

ą

 poj

ę

cia i twierdzenia. 

Okre

ś

lon

ą

  na  przestrzeni  towarów  funkcj

ę

 

1

:

R

X

u

→

  nazywamy 

funkcj

ą

  u

Ŝ

yteczno

ś

ci

 

konsumenta, je

Ŝ

eli dla dowolnej pary koszyków x, y

∈

X spełnia ona warunek: 

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

f

⇔

≥

. 

Inaczej  mówi

ą

c,  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  jest  funkcj

ą

  przyporz

ą

dkowuj

ą

c

ą

  danemu  koszykowi 

towarów 

X

x

∈

konkretn

ą

  warto

ść

  liczbow

ą

  (dodatni

ą

,  ujemn

ą

  lub  równ

ą

  zero),  wyra

Ŝ

aj

ą

c

ą

  stopie

ń

 

zadowolenia konsumenta z nabycia tego wła

ś

nie koszyka, czyli tzw. 

u

Ŝ

yteczno

ść

 tego koszyka.  

 
 
3.3. Przykładowe funkcje u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

 

Przykłady funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci: 

 

1. Funkcja multiplikatywna:   

 

0

),

,...,

1

(

,

0

,

1

0

,

)

(

1

>

=

≥

<

<

=

Π

=

a

n

i

x

x

a

x

u

i

i

i

n

i

i

α

α

 

 

2. Funkcja addytywna: 

   

 

)

,...,

1

(

0

,

1

0

,

0

,

)

(

1

n

i

x

a

x

a

x

u

i

i

i

n

i

i

i

i

=

≥

<

<

>

=

∑

=

β

β

 

 

3. Funkcja logarytmiczna:  

 

 

)

,...,

1

(

0

,

0

,

ln

)

(

1

n

i

x

a

x

a

x

u

i

i

n

i

i

i

=

>

>

=

∑

=

 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

3 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

4. Funkcja kwadratowa:   

 

 

∑

∑

∑

=

=

=

=

>

+

+

=

n

i

i

ij

j

n

j

i

j

i

ij

n

i

i

i

n

j

x

b

a

x

x

b

x

a

x

u

1

1

,

1

)

,...,

1

(

0

2

/

1

)

(

 

 

B=(b

ij

) - ujemnie okre

ś

lona forma kwadratowa 

 

Przykład 3.1. 

Załó

Ŝ

my, 

Ŝ

e na rynek dostarczane s

ą

 dwa konkretne dobra 

2

1

, x

x

, a koszyki towarów zawieraj

ą

ce 

te  towary  nale

Ŝą

  do  przestrzeni  X 

(

)

(

)

X

x

x

∈

2

1

,

.  Konsument  dokonuje  wyboru  pomi

ę

dzy  dwoma 

koszykami:  (2,5)  oraz  (5,5).  Wiedz

ą

c, 

Ŝ

e  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  tego  konsumenta  jest  postaci: 

u:

(

)

1

2

1

2

,

x

x

x

a

, okre

ś

li

ć

 jaka relacja preferencji zachodzi pomi

ę

dzy tymi koszykami towarów.  

 

Rozwi

ą

zanie: 

Poniewa

Ŝ

  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  została  konkretnie  zadana,  to  mo

Ŝ

emy  okre

ś

li

ć

  u

Ŝ

yteczno

ść

 

ka

Ŝ

dego z koszyków (2,5) i (5,5): 

 

( )

4

2

2

5

,

2

=

×

=

u

 oraz 

( )

.

10

5

2

5

,

5

=

×

=

u

 

 

Poniewa

Ŝ

  10

≥

  4,  st

ą

d  mamy:  u(5,5)

≥

  u(2,5).  Z  definicji  u  wiemy  natomiast, 

Ŝ

e 

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

f

⇒

≥

.  Zatem  ostatecznie  otrzymujemy 

( ) ( )

5

,

2

5

,

5

~

f

  i  jest  to  odpowied

ź

  na  zadane 

pytanie.  

Funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  u  wyra

Ŝ

a  subiektywny  stosunek  konsumenta  do  oferowanych  na  rynku 

koszyków  towarów.  Zatem  dla  ró

Ŝ

nych  konsumentów,  ten  sam  koszyk  towarów  mo

Ŝ

e  prezentowa

ć

 

ró

Ŝ

n

ą

 warto

ść

 u

Ŝ

ytkow

ą

.  

Bezpo

ś

rednio z definicji funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci wynika nast

ę

puj

ą

ce twierdzenie:  

Twierdzenie 3.1.

 Je

Ŝ

eli 

1

:

R

X

u

→

 jest funkcj

ą

 u

Ŝ

yteczno

ś

ci  zwi

ą

zan

ą

 z relacj

ą

 preferencji 

~

f

, to prawdziwe s

ą

 zdania: 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

4 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

(I) 

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

⇔

=

, 

(II)

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

f

⇔

>

.  

 

Dowód (I): 

Niech 

1

:

R

X

u

→

 funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci konsumenta. 

Udowodnijmy najpierw, 

Ŝ

e 

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

⇒

=

.  

Załó

Ŝ

my  zatem, 

Ŝ

e 

( ) ( )

y

u

x

u

=

.  St

ą

d  otrzymujemy, 

Ŝ

e  równocze

ś

nie 

( ) ( )

y

u

x

u

≥

  oraz 

( ) ( )

.

y

u

x

u

≤

 

Z 

definicji 

funkcji 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

wiemy, 

Ŝ

e 

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

f

⇒

≥

 

oraz 

( ) ( )

x

y

y

u

x

u

~

f

⇒

≤

.  Skoro  jednocze

ś

nie 

y

x

~

f

  i 

x

y

~

f

,  to  z  definicji  indyferentnych  koszyków 

towarów otrzymujemy 

y

x ~

. Zatem pokazali

ś

my, 

Ŝ

e 

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

⇒

=

. 

Poka

Ŝ

emy teraz, 

Ŝ

e implikacja w drug

ą

 stron

ę

, czyli 

( ) ( )

y

u

x

u

y

x

=

⇒

~

 równie

Ŝ

 zachodzi. 

Załó

Ŝ

my wi

ę

c, 

Ŝ

e 

y

x ~

, to znaczy, 

Ŝ

e 

y

x

~

f

 i 

x

y

~

f

 jednocze

ś

nie. Z definicji funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

wiemy  natomiast, 

Ŝ

e 

( ) ( )

y

u

x

u

y

x

≥

⇒

~

f

  oraz 

( ) ( )

y

u

x

u

x

y

≤

⇒

~

f

.  Zatem 

( ) ( )

y

u

x

u

≥

  oraz 

( ) ( )

.

y

u

x

u

≤

, co jest równowa

Ŝ

ne 

( ) ( )

y

u

x

u

=

. Ostatecznie pokazali

ś

my, 

Ŝ

e (I) 

■

 

 

Dowód (II): 

Proponujemy  zapozna

ć

  si

ę

  z  dowodem  prawdziwo

ś

ci  zdania  (II)  w  E.  Panek  „Ekonomia 

matematyczna”, Pozna

ń

 2000, str. 37. 

Twierdzenie 3.2.

 Je

Ŝ

eli  

1

:

R

X

u

→

 jest funkcj

ą

 u

Ŝ

yteczno

ś

ci zwi

ą

zan

ą

 z relacj

ą

 preferencji, 

~

f

  oraz 

1

1

:

R

R

g

→

  jest  funkcj

ą

  rosn

ą

c

ą

,  to  superpozycja  (zło

Ŝ

enie  funkcji) 

u

g o

  te

Ŝ

  jest 

funkcj

ą

 u

Ŝ

yteczno

ś

ci konsumenta zwi

ą

zan

ą

 z t

ą

 relacj

ą

.

 

(Dowód twierdzenia 3.2. w ksi

ąŜ

ce: E. Panek „Ekonomia matematyczna”, Pozna

ń

 2000, str. 37-38).  

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

5 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Przykład 3.2. 

