dr Agnieszka Bobrowska

1

Ekonomia matematyczna I

Wykład 3

3. Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci i jej własno

ś

ci

1

3.1. U

ż

yteczno

ść

kardynalna i ordynalna jako kategorie ekonomiczne

Z relacj

ą

preferencji, o której była mowa w pierwszym paragrafie, wi

ąż

e si

ę

ś

ci

ś

le poj

ę

cie

u

ż

yteczno

ś

ci oraz funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

2

.

Rozwa

ż

ania nad u

ż

yteczno

ś

ci

ą

dóbr wywodz

ą

si

ę

z filozofii utylitarystycznej (j. Bentham), w której

zakładano,

ż

e człowiek d

ąż

y w swoich działaniach do osi

ą

gni

ę

cia maksimum satysfakcji,

przyjemno

ś

ci, czy innych pozytywnych subiektywnych dozna

ń

.

Ź

ródłem owych dozna

ń

mo

ż

e by

ć

konsumpcja dóbr. St

ą

d u

ż

yteczno

ść

potraktowano jako cech

ę

dobra, wynikaj

ą

c

ą

z jego własno

ś

ci,

polegaj

ą

c

ą

na wywoływaniu subiektywnych odczu

ć

, które daje konsumentowi spo

ż

ycie dobra.

U

ż

yteczno

ść

jest w tym rozumieniu definiowana jako zdolno

ść

towaru do zaspokojenia potrzeb

konsumenta. Mimo, wydawałoby si

ę

oczywisto

ś

ci definicji u

ż

yteczno

ś

ci, pojawiaj

ą

si

ę

trudno

ś

ci

pomiaru tej kategorii. U

ż

yteczno

ść

jest bowiem nieodzownie zwi

ą

zana z subiektywnym odczuciem

konsumenta. To samo dobro mo

ż

e by

ć

ró

ż

nie oceniane przez ró

ż

nych konsumentów, a ponadto temu

samemu konsumentowi mo

ż

e przynosi

ć

ró

ż

ny poziom u

ż

yteczno

ś

ci w rozmaitych warunkach.

Odwołajmy si

ę

do klasycznych przykładów: je

ż

eli jeste

ś

my głodni, to ta sama bułka b

ę

dzie miała

nieporównywalnie wi

ę

ksz

ą

u

ż

yteczno

ść

ni

ż

w sytuacji, kiedy zjedli

ś

my wła

ś

nie obiad; szklanka wody

dla konsumenta latem b

ę

dzie miała wy

ż

sz

ą

u

ż

yteczno

ść

ni

ż

dla tego samego konsumenta w

ś

rodku

zimy.

Pocz

ą

tkowo u

ż

yteczno

ść

była traktowana przez ekonomistów jako pewien rodzaj liczbowej miary

zadowolenia konsumenta z konsumpcji dóbr, co miało umo

ż

liwi

ć

porównania interpersonalne.

Zaproponowano nawet nazw

ę

jednostki miary u

ż

yteczno

ś

ci -utyl. Takie podej

ś

cie było wła

ś

ciwe dla

tzw. kardynalnej teorii u

ż

yteczno

ś

ci. Koncepcja ta była krytykowana jako zbyt idealistyczna, a badania

nad wyborami konsumenta doprowadziły do powstania kolejnej teorii u

ż

yteczno

ś

ci porz

ą

dkowej

(ordynalnej). Koncepcja ta zakłada,

ż

e konsument dokonuj

ą

c wyborów dóbr wyra

ż

a swoje preferencje,

a u

ż

yteczno

ść

jest zmienn

ą

wskazuj

ą

c

ą

na kolejno

ść

preferencji indywidualnego konsumenta.

Zgodnie z teori

ą

u

ż

yteczno

ś

ci kardynalnej mo

ż

liwe jest stwierdzenie, i

ż

okre

ś

lony koszyk towarów

ma dla konsumenta u

ż

yteczno

ść

trzykrotnie wi

ę

ksz

ą

od innego koszyka. Według teorii u

ż

yteczno

ś

ci

ordynalnej mo

ż

na ustali

ć

jedynie, i

ż

dany koszyk jest dla konsumenta bardziej u

ż

yteczny ni

ż

inny. Nie

mo

ż

na jednak zmierzy

ć

tej ró

ż

nicy przy pomocy silnej skali pomiarowej.

