Twierdzenie I w dowolnym niewiernokątnym odwzorowaniu istnieje zawsze jedna taka siatka która jest na oryginale prostokątna i

odwzorowuje się także jako prostokątna na obrazie .

Twierdzenie II - w regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą na kierunkach głównych są maksymalne i minimalne zniekształcenia. Ich obrazem jest elipsa błędów Tissota. Obrazem graficznym zniekształceń długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie są równe zniekształceniom w kierunkach głównych.

Teoretyczne następstwa faktu F1=0 i F2=0.

Odwzorowanie walcowe równokątne (Mercatora). W tym odwzorowaniu zakładamy, że zachodzi warunek równokątności a=b.

Skale w kierunkach głównych są następujące:

- wydłużenie w kierunku południków i równoleżników, zaś zniekształcenie pola:
- powiększenie pola powierzchni. W tym odwzorowaniu loksodroma (linia przecinająca południki pod stałym kątem α) odwzorowuje się na linię prostą, przecinającą obrazy południków również pod stałym i tym samym kątem α. Długość loksodromy szczególnie w okolicach okołorównikowych jest niewiele dłuższa od długości linii geodezyjnej i wynosi:
. Z tego względu odwzorowanie to odegrało dużą rolę w nawigacji morskiej. Południk i równoleżnik są szczególnymi przypadkami loksodromy.

Odwzorowanie poprzeczne Merkatora. Współrzędne x, y poprzecznego odwzorowania Mercatora nazywa się współrzędnymi Gaussa dla kuli lub współrzędnymi hanowerskimi dla kuli, ponieważ Gauss zastosował je do opracowań kartograficznych rejonu Hanower. Odwzorowanie to jest odwzorowaniem konforemnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej na płaszczyznę, w którym południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej oraz elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stala i mniejsza od jedności. Ziemia jest podzielona na 60 stref, każda o szerokości 6stopni długości geograficznej, każda strefa ma swój południk środkowy.

Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to wiernokątne, poprzeczne, walcowe odwzorowanie elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, realizowane w wąskich pasach południkowych.

Spełnia następujące warunki:

• południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej,

• skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m₀=1, a₀=b₀=1

Kształt siatki kartograficznej:

• południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej, pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego)

równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleżniki - na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika)

Elementarne skale długości i pól Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:

Współrzędne cechowane Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane.

Zastosowanie: 1) W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krugera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra”). 2) W 1947 r. wprowadzono skurczone odwzorowanie G-K dla map 1:10000 i większych. 3) W 1952 r. wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K (układ „1942”).

4) W 1965 r. we wprowadzanym układem współrzędnych „1965”, w jednej jego strefie (V-strefa katowicka) zastosowano odwzorowanie G-K. 5) W 1992 r. wprowadzono nowy układ współrzędnych „1992”, w którym zastosowano kolejną wersję odwzorowania G-K. 6) 2000 r. wraz z utworzeniem nowego układu współrzędnych „2000”, wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K.

Układ współrzędnych 2000 (Państwowy Układ Współrzędnych Geodezyjnych 2000) - układ współrzędnych płaskich prostokątnych zwany układem "2000", powstały w wyniku zastosowania odwzorowania Gaussa-Krügera dla elipsoidy GRS 80 w czterech trzystopniowych strefach o południkach osiowych 15°E, 18°E, 21°E i 24°E. W tym układzie koncepcja nawiązuje do dawnego układu "1942". Różnica polega jednak na odmienności przyjętych elipsoid odniesienia oraz na zastosowaniu dodatkowej skali podobieństwa (skali kurczenia na południkach środkowych). Skala długości odwzorowania na południkach osiowych wynosi m₀ = 0,999923. Zniekształcenia na południku osiowym wynoszą -7,7cm/km zaś na styku stref +7cm/km. Współrzędne cechowane: X=x, Y=y+(5500000)m dla kolejnych pasów odwzorowawczych . Układ ten przeznaczony jest dla map gospodarczych wielkoskalowych.

Różnice: 2000 Skala długości odwzorowania na południkach osiowych wynosi m₀ = 0,999923, zniekształcenia na południku osiowym wynoszą -7,7cm/km zaś na styku stref +7cm/km. A w G-K linie zniekształceń długości są liniami prostymi równoległymi do obrazu południka osiowego, a wartość tych zniekształceń rośnie szybko wraz z oddalaniem się od południka osiowego. Skala długości na południk środkowy jest równa jedności m(0)=1, a(0)=b(0)=1.