Niech 

1

:

R

R

u

n

→

+

  b

ę

dzie  funkcj

ą

  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  zwi

ą

zan

ą

  z  relacj

ą

  preferencji  konsumenta 

~

f

. 

Niech  funkcja 

1

1

:

R

R

g

→

  dana  b

ę

dzie  wzorem: 

b

ax

x

g

+

=

)

(

,  gdzie  a,b>0-  dowolne  stałe, 

a funkcja 

1

1

:

R

R

h

→

 wzorem: 

x

a

x

h

)

1

(

)

(

+

=

. Poniewa

Ŝ

 

))

(

)

(

(

)

(

,

1

y

g

x

g

y

x

R

y

x

<

⇒

<

∈

∀

 

oraz 

))

(

)

(

(

)

(

,

1

y

h

x

h

y

x

R

y

x

<

⇒

<

∈

∀

, to zarówno funkcja g jak i h s

ą

 rosn

ą

ce. 

Zatem funkcje postaci:  

b

x

au

x

u

g

+

=

)

(

))

(

(

 

)

(

)

1

(

))

(

(

x

u

a

x

u

h

+

=

 

s

ą

 tak

Ŝ

e funkcjami opisuj

ą

cymi t

ę

 sam

ą

 relacj

ę

 preferencji co funkcja u. 

 

 

Wnioski: 

1.  Z twierdzenia 3.2. oraz przykładu 3.2. wnioskujemy, 

Ŝ

e funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci (oprócz wyj

ś

ciowej) 

zwi

ą

zanych  z  dan

ą

 relacj

ą

 preferencji jest wi

ę

cej ni

Ŝ

 jedna, a dokładnie jest ich  niesko

ń

czenie 

wiele i s

ą

 one zło

Ŝ

eniem wyj

ś

ciowej funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci z funkcjami rosn

ą

cymi.  

2.  Na  podstawie  poprzedniego  wniosku  otrzymujemy, 

Ŝ

e  dla  ró

Ŝ

nych  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

zwi

ą

zanych  z  dan

ą

  relacj

ą

  preferencji,  u

Ŝ

yteczno

ść

  danego  koszyka  towarów  x  mo

Ŝ

e  przyj

ąć

 

ró

Ŝ

ne  warto

ś

ci  liczbowe.  Zatem  nale

Ŝ

y  pami

ę

ta

ć

, 

Ŝ

e  u

Ŝ

yteczno

ść

  koszyków  jest  wielko

ś

ci

ą

 

wzgl

ę

dn

ą

,  pozwalaj

ą

c

ą

  jedynie  na  porz

ą

dkowanie  i  porównywanie  koszyków  mi

ę

dzy  sob

ą

,  co 

jest zgodne z zało

Ŝ

eniem teorii u

Ŝ

yteczno

ś

ci porz

ą

dkowej (ordynarnej). 

 

 

3.4. Własno

ś

ci funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

Zakładamy, 

Ŝ

e  dane  jest  pole  preferencji 

( )

~

, f

X

.  Je

Ŝ

eli  o  przestrzeni  towarów  X  oraz  o  relacji 

preferencji 

~

f

  nie  posiadamy 

Ŝ

adnych  dodatkowych  informacji,  to  nie  mo

Ŝ

emy  mie

ć

  pewno

ś

ci, 

Ŝ

e 

istnieje  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  zwi

ą

zana  z  t

ą

  relacj

ą

  preferencji. Warunki  istnienia  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

podaje twierdzenie 3.3. 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

6 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Twierdzenie 3.3. 

Je

Ŝ

eli  przestrze

ń

  towarów 

n

R

X

+

=

  i  relacja  preferencji  konsumenta 

~

f

  jest  ci

ą

gła  w 

X

,  to 

istnieje ci

ą

gła funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

1

:

R

X

u

→

 zwi

ą

zana z t

ą

 relacj

ą

. 

 

(Dowód tego twierdzenia jest do

ść

 skomplikowany, dlatego go pomijamy). 

 

Twierdzenie  to  głosi, 

Ŝ

e  ci

ą

gło

ść

  relacji  preferencji  implikuje  ci

ą

gło

ść

  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci. 