1

Wykład opracowany na podstawie E. Panek: Ekonomia matematyczna, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu,

Pozna

ń

2000, rozdział 1

2

Proponujemy przypomnie

ć

sobie kategori

ę

u

ż

yteczno

ś

ci z podr

ę

czników z zakresu mikroekonomii np.

B. Klimczak, Mikroekonomia, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław
2001, H. R. Varian, Mikroekonomia, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, lub inne

dr Agnieszka Bobrowska

2

Ekonomia matematyczna I

3.2. Definicja funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci stanowi liczbow

ą

charakterystyk

ę

pola preferencji, wyra

ż

a stopie

ń

zadowolenia konsumenta z nabycia okre

ś

lonego koszyka towarów. Mo

ż

na j

ą

wyrazi

ć

w postaci tzw.

indykatora preferencji, który daje si

ę

szacowa

ć

metodami ekonometrycznymi. Jest ona bardzo wa

ż

na,

poniewa

ż

o ile poj

ę

cie relacji preferencji umo

ż

liwia uporz

ą

dkowanie zbioru X, czyli przestrzeni

towarów oraz znajduje zastosowanie jedynie w rozwa

ż

aniach teoretycznych, o tyle funkcja

u

ż

yteczno

ś

ci umo

ż

liwia wyra

ż

enie w sposób wymierny stopnia zadowolenia konsumenta

(u

ż

yteczno

ś

ci) z nabycia konkretnego koszyka towarów, a co si

ę

z tym wi

ąż

e, cz

ę

sto znajduje

praktyczne zastosowanie. Dlatego wła

ś

nie przedmiotem niniejszego paragrafu b

ę

dzie funkcja

u

ż

yteczno

ś

ci, jej własno

ś

ci oraz inne zwi

ą

zane z ni

ą

poj

ę

cia i twierdzenia.

Okre

ś

lon

ą

na przestrzeni towarów funkcj

ę

1

:

R

X

u

→

nazywamy

funkcj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci

konsumenta, je

ż

eli dla dowolnej pary koszyków x, y

∈

X spełnia ona warunek:

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

f

⇔

≥

.

Inaczej mówi

ą

c, funkcja u

ż

yteczno

ś

ci jest funkcj

ą

przyporz

ą

dkowuj

ą

c

ą

danemu koszykowi

towarów

X

x

∈

konkretn

ą

warto

ść

liczbow

ą

(dodatni

ą

, ujemn

ą

lub równ

ą

zero), wyra

ż

aj

ą

c

ą

stopie

ń

zadowolenia konsumenta z nabycia tego wła

ś

nie koszyka, czyli tzw.

u

ż

yteczno

ść

tego koszyka.

3.3. Przykładowe funkcje u

ż

yteczno

ś

ci

Przykłady funkcji u

ż

yteczno

ś

ci:

1. Funkcja multiplikatywna:

0

),

,...,

1

(

,

0

,

1

0

,

)

(

1

>

=

≥

<

<

=

Π

=

a

n

i

x

x

a

x

u

i

i

i

n

i

i

α

α

2. Funkcja addytywna:

)

,...,

1

(

0

,

1

0

,

0

,

)

(

1

n

i

x

a

x

a

x

u

i

i

i

n

i

i

i

i

=

≥

<

<

>

=

∑

=

β

β

3. Funkcja logarytmiczna:

)

,...,

1

(

0

,

0

,

ln

)

(

1

n

i

x

a

x

a

x

u

i

i

n

i

i

i

=

>

>

=

∑

=

dr Agnieszka Bobrowska

3

Ekonomia matematyczna I

4. Funkcja kwadratowa:

∑

∑

∑

=

=

=

=

>

+

+

=

n

i

i

ij

j

n

j

i

j

i

ij

n

i

i

i

n

j

x

b

a

x

x

b

x

a

x

u

1

1

,

1

)

,...,

1

(

0

2

/

1

)

(

B=(b

ij

) - ujemnie okre

ś

lona forma kwadratowa

Przykład 3.1.

Załó

ż

my,

ż

e na rynek dostarczane s

ą

dwa konkretne dobra

2

1

, x

x

, a koszyki towarów zawieraj

ą

ce

te towary nale

żą

do przestrzeni X

(

)

(

)

X

x

x

∈

2

1

,

. Konsument dokonuje wyboru pomi

ę

dzy dwoma

koszykami: (2,5) oraz (5,5). Wiedz

ą

c,

ż

e funkcja u

ż

yteczno

ś

ci tego konsumenta jest postaci:

u:

(

)

1

2

1

2

,

x

x

x

a

, okre

ś

li

ć

jaka relacja preferencji zachodzi pomi

ę

dzy tymi koszykami towarów.

