Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) Postela:

Konstrukcja odwzorowania równodługościowego, zwanego od nazwiska twórcy odwzorowaniem Postela (Guillaume Postel, 1510-1581) jest oparta na założeniu, że wszystkie koła wielkie przechodzące przez punkt styczności bryły z płaszczyzną odwzorowawczą zachowają wiernie długość, niezależnie od położenia tego punktu. Jeśli będzie nim biegun (położenie normalne), to takimi kołami wielkimi będą południki. Oznacza to, że w biegunowej siatce Postela obrazy południków są liniami o wiernie odtworzonej długości. Odwzorowują się one zatem w postaci pęku odcinków przecinających się w punkcie głównym pod rzeczywistymi kątami. Różnice kątowe długości geograficznej
między nimi są również zachowane. Równoleżniki tworzą okręgi współśrodkowe, ale ze względu na przyjęte założenie odstępy między nimi są rzeczywiste. W tym odwzorowaniu można więc przedstawić całą kulę ziemską. Ze względu na przyjęte założenie w kierunku południkowym = 1 nie występują zniekształcenia długości. Zniekształcenia pól i kątów zależą jedynie od wartości współczynnika znie­kształceń w kierunku równoleżnikowym.

Równodługościowa siatka azymutalna w położeniu poprzecznym (równikowym) powstaje pod warunkiem zachowania wiernych długości łuków kół wielkich przecinających się w równikowym punkcie styczności, jedynymi liniami siatki geograficznej spełniającymi ten warunek są południk styczności (środkowy) i równik. Odwzorowują się one w postaci wzajemnie prostopadłych odcinków, zachowujących rzeczywistą długość. Pozostałe połu­dniki i równoleżniki tworzą sieć linii krzywych rozmieszczonych symetrycznie względem tych dwóch wiernych długościowe linii.

W ukośnej siatce Postela, podobnie jak położeniach biegunowym i poprzecznym, cała kula ziemska odwzorowuje się w kole o promieniu
R. Południk środkowy jest linią prostą o wiernie odwzorowanej długości. Dzieli on siatkę na dwie symetryczne części. W położeniu ukośnym południki i równoleżniki nie mają już charakteru siatki ortogonalnej, jak w siatce biegunowej. Wszystkie południki i równoleżniki wraz z równikiem, z wyjątkiem południka stycznego i południka oddalonego o 180° od niego, odwzorowują się na linie krzywe o skomplikowanym kształcie. Odstępy między obrazami równoleżników na środko­wym południku - ze względu na jego długość zgodną z rzeczywistym wymiarem - są równe i takie same jak na kuli ziemskiej.

Z: Dzięki zachowaniu rzeczywistych długości wzdłuż obrazów wertykałów siatka Postela jest stosowana przede wszystkim do sporządzania map radiokomunikacji morskiej i lądowej oraz map telekomunikacyjnych i pocztowych (ceny usług zależą m.in. od odległości). Siatka równodługościowa umożliwia bezpośrednie odczytywanie rzeczywistych odległości od stacji odbiorczej (przyjętej za punkt główny siatki) do stacji nadawczej. Odwzorowanie Postela jest także stosowane na mapach ilustrujących zjawiska sejsmiczne (umożliwia pokazanie rozchodzenia się fal sejsmicznych) i na mapach dostępności czasowej (izochronicznych).

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) Lamberta

Nieperspektywiczna azymutalna siatka równopolowa została zaprezentowana w 1772 r. przez szwajcarskiego matematyka, fizyka, astronoma i filozofa Johanna Heinricha Lamberta (1728-1777). Nieperspektywiczność oznacza, że, podobnie jak w przypadku siatki Postela, nie można tego odwzorowania otrzymać w wyniku rzutu geometrycznego. Zasadę konstrukcji siatki Lambert podporządkował warunkowi zachowania zgodności pól powierzchni obrazu i oryginału.