Prawdziwe  jest  tak

Ŝ

e  twierdzenie  odwrotne:  relacja  preferencji  konsumenta 

~

f

jest  ci

ą

gła,  je

Ŝ

eli 

zwi

ą

zana z ni

ą

 funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci jest ci

ą

gła. 

 

Ci

ą

gło

ść

 funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci w punkcie oraz na całej przestrzeni 

n

R

+

 definiujemy nast

ę

puj

ą

co: 

 

Funkcja 

1

:

R

R

u

n

→

+

  jest 

ci

ą

gła  w  punkcie 

n

R

x

+

∈

,  je

Ŝ

eli  dla  ka

Ŝ

dego  ci

ą

gu  punktów 

( )

n

k

R

x

+

∈

, 

x

x

k

k

∞

→

→

 

⇒

 

)

(

)

(

x

u

x

u

k

k

∞

→

→

.

 

Funkcja 

1

:

R

R

u

n

→

+

 jest 

ci

ą

gła na 

n

R

+

, je

Ŝ

eli jest ci

ą

gła w ka

Ŝ

dym punkcie tej przestrzeni. 

 

Poniewa

Ŝ

  z  faktu, 

Ŝ

e  istnieje  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci,  wynika, 

Ŝ

e  istnieje  ich  nieprzeliczalna  ilo

ść

 

(patrz poprzedni wniosek punkt 1), wi

ę

c w nast

ę

pnej kolejno

ś

ci nasuwa si

ę

 pytanie: co zatem wiemy 

o tych funkcjach? 

Przy  zało

Ŝ

eniu  słabo  wypukłego  (silnie  wypukłego)  pola  preferencji  i  istnienia  tzw.  zjawiska 

niedosytu w tym polu do podstawowych własno

ś

ci funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci zaliczamy: 

- 

wkl

ę

sło

ść

 (silna quasi-wkl

ę

sło

ść

), 

- 

monotoniczno

ść

 (funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci jest rosn

ą

ca), 

- 

ci

ą

gło

ść

. 

 

Funkcj

ę

 

1

:

R

R

u

n

→

+

 

nazywamy 

wkl

ę

sł

ą

 

(silnie 

wkl

ę

sł

ą

) 

na 

n

R

+

, 

je

Ŝ

eli 

)

(

,

]

1

;

0

[

y

x

R

y

x

n

≠

∈

∀

∈

∀

+

α

 spełniony jest warunek: 

(I)

(

)

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

y

u

x

u

y

x

u

α

α

α

α

−

+

≥

−

+

, w przypadku funkcji wkl

ę

słej, 

(II)

(

)

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

y

u

x

u

y

x

u

α

α

α

α

−

+

>

−

+

, w przypadku funkcji silnie wkl

ę

słej. 

 

Wkl

ę

sło

ść

  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  zwi

ą

zana  jest  z  wypukło

ś

ci

ą

  relacji  preferencji  o  czym  traktuje 

poni

Ŝ

sze twierdzenie: 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

7 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Twierdzenie  3.4.

  Je

Ŝ

eli  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

1

:

R

R

u

n

→

+

  jest  wkl

ę

sła  (silnie  wkl

ę

sła)  na 

n

R

+

,  to relacja preferencji zwi

ą

zana z t

ą

 funkcj

ą

 , jest wypukła (silnie wypukła) na 

n

R

+

.

 

 

Z  kolei  mi

ę

dzy  wkl

ę

sło

ś

ci

ą

  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  i  wypukło

ś

ci

ą

  pola  preferencji  istnieje  zwrotne 

powi

ą

zanie, co opisuje kolejne twierdzenie. 

 

Twierdzenie 3.5. 

Pole  preferencji 

)

,

(

~

f

n

R

+

  jest  słabo  wypukłe  (silnie  wypukłe)  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy 

zwi

ą

zana z nim funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci jest quasi wkl

ę

sła (silnie quasi wkl

ę

sła).  

