Ciągi: Jeżeli X,Y- niepuste zbiory, xεX, yεY to parą uporządkowaną nazywamy zbiór: (x,y): = {{x},{x,y}}. Iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y naz. zbiór wszystkich takich par x i y, które należą do X,Y i oznaczamy XxY {(x,y): xεX, yεY}.Dowolny niepusty podzbiór XxY nazywamy relacją. Funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedz. Y nazywamy RcXxY spełniającą warunki: 1) dla każdego xeX istnieje yeY (x,y)e R; 2) dla każ. xeX, y1eY, y2eY (x,y1)eR i (x,y2)eR => y1=y2. Jeżeli dziedziną f. jest podzbiór zbioru liczb nat., to f. naz. ciągiem. Ciąg (an)neN naz.: 1) rosnącym (niemalejącym), jeżeli dla każd. neN an+1 >an (an+1 ≥an); ograniczonym z góry, jeżeli istnieje c eR dla każ. neN an <c ; 3) ograniczonym, jeżeli ist.ceR, dla każd neN |an| <c. Sumą ciągów (an)neN i (bn)neN nazywamy ciąg (cn)neN, gdzie cn=an+bn (tak samo z różnicą, iloczynem i ilorazem). Liczbę g nazywamy granicą ciągu (an)neN, jeżeli dla każ. ε>0 istnieje n0eN dla każd. n>n0 |an-g| < ε i piszemy lim an=g. W.W.Zbież. Ciągu: jeżeli ciąg (an)neN jest niemalejący (nierosnący) i ograniczony z góry (z dołu), to jest zbieżny. Tw. jeżeli ciągi (an)neN i (bn)neN są zbieżne i lim an=a i lim bn=b, to ciągi: (an+-*/bn)neN są zbieżne i lim (an+-*/bn)=a+-*/b. Tw. ciąg an=(1+1/n)n jest ograniczony i rosnący -> ma granicę lim(1+1/n)n=e. Tw.o 3 ciągach: jeżeli (an)neN, (bn)neN, (cn)neN spełniają warunki: 1)lim an =lim cn =x; 2) istnieje n0 dla każdego n>n0 an≤bn≤cn to lim bn=x. Jeżeli (nk)keN jest rosnącym ciągiem liczb naturalnych, to (ank)keN nazywamy podciągiem ciągu (an)neN. Mówimy, że granica ciągu (an)neN jest równa +∞(-∞), jeżeli dla każd. MeR istnieje n0eN dla każd.n>n0 an>M (to samo, ale an<M) piszemy wówczas lim an=+∞ (-∞). Tw. lim an=+∞, to lim 1/an=0. lim an=-∞, to lim 1/an=0; lim|an|=+∞ to lim 1/an=0. lim an=0 i an>o, neN to lim 1/an=+∞. lim an=0 i an<0, neN to lim 1/an=-∞. Tw. Jeżeli lim an=+∞ i ciąg (bn)neN jest ogr.z dołu, to lim (an+bn)=+ ∞.Tw. Jeżeli lim an=-∞ i ciąg (bn)neN jest ogr.z dołu, to lim (an+bn)=- ∞. Tw. Jeżeli lim an=+∞ i lim bn=b, b>0, to lim (an*bn)=+ ∞. Tw. Jeżeli lim an=+∞ i lim bn=b, b<0, to lim (an*bn)=- ∞. Tw. Jeżeli lim an=a, 0<a<1 i lim bn=+∞, to lim anbn=0. Tw. jeżeli lim an=a, a>1 i lim bn=+∞, to lim anbn=+∞. Tw. Jeżeli lim an=+∞, to dla każdego xeR lim (1+x/an)^an=e^x. Szereg: jeżeli (an)neN jest ciągiem liczbowym, to szeregiem o wyrazach an nazywamy taką parę ((an)neN, (Sn)neN), gdzie Sn=a1+a2+…+an. Szereg ∑an naz. zbieżnym, jeżeli (Sn)neN ma skończoną granicę. Granicę tę