Podobnie jak w przypadku siatki Postela, w tym odwzorowaniu można przedstawić całą kulę. Tak jak we wszystkich biegunowych siatkach azymutalnych, miejscem zerowego zniekształcenia jest biegun styczności (punkt główny), odwzorowany jako punkt O, który jest jednocześnie wspólnym środkiem koncentrycznych kół - obrazów równoleżników i punktem przecięcia pęku odcinków - obrazów południków, zbiegających się pod takimi samymi kątami jak na kuli ziemskiej. Podobnie jak w siatce ortograficznej, odstępy między obrazami równoleżników maleją w miarę oddalania się od punktu głównego odwzorowania, ale odbywa się to znacznie wolniej. Siatkę Lamberta, przy braku zniekształceń pól powierzchni, cechują stosunkowo niewielkie zniekształcenia liniowe i kątowe, ale tylko obrazu półkuli. Płaski obraz kurczy się w kierunku południków, a wydłuża w kierunku równoleżników, przy czym w miarę zbliżania się do bieguna antypodalnego zniekształcenia długości w kierunku równoleżników znacznie wzrastają.

W poprzecznej siatce azymutalnej równopolowej, tak jak w innych położeniach, zostaje zachowany warunek równości pól powierzchni na płaszczyźnie i na oryginale. Obraz półkuli zawarty jest więc w kole o promieniu R
, a całej kuli ziemskiej - w kole o pro­mieniu 2R. Środkowy południk i równik są odcinkami. Południki wyznaczające zasięg półkuli są półokręgami
łączącymi się w biegunach. Pozostałe południki i równoleż­niki odwzorowują się na krzywe rozmieszczone symetrycznie względem obrazu południka stycznego i równika. Odległości między poszczególnymi południkami na równiku i między równoleżnikami na południku głównym maleją w miarę oddalania się od punktu stycz­ności .

Niezależnie od położenia płaszczyzny odwzorowawczej, przy zachowanych wiernie polach powierzchni, zniekształceniu ulegają długości i kąty Jednak w przeciwieństwie do położenia biegunowego, w położeniach poprzecznym i ukośnym nie analizujemy przebiegu zniekształ­ceń wzdłuż południków i równoleżników (tylko w położeniu biegunowym stanowią one siatkę ortogonalną), ale wzdłuż kierunków głównych siatki jakimi są wertykały i almukantaraty.

Z: Ze względu na zachowanie warunku równopolowości siatka Lamberta ma bardzo szerokie zastosowanie, przede wszystkim w kartografii szkolnej. W polskiej kartografii rozpowszechnił tę siatkę Eugeniusz Romer (1871-1954), który stosował ją w atlasach szkolnych i na mapach ściennych.

Odwzorowania azymutalne- normalne. Najprostsza jest charakterystyka siatek azymutalnych w położeniu normalnym (bieguno­wym) (tabela 1). Punkt główny odwzorowania O, stanowiący punkt styczności płaszczyzny odwzorowawczej z kulą ziemską, umiejscowiony jest dokładnie w biegunie, który jest jednocześnie punktem zenitalnym (0=N=Z lub 0=S==Z). Płaszczyzna równika stanowi płaszczyznę horyzontu, a siatka geograficzna złożona z południków i równoleżników tworzy zarazem siatkę wertykałów i almukantaratów. Krzyżujące się w biegunie południki przecinają równoleżniki pod kątem prostym, można zatem powiedzieć, że siatka geograficzna ma charakter siatki ortogonalnej.

Niezależnie od typu odwzorowania azymutalnego, w położeniu biegunowym obrazy południków (będących w tym przypadku wertykałami) zawsze tworzą pęk prostych przecinających się w biegunie. Kąty między obrazami południków na płaszczyźnie rzutów są takie same jak kąty między południkami na kuli ziemskiej (różnice długości geograficznych dwóch punktów na oryginale i w odwzorowaniu są sobie równe; ryć. 18). Równoleżniki (będące w tym położeniu almukantaratami) odwzorowują się na koła koncentryczne względem bieguna (punktu głównego).