 

W rozwa

Ŝ

aniach  nad  funkcj

ą

  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  twierdzi  si

ę

, 

Ŝ

e  jest  ona  funkcj

ą

  rosn

ą

ca.  T

ę

  jej  cech

ę

 

wi

ąŜ

e si

ę

 z omawianym ju

Ŝ

 wcze

ś

niej zjawiskiem niedosytu. 

 

Twierdzenie  3.6. 

Je

Ŝ

eli  w  polu  preferencji 

)

,

(

~

f

n

R

+

  wyst

ę

puje  niedosyt,  to  ka

Ŝ

da  funkcja 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci zwi

ą

zana z relacj

ą

 preferencji konsumenta jest rosn

ą

ca i odwrotnie. 

 

Uwaga: 

Funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  zwi

ą

zana  z  ci

ą

gł

ą

  i  słabo  wypukł

ą

  (silnie  wypukł

ą

)  relacj

ą

  preferencji 

w warunkach  niedosytu  jest  funkcj

ą

  ci

ą

gł

ą

,  quasi  wkl

ę

sł

ą

  (silnie  quasi  wkl

ę

sł

ą

)  i  rosn

ą

c

ą

.  Poniewa

Ŝ

 

jest to bardzo obszerna klasa funkcji, dla wygody ogranicza si

ę

 rozwa

Ŝ

ania do funkcji silnie wkl

ę

słych, 

rosn

ą

cych i dwukrotnie ró

Ŝ

niczkowalnych. 

Przy  zało

Ŝ

eniu  dwukrotnej  ró

Ŝ

niczkowalno

ś

ci  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  dostatecznym  warunkiem  jej 

silnej wkl

ę

sło

ś

ci na 

n

R

+

 jest ujemna okre

ś

lono

ść

 macierzy funkcyjnej (hesjanu) H(x): 

 





























∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

n

n

x

x

u

x

x

x

u

x

x

x

u

x

x

x

u

x

x

x

u

x

x

u

x

x

u

x

H

L

M

O

M

M

L

 

 

dla ka

Ŝ

dego  wektora 

0

≥

x

. 

 

3.5. U

Ŝ

yteczno

ś

ci kra

ń

cowe towarów 

Dany  jest  dowolny  koszyk  towarów 

n

n

R

x

x

x

x

+

∈

=

)

,...,

,

(

2

1

.  Zakładamy, 

Ŝ

e  w  koszyku 

zmieniamy  ilo

ść

  i-tego  towaru  o 

i

x

∆

,  natomiast  ilo

ść

  pozostałych  towarów  pozostaje  bez  zmiany. 

Owa 

zmiana 

wywoła 

zmian

ę

 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

koszyka 

dokładnie 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

8 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

o 

)

,...,

,...,

,

(

)

,....,

,...,

,

(

2

1

2

1

n

i

n

i

i

x

x

x

x

u

x

x

x

x

x

u

−

∆

+

. Je

Ŝ

eli zmiana ilo

ś

ci i-tego towaru, tj. 

i

x

∆

 jest 

nieznaczna  (znikoma),  wówczas  stosunek  zmiany  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  koszyka  towarów  do  zmiany 

i

x

∆

 

(procentowy  przyrost  warto

ś

ci    u  na  skutek  przyrostu  warto

ś

ci 

i

x

)  przybli

Ŝ

amy  pochodn

ą

  cz

ą

stkow

ą

 

liczon

ą

 z funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

u

 po zmiennej 

i

x

. 

 

Pochodn

ą

 cz

ą

stkow

ą

 

)

,...,

2

,

1

(

,

)

(

n

i

x

x

u

i

=

∂

∂

nazywamy 

kra

ń

cow

ą

 u

Ŝ

yteczno

ś

ci

ą

 

i-tego towaru 

w koszyku x. 

 

Ze wzgl

ę

du na postulat niedosytu mamy nast

ę

puj

ą

c

ą

 własno

ść

: 

 

n

i

x

x

u

R

x

i

n

,...,

2

,

1

,

0

)

(

,

=

>

∂

∂

∈

∀

+

. 

