W

W

Ł

Ł

A

A

S

S

N

N

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

P

P

R

R

Z

Z

E

E

K

K

S

S

Z

Z

T

T

A

A

Ł

Ł

C

C

E

E

N

N

I

I

A

A

Z

Z

S

S

y

y

g

g

n

n

a

a

ł

ł

y

y

i

i

S

S

y

y

s

s

t

t

e

e

m

m

y

y

P

P

o

o

l

l

i

i

t

t

e

e

c

c

h

h

n

n

i

i

k

k

a

a

R

R

z

z

e

e

s

s

z

z

o

o

w

w

s

s

k

k

a

a

d

d

r

r

i

i

n

n

ż

ż

.

.

G

G

r

r

z

z

e

e

g

g

o

o

r

r

z

z

M

M

a

a

s

s

ł

ł

o

o

w

w

s

s

k

k

i

i

1

(

)

( )

Z

Z

f nT

F z

−

→

←

gdzie

0

( )

(

)

n

n

F z

f nT z

∞

−

=

= ∑

jednostronna transformata Z

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

2

1

2

(

)

(

)

( )

( )

af nT

bf nT

aF z

bF z

+

↔

+

liniowość transformaty Z

(0)

lim ( )

z

f

F z

→∞

=

( )

lim( ( ( )

(0)))

z

f T

z F z

f

→∞

=

−

twierdzenie o wartości początkowej

1

1

( )

lim{(1

) ( )}

z

f

z

F z

−

→

∞ =

−

twierdzenie o wartości końcowej - prawdziwe
gdy funkcja

1

(1

) ( )

z

F z

−

−

posiada wszystkie

bieguny wewnątrz okręgu o promieniu

1

z =

(

)

(

)

( /

)

nT

T

T

e

f nT

F ze

F z e

α

α

α

−

+

−

↔

=

T

a

e

α

−

=

(

)

(

)

/

n

a f nT

F z a

↔

sygnał pomnożony przez funkcję malejącą
wykładniczo

(

)

(

)

( /

)

nT

T

T

e

f nT

F ze

F z e

α

α

α

+

−

+

↔

=

T

a

e

α

+

=

(

)

(

)

/

n

a f nT

F z a

↔

sygnał pomnożony przez funkcję rosnącą
wykładniczo

0

(

)

( )

1

n

k

z

f kT

F z

z

=

↔

∑

−

sygnał będący sumą n próbek

(

)

f nT

1

2

1

2

0

(

) ((

) )

( ) ( )

n

k

f kT f n k T

F z F z

=

−

↔

∑

splot funkcji dyskretnych

1

((

1) )

( )

(

)

f n

T

z F z

f T

−

−

↔

+ −

sygnał opóźniony o 1 próbkę względem

(

)

f nT

2

1

((

2) )

( )

(

)

( 2 )

f n

T

z F z

z f T

f

T

−

−

−

↔

+

−

+ −

sygnał opóźniony o 2 próbki względem

(

)

f nT

1

2

((

) )

( )

(

)

( 2 ) ...

(

)

m

m

m

f n m T

z F z

z

f T

z

f

T

f

mT

−

− +

− +

−

↔

+

−

+

−

+ + −

sygnał opóźniony o m próbek względem

(

)

f nT

((

) )

( )

m

f n m T

z F z

−

−

↔

jak wyżej dla warunków początkowych zerowych

((

1) )

( )

(

)

f n

T

zF z

zf

T

+

↔

−

−

sygnał wyprzedzający

(

)

f nT

o 1 próbkę

2

2

((

2) )

( )

(0)

(

)

f n

T

z F z

z f

zf T

+

↔

−

−

−

sygnał wyprzedzający

(

)

f nT

o 2 próbkę

1

((

) )

( )

(0)

( )

((

1) )

m

m

m

f n m T

z F z

z f

z

f T

zf m

T

−

+

↔

−

−

− −

−

…

sygnał wyprzedzający

(

)

f nT

o m próbek

T

T

R

R

A

A

N

N

S

S

F

F

O

O

R

R

M

M

A

A

T

T

Y

Y

Z

Z

S

S

Y

Y

G

G

N

N

A

A

Ł

Ł

Ó

Ó

W

W

D

D

Y

Y

S

S

K

K

R

R

E

E

T

T

N

N

Y

Y

C

C

H

H

Sygnał ciągły Sygnał dyskretny

Transformata Z

Promień

zbieżności

szeregu

( )

f t

(

)

f nT

( )

F z

1)

( )

u t

(

)

u nT

1

z

z −

1

z >

2)

( )

t

δ

(

)

nT

δ

1

0

z >

3)

( )

t u t

(

)

nT u nT

2

(

1)

Tz

z −

1

z >

4)

2

( )

t u t

2

(

)

(

)

nT

u nT

2

3

(

1)

(

1)

T z z

z

+

−

1

z >

5)

( )

t

e

u t

α

−

(

)

nT

e

u nT

α

−

T

z

z e

α

−

−

T

z

e

α

−

>

/

to

( )

T

t T

a

e

a u t

α

−

=

(

)

n

a u nT

z

z a

−

z

a

>

6)

( )

t

t e

u t

α

−

(

)

nT

nTe

u nT

α

−

2

(

)

T

T

e

Tz

z e

α

α

−

−

−

T

z

e

α

−

>

/

to

( )

T

t T

a

e

ta u t

α

−

=

(

)

n

nTa u nT

2

(

)

aTz

z a

−

z

a

>

7)

(sin

) ( )

t u t

ω

(sin

) (

)

nT u nT

ω

2

sin

2 cos

1

z

T

z

z

T

ω

ω

−

+

1

z >

8)

(cos

) ( )

t u t

ω

(cos

) (

)

nT u nT

ω

2

2

cos

2 cos

1

z

z

T

z

z

T

ω

ω

−

−

+

1

z >

9)

(

sin

) ( )

t

e

t u t

α

ω

−

(

sin

) (

)

nT

e

nT u nT

α

ω

−

2

2

sin

2

cos

T

T

T

ze

T

z

ze

T

e

α

α

α

ω

ω

−

−

−

−

+

T

z

e

α

−

>

10)

(

cos

) ( )

t

e

t u t

α

ω

−

(

cos

) (

)

nT

e

nT u nT

α

ω

−

2

2

2

cos

2

cos

T

T

T

z

ze

T

z

ze

T

e

α

α

α

ω

ω

−

−

−

−

−

+

T

z

e

α

−

>

Ponadto:

11)

(

) ( )

t mT u t

−

(

)

(

)

n m T u nT

−

(

)

2

1

m

Tz

z

z

−

⋅

−

1

z >

12)

(

)

( )

2

t t T

u t

−

(

1)

2

nT n

T

u(nT)

−

2

3

(

1)

T z

z −

1

z >

13)

(

)

( )

t T

t a

u t

−

(

1)

(

)

n

T

nTa

u nT

−

2

(

)

Tz

z a

−

1

z >

14)

cos(

) ( )

t

e

t

u t

α

ω

φ

−

+

cos(

) (

)

nT

e

nT

u nT

α

ω

φ

−

+

1

1

2

2

j

j

T j T

T

j T

e z

e z

z e

e

z e

e

φ

φ

α

ω

α

ω

−

−

−

+

−

−

T

z

e

α

−

>