Rozwi

ą

zanie:

Poniewa

ż

funkcja u

ż

yteczno

ś

ci została konkretnie zadana, to mo

ż

emy okre

ś

li

ć

u

ż

yteczno

ść

ka

ż

dego z koszyków (2,5) i (5,5):

( )

4

2

2

5

,

2

=

×

=

u

oraz

( )

.

10

5

2

5

,

5

=

×

=

u

Poniewa

ż

10

≥

4, st

ą

d mamy: u(5,5)

≥

u(2,5). Z definicji u wiemy natomiast,

ż

e

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

f

⇒

≥

. Zatem ostatecznie otrzymujemy

( ) ( )

5

,

2

5

,

5

~

f

i jest to odpowied

ź

na zadane

pytanie.

Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci u wyra

ż

a subiektywny stosunek konsumenta do oferowanych na rynku

koszyków towarów. Zatem dla ró

ż

nych konsumentów, ten sam koszyk towarów mo

ż

e prezentowa

ć

ró

ż

n

ą

warto

ść

u

ż

ytkow

ą

.

Bezpo

ś

rednio z definicji funkcji u

ż

yteczno

ś

ci wynika nast

ę

puj

ą

ce twierdzenie:

Twierdzenie 3.1.

Je

ż

eli

1

:

R

X

u

→

jest funkcj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zan

ą

z relacj

ą

preferencji

~

f

, to prawdziwe s

ą

zdania:

dr Agnieszka Bobrowska

4

Ekonomia matematyczna I

(I)

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

⇔

=

,

(II)

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

f

⇔

>

.

Dowód (I):

Niech

1

:

R

X

u

→

funkcja u

ż

yteczno

ś

ci konsumenta.

Udowodnijmy najpierw,

ż

e

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

⇒

=

.

Załó

ż

my zatem,

ż

e

( ) ( )

y

u

x

u

=

. St

ą

d otrzymujemy,

ż

e równocze

ś

nie

( ) ( )

y

u

x

u

≥

oraz

( ) ( )

.

y

u

x

u

≤

Z

definicji

funkcji

u

ż

yteczno

ś

ci

wiemy,

ż

e

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

f

⇒

≥

oraz

( ) ( )

x

y

y

u

x

u

~

f

⇒

≤

. Skoro jednocze

ś

nie

y

x

~

f

i

x

y

~

f

, to z definicji indyferentnych koszyków

towarów otrzymujemy

y

x ~

. Zatem pokazali

ś

my,

ż

e

( ) ( )

y

x

y

u

x

u

~

⇒

=

.

Poka

ż

emy teraz,

ż

e implikacja w drug

ą

stron

ę

, czyli

( ) ( )

y

u

x

u

y

x

=

⇒

~

równie

ż

zachodzi.

Załó

ż

my wi

ę

c,

ż

e

y

x ~

, to znaczy,

ż

e

y

x

~

f

i

x

y

~

f

jednocze

ś

nie. Z definicji funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

wiemy natomiast,

ż

e

( ) ( )

y

u

x

u

y

x

≥

⇒

~

f

oraz

( ) ( )

y

u

x

u

x

y

≤

⇒

~

f

. Zatem

( ) ( )

y

u

x

u

≥

oraz

( ) ( )

.

y

u

x

u

≤

, co jest równowa

ż

ne

( ) ( )

y

u

x

u

=

. Ostatecznie pokazali

ś

my,

ż

e (I)

■

Dowód (II):

Proponujemy zapozna

ć

si

ę

z dowodem prawdziwo

ś

ci zdania (II) w E. Panek „Ekonomia

matematyczna”, Pozna

ń

2000, str. 37.

Twierdzenie 3.2.

Je

ż

eli

1

:

R

X

u

→

jest funkcj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zan

ą

z relacj

ą

preferencji,

~

f

oraz

1

1

:

R

R

g

→

jest funkcj

ą

rosn

ą

c

ą

, to superpozycja (zło

ż

enie funkcji)

u

g o

te

ż

jest

funkcj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci konsumenta zwi

ą

zan

ą

z t

ą

relacj

ą

.

(Dowód twierdzenia 3.2. w ksi

ąż

ce: E. Panek „Ekonomia matematyczna”, Pozna

ń

2000, str. 37-38).

dr Agnieszka Bobrowska

5

Ekonomia matematyczna I

Przykład 3.2.