 
Oznacza  to, 

Ŝ

e  wzrost  ilo

ś

ci  jakiegokolwiek  towaru  w  koszyku  przy  niezmienionych  ilo

ś

ciach 

pozostałych towarów zwi

ę

ksza u

Ŝ

yteczno

ść

 koszyka. 

Natomiast: 

 

n

i

x

x

u

R

x

i

n

,...,

2

,

1

,

0

)

(

,

2

2

=

<

∂

∂

∈

∀

+

, 

 

co oznacza, 

Ŝ

e kra

ń

cowa u

Ŝ

yteczno

ść

 ka

Ŝ

dego towaru maleje w miar

ę

 jak wzrasta jego spo

Ŝ

ycie 

(tzw. prawo Gossena). 

Z  powy

Ŝ

szych  rozwa

Ŝ

a

ń

  wynika, 

Ŝ

e  powierzchni

ę

  oboj

ę

tno

ś

ci  mo

Ŝ

na  zdefiniowa

ć

  równie

Ŝ

 

w terminach funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci: 

 

}

{

n

n

x

R

x

x

u

y

u

R

y

K

+

+

∈

=

∈

=

,

)

(

)

(

:

, 

 

co interpretujemy nast

ę

puj

ą

co: powierzchni

ę

 oboj

ę

tno

ś

ci tworzy zbiór takich koszyków towarów y, 

których u

Ŝ

yteczno

ść

 jest równa u

Ŝ

yteczno

ś

ci koszyka wzorcowego x. 

 

Przykład 3.3.  

Funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

1

2

:

R

R

u

→

+

dana  jest  wzorem 

2

2

1

)

(

x

x

x

u

+

=

.  Liczymy  pochodne 

cz

ą

stkowe 

1

x

u

∂

∂

 oraz 

2

x

u

∂

∂

:   

1

1

2x

x

u

=

∂

∂

 oraz 

2

x

u

∂

∂

=1. 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

9 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Pochodna  cz

ą

stkowa 

1

x

u

∂

∂

  (

2

x

u

∂

∂

)  to  kra

ń

cowa  u

Ŝ

yteczno

ść

  1-go  (2-go)  towaru.  Informuje  o  ile 

(w przybli

Ŝ

eniu) zmieni si

ę

 u

Ŝ

yteczno

ść

 koszyka x, je

Ŝ

eli x

1

 ( x

2

) wzro

ś

nie (zmaleje) o jednostk

ę

, przy 

zało

Ŝ

eniu, 

Ŝ

e ilo

ść

 2-go (1-go) towaru nie ulegnie zmianie.  

 

 

3.6. Kra

ń

cowa stopa substytucji i elastyczno

ść

 substytucji towarów 

 

Dany  jest  dowolny  koszyk  towarów 

0

>

x

.  Zakładamy, 

Ŝ

e  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  konsumenta 

w punkcie x przyjmuje pewn

ą

 stał

ą

 warto

ść

 c>0. Na podstawie przyj

ę

tych zało

Ŝ

e

ń

 obszar oboj

ę

tno

ś

ci 

wzgl

ę

dem koszyka x mo

Ŝ

emy zatem zapisa

ć

 w postaci: 

 

{

}

c

x

u

R

x

K

n

x

=

∈

=

+

)

(

:

 

 

W  koszyku 

)

,...,

(

1

n

x

x

x

=

  mo

Ŝ

emy  wybra

ć

  dowoln

ą

  zmienn

ą

 

i

x

  i  zada

ć

  pytanie,  jak  powinna 

zmieni

ć

 si

ę

 jej warto

ść

 by u

Ŝ

yteczno

ść

 całego koszyka pozostała na niezmienionym, dotychczasowym 

poziomie, je

Ŝ

eli zmianie uległy ilo

ś

ci pozostałych elementów tego koszyka.  