Układ współrzędnych "1965" (Państwowy Układ Współrzędnych Geodezyjnych 1965) - układ współrzędnych płaskich prostokątnych w odwzorowaniu konforemnym (odwzorowanie quasi-stereograficzne), zwany układem "1965", stosowany do opracowań w skali 1:5000 i skalach większych (mapa zasadnicza). Układ "1965" obowiązywał do 31 grudnia 2009 i został zastąpiony przez układ współrzędnych 2000. Układ "1965" nie należy do państwowego systemu odniesień przestrzennych od 1 stycznia 2010. W układzie tym obszar Polski podzielono na pięć stref odwzorowawczych, przy czym podstawą do wydzielenia stref były granice podziału administracyjnego. Każda strefa objęła pewną liczbę województw zgodnie z ówczesnym podziałem administracyjnym. Każde odwzorowanie quasi-stereograficzne jako wiernokątne odwzorowanie płaszczyznowe elipsoidy definiuje się określając położenie punktu głównego (punktu styczności płaszczyzny z powierzchnią elipsoidy) oraz skalę odwzorowania w tym punkcie, będącą równocześnie skalą podobieństwa odwzorowania. W strefach 1-4 układu przyjęto skalę w punkcie głównym m₀ = 0,9998, czyli zniekształcenie odwzorowawcze w tym punkcie wynosiło z założenia -20 cm/km. Układ "1965" był przeznaczony głównie do tworzenia i eksploatacji mapy zasadniczej.

Odwzorowanie walcowe normalne to odwzorowanie kuli na płaszczyznę, w którym obrazem południków są proste równoległe o odstępach równych odstępom południków na równiku, natomiast obrazem równoleżników są proste prostopadłe do obrazów południków Na pobocznicy walca przyjmujemy układ współrzędnych o środku w punkcie na równiku, osi x stycznej do południka zerowego i osi y stycznej do równika.

Twierdzenia Tissota - twierdzenia teroii zniekształceń odwzorowawczych sformułowane przez francuskiego kartografa Nicolas Auguste Tissot'a.

Twierdzenie I (dot. siatek ortogonalnych) - w dowolnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna (jeśli jest to powierzchnia regularna) albo tylko jedna (jeśli jest to powierzchnia nieregularna) siatka ortogonalna (kiedy południki z równoleżnikami tworzą kąty proste) na powierzchni oryginału (kuli zmiemskiej), której obraz na powierzchni drugiej (mapie) jest również siatką ortogonalną.

Twierdzenie II (dot. elipsy zniekształceń) - w regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą zniekształcenia odwzorowawcze długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu można przedstawić w postaci elipsy, której półosie odzwierciedlają maksymalne zniekształcenia w kierunkach głównych (tzn. w kierunku południków i równoleżników).

Twierdzenie I w dowolnym niewiernokątnym odwzorowaniu istnieje zawsze jedna taka siatka która jest na oryginale prostokątna i

odwzorowuje się także jako prostokątna na obrazie .

Twierdzenie II - w regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą na kierunkach głównych są maksymalne i minimalne zniekształcenia. Ich obrazem jest elipsa błędów Tissota. Obrazem graficznym zniekształceń długości we wszystkich kierunkach wychodzących z jednego punktu powierzchni jest elipsa, której półosie są równe zniekształceniom w kierunkach głównych.

Teoretyczne następstwa faktu F1=0 i F2=0.

Odwzorowanie walcowe równokątne (Mercatora). W tym odwzorowaniu zakładamy, że zachodzi warunek równokątności a=b.

Skale w kierunkach głównych są następujące:

- wydłużenie w kierunku południków i równoleżników, zaś zniekształcenie pola:
- powiększenie pola powierzchni. W tym odwzorowaniu loksodroma (linia przecinająca południki pod stałym kątem α) odwzorowuje się na linię prostą, przecinającą obrazy południków również pod stałym i tym samym kątem α. Długość loksodromy szczególnie w okolicach okołorównikowych jest niewiele dłuższa od długości linii geodezyjnej i wynosi:
. Z tego względu odwzorowanie to odegrało dużą rolę w nawigacji morskiej. Południk i równoleżnik są szczególnymi przypadkami loksodromy.