Niech

1

:

R

R

u

n

→

+

b

ę

dzie funkcj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zan

ą

z relacj

ą

preferencji konsumenta

~

f

.

Niech funkcja

1

1

:

R

R

g

→

dana b

ę

dzie wzorem:

b

ax

x

g

+

=

)

(

, gdzie a,b>0- dowolne stałe,

a funkcja

1

1

:

R

R

h

→

wzorem:

x

a

x

h

)

1

(

)

(

+

=

. Poniewa

ż

))

(

)

(

(

)

(

,

1

y

g

x

g

y

x

R

y

x

<

⇒

<

∈

∀

oraz

))

(

)

(

(

)

(

,

1

y

h

x

h

y

x

R

y

x

<

⇒

<

∈

∀

, to zarówno funkcja g jak i h s

ą

rosn

ą

ce.

Zatem funkcje postaci:

b

x

au

x

u

g

+

=

)

(

))

(

(

)

(

)

1

(

))

(

(

x

u

a

x

u

h

+

=

s

ą

tak

ż

e funkcjami opisuj

ą

cymi t

ę

sam

ą

relacj

ę

preferencji co funkcja u.

Wnioski:

1. Z twierdzenia 3.2. oraz przykładu 3.2. wnioskujemy,

ż

e funkcji u

ż

yteczno

ś

ci (oprócz wyj

ś

ciowej)

zwi

ą

zanych z dan

ą

relacj

ą

preferencji jest wi

ę

cej ni

ż

jedna, a dokładnie jest ich niesko

ń

czenie

wiele i s

ą

one zło

ż

eniem wyj

ś

ciowej funkcji u

ż

yteczno

ś

ci z funkcjami rosn

ą

cymi.

2. Na podstawie poprzedniego wniosku otrzymujemy,

ż

e dla ró

ż

nych funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

zwi

ą

zanych z dan

ą

relacj

ą

preferencji, u

ż

yteczno

ść

danego koszyka towarów x mo

ż

e przyj

ąć

ró

ż

ne warto

ś

ci liczbowe. Zatem nale

ż

y pami

ę

ta

ć

,

ż

e u

ż

yteczno

ść

koszyków jest wielko

ś

ci

ą

wzgl

ę

dn

ą

, pozwalaj

ą

c

ą

jedynie na porz

ą

dkowanie i porównywanie koszyków mi

ę

dzy sob

ą

, co

jest zgodne z zało

ż

eniem teorii u

ż

yteczno

ś

ci porz

ą

dkowej (ordynarnej).

3.4. Własno

ś

ci funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

Zakładamy,

ż

e dane jest pole preferencji

( )

~

, f

X

. Je

ż

eli o przestrzeni towarów X oraz o relacji

preferencji

~

f

nie posiadamy

ż

adnych dodatkowych informacji, to nie mo

ż

emy mie

ć

pewno

ś

ci,

ż

e

istnieje funkcja u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zana z t

ą

relacj

ą

preferencji. Warunki istnienia funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

podaje twierdzenie 3.3.

dr Agnieszka Bobrowska

6

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 3.3.

Je

ż

eli przestrze

ń

towarów

n

R

X

+

=

i relacja preferencji konsumenta

~

f

jest ci

ą

gła w

X

, to

istnieje ci

ą

gła funkcja u

ż

yteczno

ś

ci

1

:

R

X

u

→

zwi

ą

zana z t

ą

relacj

ą

.

(Dowód tego twierdzenia jest do

ść

skomplikowany, dlatego go pomijamy).

Twierdzenie to głosi,

ż

e ci

ą

gło

ść

relacji preferencji implikuje ci

ą

gło

ść

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci.

Prawdziwe jest tak

ż

e twierdzenie odwrotne: relacja preferencji konsumenta

~

f

jest ci

ą

gła, je

ż

eli

zwi

ą

zana z ni

ą

funkcja u

ż

yteczno

ś

ci jest ci

ą

gła.

Ci

ą

gło

ść

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci w punkcie oraz na całej przestrzeni

n

R

+

definiujemy nast

ę

puj

ą

co:

Funkcja

1

:

R

R

u

n

→

+

jest

ci

ą

gła w punkcie

n

R

x

+

∈

, je

ż

eli dla ka

ż

dego ci

ą

gu punktów

( )

n

k

R

x

+

∈

,

x

x

k

k

∞

→

→

⇒

)

(

)

(

x

u

x

u

k

k

∞

→

→

.