naz.sumą szeregu i zapisujemy ∑an=S, gdzie S=lim Sn. War.Kon. Zbieżn. Szer: Jeżeli szereg ∑an jest zbieżny, to lim an=0. Tw. Jeżeli ∑an i ∑bn są szeregami zbieżnymi do a i b odpowiednio, to szeregi ∑(an+bn) i ∑ α*an, αeR sa zbieżne do a+b i α*a odpowiednio. Suma Nieskończonego ciągu geometr. szereg ∑a*q^n-1 jest zbieżny (a≠0)<=>|q|<1 i wówczas ∑aq^n-1= a/1-q. Kryterium ilorazowe (D'Alamberta) jeżeli ∑ an jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje granica lim an+1/an=q, to jeżeli q>1, to sz.rozbieżny, a jeżeli q<1-sz.zbieżny. K.Pierwiast. (Cauchy'ego) jeżeli ∑ an jest sz.o wyr.dod. i istnieje granica lim n√an=q, to jeżeli q>1- sz. rozbieżny. kr. Porównawcze: jeżeli ∑an, ∑bn są szeregami o wyr.dodat i istn n0 dla każdego n>n0, to 1)jeżeli szereg∑bn jest zbieżny, to ∑an jest zbieżny; 2) jeżeli szereg∑an jest rozbieżny, to sz. ∑bn jest rozbieżny. Wniosek: jeżeli istnieje granica lim an/bn=q i qe(0, ∞), to ∑an jest zbieżny <=> ∑bn jest zbieżny. Tw. Sz.Harmoniczny: Sz. ∑1/(n^α) jest zbieżny dla α>1 i rozbieżny dla α≤1. Jeżeli (an)neN jest ciągiem liczb dod., to sz. ∑(-1)^n *an naz. sz. naprzemiennym. Kryt. Leibniza: jezeli (an)neN spełnia warunki: 1)istnieje n0 dla każd. n>n0 an+1 ≤an 2) lim an=0, to sz. ∑(-1)^n *an jest zbieżny.
Sz.Bezwzg.zbieżny: mówimy, że sz. ∑an jest bezwzg.zbi., jezeli sz. ∑|an| jest zbieżny. tw. jeżeli sz. ∑ jest bezwzg.zbi. to jest zbieżny. tw. dla każdej liczby xeR mamy: e^x= ∑ (x^n)/n!. wniosek: dla x=1 e=∑ 1/n! dla każd.xeR e^x≥1+x. obrazem zbioru xcA naz. zbiór {f(x): xeX}=f(X). funkcję f:A->B naz. różnowartościową jeżeli dla każd. (a1,a2eA) f(a1)=f(a2)=>a1=a2. Fun. f:A->B az. rosnącą(niemalejącą), jeżeli dla każd. (a1,a2eA) a1<a2=> f(a1)<f(a2) (niemal. ≤). Jeśli f:A->B, g:C->D i DcA to złożeniem funkcji f i g naz. fun. f○g:C->B i określamy wzorem f○g(x) = f[g(x)]. Jeżeli f:A->B jest f. różnowartościową, to f. odwrotną do f naz. f. f^(-1): f(A)->A, określamy warunkiem f^(-1)(y)=x <=> y=f(x). obcięciem funkcji f:A->B do zbioru CcA naz. f. f|c :C-B określoną wzorem f|c (x)=f(x). Podst.f.elementarn. naz. f.:wykłanicze, potęgowe, logarytm., trygon. i cyklometr. F.element.naz. f.powstałe z podst.f.elem. poprzez działania arytmet. i operacje składania funk. otoczeniem (prawostr, lewostro.) punktu x0eR o promieniu ε>0 naz. przedział (x0- ε, x0+ ε) [prawost. (x0, x0+ ε), lew. x0- ε, x0)] i oznaczamy go 0(x0, ε) [0+ (x0, ε); 0- (x0, ε)]. sąsiedztwem (prawostr, lewo) punktu x0eRo promieniu ε>0 naz. (x0- ε,x0) u(x0, x0+ ε) [(x0,x0+ε);(x0- ε,x0)] i oznaczamy je