Odwzorowanie poprzeczne Merkatora. Współrzędne x, y poprzecznego odwzorowania Mercatora nazywa się współrzędnymi Gaussa dla kuli lub współrzędnymi hanowerskimi dla kuli, ponieważ Gauss zastosował je do opracowań kartograficznych rejonu Hanower. Odwzorowanie to jest odwzorowaniem konforemnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej na płaszczyznę, w którym południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej oraz elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stala i mniejsza od jedności. Ziemia jest podzielona na 60 stref, każda o szerokości 6stopni długości geograficznej, każda strefa ma swój południk środkowy.

Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest to wiernokątne, poprzeczne, walcowe odwzorowanie elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, realizowane w wąskich pasach południkowych.

Spełnia następujące warunki:

• południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej,

• skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m₀=1, a₀=b₀=1

Kształt siatki kartograficznej:

• południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej, pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego)

równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleżniki - na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika)

Elementarne skale długości i pól Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:

Współrzędne cechowane Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane.

Zastosowanie: 1) W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krugera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra”). 2) W 1947 r. wprowadzono skurczone odwzorowanie G-K dla map 1:10000 i większych. 3) W 1952 r. wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K (układ „1942”).

4) W 1965 r. we wprowadzanym układem współrzędnych „1965”, w jednej jego strefie (V-strefa katowicka) zastosowano odwzorowanie G-K. 5) W 1992 r. wprowadzono nowy układ współrzędnych „1992”, w którym zastosowano kolejną wersję odwzorowania G-K. 6) 2000 r. wraz z utworzeniem nowego układu współrzędnych „2000”, wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K.

Układ współrzędnych 2000 (Państwowy Układ Współrzędnych Geodezyjnych 2000) - układ współrzędnych płaskich prostokątnych zwany układem "2000", powstały w wyniku zastosowania odwzorowania Gaussa-Krügera dla elipsoidy GRS 80 w czterech trzystopniowych strefach o południkach osiowych 15°E, 18°E, 21°E i 24°E. W tym układzie koncepcja nawiązuje do dawnego układu "1942". Różnica polega jednak na odmienności przyjętych elipsoid odniesienia oraz na zastosowaniu dodatkowej skali podobieństwa (skali kurczenia na południkach środkowych). Skala długości odwzorowania na południkach osiowych wynosi m₀ = 0,999923. Zniekształcenia na południku osiowym wynoszą -7,7cm/km zaś na styku stref +7cm/km. Współrzędne cechowane: X=x, Y=y+(5500000)m dla kolejnych pasów odwzorowawczych . Układ ten przeznaczony jest dla map gospodarczych wielkoskalowych.

Różnice: 2000 Skala długości odwzorowania na południkach osiowych wynosi m₀ = 0,999923, zniekształcenia na południku osiowym wynoszą -7,7cm/km zaś na styku stref +7cm/km. A w G-K linie zniekształceń długości są liniami prostymi równoległymi do obrazu południka osiowego, a wartość tych zniekształceń rośnie szybko wraz z oddalaniem się od południka osiowego. Skala długości na południk środkowy jest równa jedności m(0)=1, a(0)=b(0)=1.

Odwzorowania azymutalne- normalne. Najprostsza jest charakterystyka siatek azymutalnych w położeniu normalnym (bieguno­wym) (tabela 1). Punkt główny odwzorowania O, stanowiący punkt styczności płaszczyzny odwzorowawczej z kulą ziemską, umiejscowiony jest dokładnie w biegunie, który jest jednocześnie punktem zenitalnym (0=N=Z lub 0=S==Z). Płaszczyzna równika stanowi płaszczyznę horyzontu, a siatka geograficzna złożona z południków i równoleżników tworzy zarazem siatkę wertykałów i almukantaratów. Krzyżujące się w biegunie południki przecinają równoleżniki pod kątem prostym, można zatem powiedzieć, że siatka geograficzna ma charakter siatki ortogonalnej.