Funkcja

1

:

R

R

u

n

→

+

jest

ci

ą

gła na

n

R

+

, je

ż

eli jest ci

ą

gła w ka

ż

dym punkcie tej przestrzeni.

Poniewa

ż

z faktu,

ż

e istnieje funkcja u

ż

yteczno

ś

ci, wynika,

ż

e istnieje ich nieprzeliczalna ilo

ść

(patrz poprzedni wniosek punkt 1), wi

ę

c w nast

ę

pnej kolejno

ś

ci nasuwa si

ę

pytanie: co zatem wiemy

o tych funkcjach?

Przy zało

ż

eniu słabo wypukłego (silnie wypukłego) pola preferencji i istnienia tzw. zjawiska

niedosytu w tym polu do podstawowych własno

ś

ci funkcji u

ż

yteczno

ś

ci zaliczamy:

-

wkl

ę

sło

ść

(silna quasi-wkl

ę

sło

ść

),

-

monotoniczno

ść

(funkcja u

ż

yteczno

ś

ci jest rosn

ą

ca),

-

ci

ą

gło

ść

.

Funkcj

ę

1

:

R

R

u

n

→

+

nazywamy

wkl

ę

sł

ą

(silnie

wkl

ę

sł

ą

)

na

n

R

+

,

je

ż

eli

)

(

,

]

1

;

0

[

y

x

R

y

x

n

≠

∈

∀

∈

∀

+

α

spełniony jest warunek:

(I)

(

)

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

y

u

x

u

y

x

u

α

α

α

α

−

+

≥

−

+

, w przypadku funkcji wkl

ę

słej,

(II)

(

)

)

(

)

1

(

)

(

)

1

(

y

u

x

u

y

x

u

α

α

α

α

−

+

>

−

+

, w przypadku funkcji silnie wkl

ę

słej.

Wkl

ę

sło

ść

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zana jest z wypukło

ś

ci

ą

relacji preferencji o czym traktuje

poni

ż

sze twierdzenie:

dr Agnieszka Bobrowska

7

Ekonomia matematyczna I

Twierdzenie 3.4.

Je

ż

eli funkcja u

ż

yteczno

ś

ci

1

:

R

R

u

n

→

+

jest wkl

ę

sła (silnie wkl

ę

sła) na

n

R

+

, to relacja preferencji zwi

ą

zana z t

ą

funkcj

ą

, jest wypukła (silnie wypukła) na

n

R

+

.

Z kolei mi

ę

dzy wkl

ę

sło

ś

ci

ą

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci i wypukło

ś

ci

ą

pola preferencji istnieje zwrotne

powi

ą

zanie, co opisuje kolejne twierdzenie.

Twierdzenie 3.5.

Pole preferencji

)

,

(

~

f

n

R

+

jest słabo wypukłe (silnie wypukłe) wtedy i tylko wtedy, gdy

zwi

ą

zana z nim funkcja u

ż

yteczno

ś

ci jest quasi wkl

ę

sła (silnie quasi wkl

ę

sła).

W rozwa

ż

aniach nad funkcj

ą

u

ż

yteczno

ś

ci twierdzi si

ę

,

ż

e jest ona funkcj

ą

rosn

ą

ca. T

ę

jej cech

ę

wi

ąż

e si

ę

z omawianym ju

ż

wcze

ś

niej zjawiskiem niedosytu.

Twierdzenie 3.6.

Je

ż

eli w polu preferencji

)

,

(

~

f

n

R

+

wyst

ę

puje niedosyt, to ka

ż

da funkcja

u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zana z relacj

ą

preferencji konsumenta jest rosn

ą

ca i odwrotnie.

Uwaga:

Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci zwi

ą

zana z ci

ą

gł

ą

i słabo wypukł

ą

(silnie wypukł

ą

) relacj

ą

preferencji

w warunkach niedosytu jest funkcj

ą

ci

ą

gł

ą

, quasi wkl

ę

sł

ą

(silnie quasi wkl

ę

sł

ą

) i rosn

ą

c

ą

. Poniewa

ż

jest to bardzo obszerna klasa funkcji, dla wygody ogranicza si

ę

rozwa

ż

ania do funkcji silnie wkl

ę

słych,

rosn

ą

cych i dwukrotnie ró

ż

niczkowalnych.