Powierzchnią (w/g geometrii różniczkowej) nazywamy zbiór punktów przestrzeni,

których połoŜenie określa w sposób jednoznaczny ciągła i dwukrotnie róŜniczkowalna w

pewnym obszarze (D) funkcja wektorowa r dwóch niezależnych od siebie parametrów u

i v. r_=r_(u,v). r_ = x(u, v)*i_ + y(u, v)*j_ + z(u, v)*k_

r_ = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] nazywamy wektorowym równaniem powierzchni.

Odwzorowaniem wzajemnie jednoznaczne (homeomorficzne) jednej powierzchni na drugą nazywamy kaŜdą jednoznaczną i wzajemną odpowiedniość punktową między powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię oryginału a powierzchnią, którą przyjmujemy za powierzchnię obrazu. Ponadto funkcje (19) jako odwzorowanie homeomorficzne (jednojednoznaczne) powinny

spełniać warunki:

- każdej parze wartości parametrów u, v przyporządkowują jedną i tylko jedną parę

wartości parametrów U, V,

- powinny być klasy C2 (dwukrotnie różniczkowalne i ciągłe),

- jakobian (J) odwzorowania musi być różny od zera (funkcje: U i V są wtedy

niezależne):

W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt, obrazem krzywej jest

krzywa, koła jest koło, obszaru jest obszar

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) centralne(środkowe)

Siatka azymutalna centralna, zwana siatką środkową, ortodromową lub gnomoniczną, używana była już w VI w. p.n.e. przez Talesa z Miletu (około 620-547 p.n.e.) do prezentacji map układu gwiazd. Jest to rzut perspektywiczny, w którym promienie rzutujące wychodzą ze środka odwzorowywanej bryły. W położeniu normalnym biegun jako punkt styczności O jest punktem, z którego wychodzą linie proste obrazujące południki, a równoleżniki są okręgami współśrodkowymi względem tego bieguna. Obrazem punktu P o szerokości geograficznej
na płaszczyźnie jest punkt P', odległy od punktu styczności o odcinek OP'. Odcinek OP' jest jednocześnie obrazem łuku południka OP i promieniem obrazu równoleżnika punktu P . Matematyczny zapis promienia równoleżnika punktu P' ma postać:

W tej siatce odległości między równoleżnikami w miarę oddalania się od punktu styczności szybko rosną. W tym odwzorowaniu można przedstawić niecałą półkulę (w położeniu normalnym równika nie można zrzutować na płaszczyznę), a zniekształcenia bardzo rosną wraz z odległością od punktu styczności. Ogranicza to zastosowanie siatki centralnej. Cechuje się ona jednak pewną właściwością, której nie posiada żadne inne odwzorowanie: wszystkie łuki kół wielkich, stanowiące najkrótsze odległości między dwoma dowolnymi punktami na kuli ziemskiej (ortodromy), odwzorowują się w niej jako linie proste.

Z: Znalazło to zastosowanie przy sporządzaniu map nieba, map morskich, lotniczych i innych map komunikacyjnych. Na mapie wyko­nanej w siatce centralnej, łącząc linią prostą dwie miejscowości stanowiące początek i koniec trasy, uzyskuje się linię ortodromy. W dawnych czasach wykorzystywano ten rzut także przy sporządzaniu zegarów słonecznych (tzw. gnomonów).

Siatka azymutalna centralna w położeniu poprzecznym powstaje w wyniku rzutowania siatki geograficznej na płaszczyznę styczną w dowolnym punkcie równika, a w położeniu ukośnym - na płaszczyznę styczną w punkcie leżącym między biegunem a równikiem. Ze względu na inny punkt styczności, siatki kartograficzne, a więc obrazy południków i równoleżników wyglądają inaczej. Oczywiście, właściwości odwzorowania (m.in. prostoliniowość ortodrom) i jego zastosowanie pozostają takie same, tzn. wykorzystuje się je przede wszystkim do sporządzania map komunikacyjnych. W siatce poprzecznej południki (połowy kół wielkich) są prostymi równoległymi względem siebie (odległości między nimi rosną szybko wraz ze wzrostem odległości od punktu głównego) i prostopadłymi do prosto­liniowego równika (równik też jest kołem wielkim). Wszystkie równoleżniki z wyjątkiem równika odwzorowują się w postaci coraz silniej wygiętych hiperbol. Odstępy między nimi gwałtownie rosną ze wzrostem odległości od punktu głównego (ryć. 19B).