Rozwa

Ŝ

my  przypadek  dwuwymiarowy 

)

(

2

+

=

R

X

.  Je

Ŝ

eli  zało

Ŝ

ymy, 

Ŝ

e  w  koszyku 

)

,

(

2

1

x

x

x

=

 

zmniejszamy  ilo

ść

 

1

x

  o 

1

x

∆

  (

1

x

∆

<0),  natomiast  warto

ść

 

2

x

  nie  ulega  zmianie,  to  u

Ŝ

yteczno

ść

 

koszyka  x  spadnie  (poniewa

Ŝ

  funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  jest  rosn

ą

ca).  Spadek  ten  mo

Ŝ

emy 

zrekompensowa

ć

 wzrostem ilo

ś

ci drugiego dobra 

2

x

 o odpowiedni

ą

 wielko

ść

  

2

x

∆

 (

2

x

∆

>0), tak aby 

u

Ŝ

yteczno

ść

 koszyka towarów x po zmianie obu warto

ś

ci 

1

x

 oraz 

2

x

była równa u

Ŝ

yteczno

ś

ci koszyka 

wyj

ś

ciowego.  

W ogólnym przypadku rekompensowanie spadku u

Ŝ

yteczno

ś

ci na skutek zmniejszenia ilo

ś

ci i-tego 

towaru  poprzez  zwi

ę

kszenie  ilo

ś

ci  j-tego  towaru 

(

)

j

i

≠

,  tak  by  u

Ŝ

yteczno

ść

  nowego  koszyka 

pozostawała  na  dotychczasowym  niezmienionym  poziomie  nazywamy  substytucj

ą

  (zamian

ą

)  i-tego 

towaru przez j-ty towar. 

 

Wyra

Ŝ

enie 

j

i

x

x

u

x

x

u

x

S

j

i

ij

≠

∂

∂

÷

∂

∂

=

,

)

(

)

(

)

(

  nazywamy 

kra

ń

cow

ą

  stop

ą

  substytucji

  i-tego 

towaru przez j-ty towar w koszyku x. 

 

Wyra

Ŝ

enie 

j

i

x

x

x

x

u

x

x

u

x

E

j

i

j

i

S

ij

≠

∂

∂

÷

∂

∂

=

,

)

)

(

)

(

(

)

(

  nazywamy 

elastyczno

ś

ci

ą

  substytucji

  i-tego 

towaru przez j-ty towar w koszyku x. 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

10 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Kra

ń

cowa stopa substytucji mówi o ile powinno si

ę

 zwi

ę

kszy

ć

 ilo

ść

 j-tego towaru przy zmniejszeniu 

o jednostk

ę

 ilo

ś

ci i-tego towaru , aby u

Ŝ

yteczno

ść

 koszyka towarów nie zmieniła si

ę

. 

 

Elastyczno

ść

  substytucji  mówi  o  ile  procent  powinno  si

ę

  zwi

ę

kszy

ć

  ilo

ść

  j-tego  towaru  przy 

zmniejszeniu o jeden procent  ilo

ś

ci i-tego towaru , aby u

Ŝ

yteczno

ść

 koszyka towarów pozostała taka 

sama. 

 

Przykład 3.4. 

Załó

Ŝ

my, 

Ŝ

e  konsumenta  interesuj

ą

  tylko  dwa  dobra,  a  jego  preferencje  opisuje  funkcja 

u

Ŝ

yteczno

ś

ci 

1

2

:

R

R

u

→

+

  dana  wzorem 

(

)

2

1

2

1

2

))

,

((

x

x

x

x

u

+

=

.  We

ź

my  koszyk  towarów  (2,3), 

którego u

Ŝ

yteczno

ść

 wynosi: 

10

)

3

2

(

2

))

3

,

2

((

=

+

×

=

u

.  Wówczas  obszar  oboj

ę

tno

ś

ci  wzgl

ę

dem 

tego  koszyka  mo

Ŝ

emy  zapisa

ć

  w  postaci: 

(

)

{

}

10

2

:

)

,

(

2

1

2

2

1

)

3

,

2

(

=

+

∈

=

+

x

x

R

x

x

K

.  Zgodnie  z 

definicj

ą

  obszar  oboj

ę

tno

ś

ci 

)

3

,

2

(

K

  jest  zbiorem  wszystkich  koszyków 

)

,

(

2

1

x

x

x

=

,  których 

u

Ŝ

yteczno

ść

 równa jest 10.  