Przy zało

ż

eniu dwukrotnej ró

ż

niczkowalno

ś

ci funkcji u

ż

yteczno

ś

ci dostatecznym warunkiem jej

silnej wkl

ę

sło

ś

ci na

n

R

+

jest ujemna okre

ś

lono

ść

macierzy funkcyjnej (hesjanu) H(x):





























∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

2

2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n

n

n

n

x

x

u

x

x

x

u

x

x

x

u

x

x

x

u

x

x

x

u

x

x

u

x

x

u

x

H

L

M

O

M

M

L

dla ka

ż

dego wektora

0

≥

x

.

3.5. U

ż

yteczno

ś

ci kra

ń

cowe towarów

Dany jest dowolny koszyk towarów

n

n

R

x

x

x

x

+

∈

=

)

,...,

,

(

2

1

. Zakładamy,

ż

e w koszyku

zmieniamy ilo

ść

i-tego towaru o

i

x

∆

, natomiast ilo

ść

pozostałych towarów pozostaje bez zmiany.

Owa

zmiana

wywoła

zmian

ę

u

ż

yteczno

ś

ci

koszyka

dokładnie

dr Agnieszka Bobrowska

8

Ekonomia matematyczna I

o

)

,...,

,...,

,

(

)

,....,

,...,

,

(

2

1

2

1

n

i

n

i

i

x

x

x

x

u

x

x

x

x

x

u

−

∆

+

. Je

ż

eli zmiana ilo

ś

ci i-tego towaru, tj.

i

x

∆

jest

nieznaczna (znikoma), wówczas stosunek zmiany u

ż

yteczno

ś

ci koszyka towarów do zmiany

i

x

∆

(procentowy przyrost warto

ś

ci u na skutek przyrostu warto

ś

ci

i

x

) przybli

ż

amy pochodn

ą

cz

ą

stkow

ą

liczon

ą

z funkcji u

ż

yteczno

ś

ci

u

po zmiennej

i

x

.

Pochodn

ą

cz

ą

stkow

ą

)

,...,

2

,

1

(

,

)

(

n

i

x

x

u

i

=

∂

∂

nazywamy

kra

ń

cow

ą

u

ż

yteczno

ś

ci

ą

i-tego towaru

w koszyku x.

Ze wzgl

ę

du na postulat niedosytu mamy nast

ę

puj

ą

c

ą

własno

ść

:

n

i

x

x

u

R

x

i

n

,...,

2

,

1

,

0

)

(

,

=

>

∂

∂

∈

∀

+

.

Oznacza to,

ż

e wzrost ilo

ś

ci jakiegokolwiek towaru w koszyku przy niezmienionych ilo

ś

ciach

pozostałych towarów zwi

ę

ksza u

ż

yteczno

ść

koszyka.

Natomiast:

n

i

x

x

u

R

x

i

n

,...,

2

,

1

,

0

)

(

,

2

2

=

<

∂

∂

∈

∀

+

,

co oznacza,

ż

e kra

ń

cowa u

ż

yteczno

ść

ka

ż

dego towaru maleje w miar

ę

jak wzrasta jego spo

ż

ycie

(tzw. prawo Gossena).

Z powy

ż

szych rozwa

ż

a

ń

wynika,

ż

e powierzchni

ę

oboj

ę

tno

ś

ci mo

ż

na zdefiniowa

ć

równie

ż

w terminach funkcji u

ż

yteczno

ś

ci:

}

{

n

n

x

R

x

x

u

y

u

R

y

K

+

+

∈

=

∈

=

,

)

(

)

(

:

,

co interpretujemy nast

ę

puj

ą

co: powierzchni

ę

oboj

ę

tno

ś

ci tworzy zbiór takich koszyków towarów y,

których u

ż

yteczno

ść

jest równa u

ż

yteczno

ś

ci koszyka wzorcowego x.

Przykład 3.3.

Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci

1

2

:

R

R

u

→

+

dana jest wzorem

2

2

1

)

(

x

x

x

u

+

=

. Liczymy pochodne

cz

ą

stkowe

1

x

u

∂

∂

oraz

2

x

u

∂

∂

:

1

1

2x

x

u

=

∂

∂

oraz

2

x

u

∂

∂

=1.

dr Agnieszka Bobrowska

9

Ekonomia matematyczna I

Pochodna cz

ą

stkowa

1

x

u

∂

∂

(

2

x

u

∂

∂

) to kra

ń

cowa u

ż

yteczno

ść

1-go (2-go) towaru. Informuje o ile

(w przybli

ż

eniu) zmieni si

ę

u

ż

yteczno

ść

koszyka x, je

ż

eli x

1

( x

2

) wzro

ś

nie (zmaleje) o jednostk

ę

, przy

zało

ż

eniu,

ż

e ilo

ść

2-go (1-go) towaru nie ulegnie zmianie.