S(+,-)(x0, ε). gran.fun.f w pkt.x0 (tw.Cauchy'go) Liczba geR jest gran.fun.f w pkt. x0<=> dla każd (ε>0)istnieje (δ>0), że: O<|x-x0|< δ => |f(x)-g|< ε. def.Heinego: jeżeli x0eR u {+∞,-∞}, a f jest funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie x0, to geR u (+∞,-∞} naz. granicą fun.f w x0, jeżeli dla ciągu (xn)neN z tego sąsiedztwa zbieżnego do x0 mamy lim f(xn)=g, piszemy wówczas f(x)=g. gran. prawostr.(lewo) fun.f w pkt x0: jeżeli x0eR u{+∞,-∞}, a f jest fun.określoną w pewnym prawostr.(lewo) sąsiedztwie x0, to geR u{+∞,-∞} naz.granicą prawostro(lewo) fun.f w pkt.x0, jeżeli dla każdego ciągu (xn)neN z tego sąsiedztwa zbieżnego do x0 mamy lim f(xn)=g i piszemy wówczas lim(x->x0+,-) f(x)=g. brak gran. w pkt.x0: jeżeli f jest określona w pewnym sąsiedz. pkt.x0, a (an)neN i (bn)neN są dwoma ciągami z tego sąsiedztwa takimi, że lim an=lim bn=x i lim f(an) ≠ lim f(bn), to f nie ma granicy w pkt.x0. tw.gran.fun.elementar: jeżeli f jest fun. elem. określoną w pewnym otoczeniu pkt.x0, to isnieje gran. lim f(x) i jest równa f(x0). TW. jeżeli lim(x->x0) f(x)=f i lim (x->x0) g(x)=g, to: 1)lim (f(x)*+-g(x))=f*+-g; 2) lim (f(x):g(x))=f:g, g≠0; 3) lim f(x)^[g(x)]= f^g, o ile f>0. tw. o 3 funk: jeżeli funkcje f,g,h są określone w pewnym sąsiedztwie pkt.x0 i spełniają warunki: 1) lim (x->x0) f(x) = lim h(x) = a; 2) f(x)≤g(x) ≤h(x), to lim g(x)=a tw: jeżeli fun.f i g są określone w pewnym sąsiedzt.pkt.x0 oraz f jest ograniczona, a lim(x->x0) g(x)=0, to lim f(x)*g(x)=0. f. ciągła jeżeli fun.f jest określona w pewnym otoczeniu (lewostr,prawo) pkt.x0 i spełnia war. lim(x->x0) f(x)=f(x0) [przy lewo lim-(+)], to mówimy, że f jest ciągła (lewostronnie, prawo). Jeżeli AcR, A≠¢, to liczbę a naz. kresem górnym zbioru A, jeżeli: 1) dla każd xeA x≤a; 2)dla każd. ε>0 istnieje x0eA, że: a- ε≤x0 i piszemy wówczas: a=supA. Jeżeli dla każd.MeR istnieje xeA, że x>M, to piszemy supA=+∞. Jeżeli AcR, A≠¢, to liczbę a naz. kresem dolnym zbioru A, jeżeli: 1) dla każd xeA x≥a; 2)dla każd. ε>0 istnieje x0eA, że: a+ε≥x0 i piszemy wówczas: a=infA. Jeżeli dla każd.MeR istnieje xeA, że x<M, to piszemy infA=-∞. tw. Weiestrassa(o przyjmowaniu kresu): jeżeli f:[a.b]->R jest fun.ciągłą, a przedział [a,b] przedziałem domkniętym i ograniczonym, to istnieją liczby c i d e[a,b] takie, że: f(c)=sup{f(x):xe[a,b]}, f(d)=inf{f(x):xe[a,b]}. tw. Darboux jeżeli f:[a,b]->R jest f.ciągłą, a c leży pomiędzy f(a) i f(b), to istnieje xe[a,b] takie, że f(x)=c. Wniosek: jeżeli f:[a,b]->r jest ciągła i f(a)*f(b)<0, to istnieje ce[a,b] takie, że f(c)=0.