 

Załó

Ŝ

my, 

Ŝ

e konsument chce zmniejszy

ć

 spo

Ŝ

ycie drugiego dobra o 

1

 jednostk

ę

. Pytamy o ile 

konsument  musi  zwi

ę

kszy

ć

  w  koszyku  ilo

ść

  dobra  pierwszego  by  zmieniony  koszyk  towarów 

dostarczał  mu  tyle  samo  satysfakcji  co  koszyk  wyj

ś

ciowy  (2,3)?  Wyznaczamy  w  tym  celu  kra

ń

cow

ą

 

stop

ę

 substytucji 

1

2

21

)

(

)

(

)

(

x

x

u

x

x

u

x

S

∂

∂

÷

∂

∂

=

.  

 

Poniewa

Ŝ

  

(

)

2

1

2

1

2

))

,

((

x

x

x

x

u

+

=

, to 

2

)

(

1

=

∂

∂

x

x

u

 oraz 

2

)

(

2

=

∂

∂

x

x

u

. St

ą

d otrzymujemy: 

 

1

1

2

2

)

(

21

=

=

x

S

. 

 

Wynika  st

ą

d, 

Ŝ

e  jedn

ą

  jednostk

ę

  drugiego  dobra  musimy  zast

ą

pi

ć

  dodatkow

ą

  jednostk

ą

  dobra 

pierwszego.  Nowy  koszyk  konsumenta,  który  dostarczy  mu  w  tym  wypadku  tyle  samo  satysfakcji  co 

koszyk wyj

ś

ciowy, to koszyk 

( )

2

,

3

. Koszyki 

( )

3

,

2

 i 

( )

2

,

3

 s

ą

 zatem indyferentne. 

 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

11 

Ekonomia matematyczna I 

 
  

Podsumowanie: 

1.  Funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci jest alternatywnym sposobem wyra

Ŝ

enia preferencji konsumenta.  

2.  Funkcja u

Ŝ

yteczno

ś

ci pozwala w sposób wymierny wyrazi

ć

 logiczn

ą

 relacj

ę

 preferencji. 

3.  Własno

ś

ci  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci,  podobnie  jak  zało

Ŝ

enia  teorii  preferencji,  wyprowadzone  s

ą

 

z kategorii rynku doskonałego.  

4.  Funkcja  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  mo

Ŝ

e  by

ć

  szacowana  ekonometrycznie,  nawet  przy  zastosowaniu  do 

pomiaru u

Ŝ

yteczno

ś

ci skali porz

ą

dkowej.  

5.  Z  funkcji  u

Ŝ

yteczno

ś

ci  wyprowadza  si

ę

  miary  pozwalaj

ą

ce  ilo

ś

ciowo  wyrazi

ć

  zjawisko 

substytucji,  komplementarno

ś

ci  oraz  neutralno

ś

ci  towarów  (w  tym  miejscu  proponujemy 

studentom si

ę

gn

ąć

 do podr

ę

czników z mikroekonomii). 

 

 

Pytania kontrolne: 

1.  Podaj definicj

ę

 funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci. 

2.  Na czym polega zjawisko substytucji towarów? Podaj definicj

ę

 kra

ń

cowej stopy substytucji. 

3.  Jak

ą

 własno

ść

 funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci implikuje prawo Gossena? 

4.  Z czego wynika zało

Ŝ

enie o ci

ą

gło

ś

ci funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci? 

5.  Dlaczego zakładamy o funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci, 

Ŝ

e jest rosn

ą

ca? 

6.  Podaj  definicj

ę

  elastyczno

ś

ci  substytucji  towarów  w  koszyku  dla  przypadku  ci

ą

głej  i  dyskretnej 

funkcji u

Ŝ

yteczno

ś

ci. 

7.  Dla jakich dóbr kra

ń

cowa stopa substytucji przyjmuje warto

ść

 zero, dla jakich warto

ś

ci dodatnie, 

a dla jakich ujemne?