3.6. Kra

ń

cowa stopa substytucji i elastyczno

ść

substytucji towarów

Dany jest dowolny koszyk towarów

0

>

x

. Zakładamy,

ż

e funkcja u

ż

yteczno

ś

ci konsumenta

w punkcie x przyjmuje pewn

ą

stał

ą

warto

ść

c>0. Na podstawie przyj

ę

tych zało

ż

e

ń

obszar oboj

ę

tno

ś

ci

wzgl

ę

dem koszyka x mo

ż

emy zatem zapisa

ć

w postaci:

{

}

c

x

u

R

x

K

n

x

=

∈

=

+

)

(

:

W koszyku

)

,...,

(

1

n

x

x

x

=

mo

ż

emy wybra

ć

dowoln

ą

zmienn

ą

i

x

i zada

ć

pytanie, jak powinna

zmieni

ć

si

ę

jej warto

ść

by u

ż

yteczno

ść

całego koszyka pozostała na niezmienionym, dotychczasowym

poziomie, je

ż

eli zmianie uległy ilo

ś

ci pozostałych elementów tego koszyka.

Rozwa

ż

my przypadek dwuwymiarowy

)

(

2

+

=

R

X

. Je

ż

eli zało

ż

ymy,

ż

e w koszyku

)

,

(

2

1

x

x

x

=

zmniejszamy ilo

ść

1

x

o

1

x

∆

(

1

x

∆

<0), natomiast warto

ść

2

x

nie ulega zmianie, to u

ż

yteczno

ść

koszyka x spadnie (poniewa

ż

funkcja u

ż

yteczno

ś

ci jest rosn

ą

ca). Spadek ten mo

ż

emy

zrekompensowa

ć

wzrostem ilo

ś

ci drugiego dobra

2

x

o odpowiedni

ą

wielko

ść

2

x

∆

(

2

x

∆

>0), tak aby

u

ż

yteczno

ść

koszyka towarów x po zmianie obu warto

ś

ci

1

x

oraz

2

x

była równa u

ż

yteczno

ś

ci koszyka

wyj

ś

ciowego.

W ogólnym przypadku rekompensowanie spadku u

ż

yteczno

ś

ci na skutek zmniejszenia ilo

ś

ci i-tego

towaru poprzez zwi

ę

kszenie ilo

ś

ci j-tego towaru

(

)

j

i

≠

, tak by u

ż

yteczno

ść

nowego koszyka

pozostawała na dotychczasowym niezmienionym poziomie nazywamy substytucj

ą

(zamian

ą

) i-tego

towaru przez j-ty towar.

Wyra

ż

enie

j

i

x

x

u

x

x

u

x

S

j

i

ij

≠

∂

∂

÷

∂

∂

=

,

)

(

)

(

)

(

nazywamy

kra

ń

cow

ą

stop

ą

substytucji

i-tego

towaru przez j-ty towar w koszyku x.

Wyra

ż

enie

j

i

x

x

x

x

u

x

x

u

x

E

j

i

j

i

S

ij

≠

∂

∂

÷

∂

∂

=

,

)

)

(

)

(

(

)

(

nazywamy

elastyczno

ś

ci

ą

substytucji

i-tego

towaru przez j-ty towar w koszyku x.

dr Agnieszka Bobrowska

10

Ekonomia matematyczna I

Kra

ń

cowa stopa substytucji mówi o ile powinno si

ę

zwi

ę

kszy

ć

ilo

ść

j-tego towaru przy zmniejszeniu

o jednostk

ę

ilo

ś

ci i-tego towaru , aby u

ż

yteczno

ść

koszyka towarów nie zmieniła si

ę

.

Elastyczno

ść

substytucji mówi o ile procent powinno si

ę

zwi

ę

kszy

ć

ilo

ść

j-tego towaru przy

zmniejszeniu o jeden procent ilo

ś

ci i-tego towaru , aby u

ż

yteczno

ść

koszyka towarów pozostała taka

sama.

Przykład 3.4.