Niezależnie od typu odwzorowania azymutalnego, w położeniu biegunowym obrazy południków (będących w tym przypadku wertykałami) zawsze tworzą pęk prostych przecinających się w biegunie. Kąty między obrazami południków na płaszczyźnie rzutów są takie same jak kąty między południkami na kuli ziemskiej (różnice długości geograficznych dwóch punktów na oryginale i w odwzorowaniu są sobie równe; ryć. 18). Równoleżniki (będące w tym położeniu almukantaratami) odwzorowują się na koła koncentryczne względem bieguna (punktu głównego).

Powierzchnią (w/g geometrii różniczkowej) nazywamy zbiór punktów przestrzeni,

których połoŜenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie róŜniczkowalna w

pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa r dwóch niezależnych od siebie parametrów u

i v. r_=r_(u,v). r_ = x(u, v)*i_ + y(u, v)*j_ + z(u, v)*k_

r_ = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] nazywamy wektorowym równaniem powierzchni.

Odwzorowaniem wzajemnie jednoznaczne (homeomorficzne) jednej powierzchni na drugą nazywamy kaŜdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość punktową między powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię oryginału a powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię obrazu. Ponadto funkcje (19) jako odwzorowanie homeomorficzne (jednojednoznaczne) powinny

spełniać warunki:

- każdej parze wartości parametrów u, v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę

wartości parametrów U, V,

- powinny być klasy C2 (dwukrotnie różniczkowalne i ciągłe),

- jakobian (J) odwzorowania musi być różny od zera (funkcje: U i V są wtedy

niezależne):

W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest

krzywa, koła jest koło, obszaru jest obszar

Układ współrzędnych "1965" (Państwowy Układ Współrzędnych Geodezyjnych 1965) - układ współrzędnych płaskich prostokątnych w odwzorowaniu konforemnym (odwzorowanie quasi-stereograficzne), zwany układem "1965", stosowany do opracowań w skali 1:5000 i skalach większych (mapa zasadnicza). Układ "1965" obowiązywał do 31 grudnia 2009 i został zastąpiony przez układ współrzędnych 2000. Układ "1965" nie należy do państwowego systemu odniesień przestrzennych od 1 stycznia 2010. W układzie tym obszar Polski podzielono na pięć stref odwzorowawczych, przy czym podstawą do wydzielenia stref były granice podziału administracyjnego. Każda strefa objęła pewną liczbę województw zgodnie z ówczesnym podziałem administracyjnym. Każde odwzorowanie quasi-stereograficzne jako wiernokątne odwzorowanie płaszczyznowe elipsoidy definiuje się określając położenie punktu głównego (punktu styczności płaszczyzny z powierzchnią elipsoidy) oraz skalę odwzorowania w tym punkcie, będącą równocześnie skalą podobieństwa odwzorowania. W strefach 1-4 układu przyjęto skalę w punkcie głównym m₀ = 0,9998, czyli zniekształcenie odwzorowawcze w tym punkcie wynosiło z założenia -20 cm/km. Układ "1965" był przeznaczony głównie do tworzenia i eksploatacji mapy zasadniczej.

Odwzorowanie walcowe normalne to odwzorowanie kuli na płaszczyznę, w którym obrazem południków są proste równoległe o odstępach równych odstępom południków na równiku, natomiast obrazem równoleżników są proste prostopadłe do obrazów południków Na pobocznicy walca przyjmujemy układ współrzędnych o środku w punkcie na równiku, osi x stycznej do południka zerowego i osi y stycznej do równika.

Twierdzenia Tissota - twierdzenia teroii zniekształceń odwzorowawczych sformułowane przez francuskiego kartografa Nicolas Auguste Tissot'a.

Twierdzenie I (dot. siatek ortogonalnych) - w dowolnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą istnieje zawsze przynajmniej jedna (jeśli jest to powierzchnia regularna) albo tylko jedna (jeśli jest to powierzchnia nieregularna) siatka ortogonalna (kiedy południki z równoleżnikami tworzą kąty proste) na powierzchni oryginału (kuli zmiemskiej), której obraz na powierzchni drugiej (mapie) jest również siatką ortogonalną.

Twierdzenie II (dot. elipsy zniekształceń) - w regularnym odwzorowaniu jednej powierzchni na drugą zniekształcenia odwzorowawcze długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu można przedstawić w postaci elipsy, której półosie odzwierciedlają maksymalne zniekształcenia w kierunkach głównych (tzn. w kierunku południków i równoleżników).

---