Załó

ż

my,

ż

e konsumenta interesuj

ą

tylko dwa dobra, a jego preferencje opisuje funkcja

u

ż

yteczno

ś

ci

1

2

:

R

R

u

→

+

dana wzorem

(

)

2

1

2

1

2

))

,

((

x

x

x

x

u

+

=

. We

ź

my koszyk towarów (2,3),

którego u

ż

yteczno

ść

wynosi:

10

)

3

2

(

2

))

3

,

2

((

=

+

×

=

u

. Wówczas obszar oboj

ę

tno

ś

ci wzgl

ę

dem

tego koszyka mo

ż

emy zapisa

ć

w postaci:

(

)

{

}

10

2

:

)

,

(

2

1

2

2

1

)

3

,

2

(

=

+

∈

=

+

x

x

R

x

x

K

. Zgodnie z

definicj

ą

obszar oboj

ę

tno

ś

ci

)

3

,

2

(

K

jest zbiorem wszystkich koszyków

)

,

(

2

1

x

x

x

=

, których

u

ż

yteczno

ść

równa jest 10.

Załó

ż

my,

ż

e konsument chce zmniejszy

ć

spo

ż

ycie drugiego dobra o

1

jednostk

ę

. Pytamy o ile

konsument musi zwi

ę

kszy

ć

w koszyku ilo

ść

dobra pierwszego by zmieniony koszyk towarów

dostarczał mu tyle samo satysfakcji co koszyk wyj

ś

ciowy (2,3)? Wyznaczamy w tym celu kra

ń

cow

ą

stop

ę

substytucji

1

2

21

)

(

)

(

)

(

x

x

u

x

x

u

x

S

∂

∂

÷

∂

∂

=

.

Poniewa

ż

(

)

2

1

2

1

2

))

,

((

x

x

x

x

u

+

=

, to

2

)

(

1

=

∂

∂

x

x

u

oraz

2

)

(

2

=

∂

∂

x

x

u

. St

ą

d otrzymujemy:

1

1

2

2

)

(

21

=

=

x

S

.

Wynika st

ą

d,

ż

e jedn

ą

jednostk

ę

drugiego dobra musimy zast

ą

pi

ć

dodatkow

ą

jednostk

ą

dobra

pierwszego. Nowy koszyk konsumenta, który dostarczy mu w tym wypadku tyle samo satysfakcji co

koszyk wyj

ś

ciowy, to koszyk

( )

2

,

3

. Koszyki

( )

3

,

2

i

( )

2

,

3

s

ą

zatem indyferentne.

dr Agnieszka Bobrowska

11

Ekonomia matematyczna I

Podsumowanie:

1. Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci jest alternatywnym sposobem wyra

ż

enia preferencji konsumenta.

2. Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci pozwala w sposób wymierny wyrazi

ć

logiczn

ą

relacj

ę

preferencji.

3. Własno

ś

ci funkcji u

ż

yteczno

ś

ci, podobnie jak zało

ż

enia teorii preferencji, wyprowadzone s

ą

z kategorii rynku doskonałego.

4. Funkcja u

ż

yteczno

ś

ci mo

ż

e by

ć

szacowana ekonometrycznie, nawet przy zastosowaniu do

pomiaru u

ż

yteczno

ś

ci skali porz

ą

dkowej.

5. Z funkcji u

ż

yteczno

ś

ci wyprowadza si

ę

miary pozwalaj

ą

ce ilo

ś

ciowo wyrazi

ć

zjawisko

substytucji, komplementarno

ś

ci oraz neutralno

ś

ci towarów (w tym miejscu proponujemy

studentom si

ę

gn

ąć

do podr

ę

czników z mikroekonomii).

Pytania kontrolne:

1. Podaj definicj

ę

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci.

2. Na czym polega zjawisko substytucji towarów? Podaj definicj

ę

kra

ń

cowej stopy substytucji.

3. Jak

ą

własno

ść

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci implikuje prawo Gossena?

4. Z czego wynika zało

ż

enie o ci

ą

gło

ś

ci funkcji u

ż

yteczno

ś

ci?

5. Dlaczego zakładamy o funkcji u

ż

yteczno

ś

ci,

ż

e jest rosn

ą

ca?

6. Podaj definicj

ę

elastyczno

ś

ci substytucji towarów w koszyku dla przypadku ci

ą

głej i dyskretnej

funkcji u

ż

yteczno

ś

ci.

7. Dla jakich dóbr kra

ń

cowa stopa substytucji przyjmuje warto

ść

zero, dla jakich warto

ś

ci dodatnie,

a dla jakich ujemne?