W siatce centralnej ukośnej południki zachowują kształt linii prostych, ale są pękiem wychodzącym z bieguna bliższego punktowi styczności (drugiego bieguna nie można oczywiście przedstawić na płaszczyźnie). Równik, jako koło wielkie, także ma postać linii prostej i jest prostopadły do obrazu południka głównego (tego, na którym leży punkt styczności). W zależności od położenia względem punktu głównego równoleżniki przyj­mują kształt elipsy, hiperboli lub paraboli.

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) stereograficzne

Rzutem perspektywicznym jest również siatka stereograficzna, w której środek rzutów znajduje się na powierzchni kuli ziemskiej w punkcie przeciwległym (antypodalnym) do stycznej (lub siecznej) płaszczyzny rzutów. Jest to siatka równokątna. Jej twórcą był przypuszczalnie Hipparch (około 190-125 p.n.e.), a pierwsze zastosowa­nia to prezentacje nieba.

W odwzorowaniu stereograficznym normalnym (biegunowym) płaszczyzna odwzorowawcza umieszczona jest na jednym z biegunów, więc promienie rzutujące punkty węzłowe siatki geograficznej wychodzą z przeciwległego bieguna. W tej siatce nie można przedstawić samego punktu rzutowania (bieguna antypodalnego), nie można więc pokazać świata w całości.

Obrazami równoleżników w położeniu biegunowym są koncentryczne okręgi ze wspólnym środkiem w biegunie styczności. Odstępy między obrazami równoleżników rosną wraz ze wzrostem odległości od punktu głównego, ale odbywa się to mniej gwałtownie niż w siatce centralnej (zniekształcenia odległości i powierzchni rosną od środka na zewnątrz siatki). Południki tworzą pęk prostych przecinających się w biegunie styczności pod takim samym kątem jak na kuli ziemskiej. Obrazy południków i równoleżników, tak jak na kuli, przecinają się pod kątami prostymi, są więc tym samym kierunkami głównymi odwzorowania. Przyrost odstępów między poszczególnymi równoleżnikami na danym południku oraz przyrost odstępów między południkami na tych równoleżnikach jest taki sam. Oznacza to, że zniekształcenia w kierunku a i b są identyczne. Siatka azymutalna stereograficzna jest odwzorowaniem równokątnym, ponieważ spełnia warunek równokątności a = b.

Odwzorowanie stereograficzne ma także inną szczególną właściwość. Dowolne koło znajdujące się na powierzchni kuli odwzo­ruje się zawsze na koło, niezależnie od po­łożenia płaszczyzny rzutów.

W poprzecznej siatce stereograficznej płaszczyzna rzutowania jest styczna do powierzchni kuli w dowolnym punkcie równika, a punkty węzłowe siatki geograficznej rzutowane są na nią promieniami wychodzącymi z punktu położonego także na równiku, ale przeciwległe do punktu styczności. Równik i środkowy (styczny) południk odwzorują się jako linie proste, dzieląc siatkę na cztery symetryczne części. Pozostałe południki i równoleżniki odwzorują się jako łuki kół niewspółśrodkowych, których promienie maleją w miarę oddalania się od punktu styczności. Oczywiście, odległości między równoleżnikami na środkowym południku i między południkami na równiku zwiększają się w takim samym stopniu.

W siatce stereograficznej ukośnej obraz uzyskujemy przez rzutowanie punktów węzłowych siatki geograficznej na płaszczyznę styczną na sferze w dowolnym punkcie między równikiem a biegunem, promieniami wychodzącymi z punktu leżącego antypodalnie do punktu styczności. Niezależnie od położenia płaszczyzny stycznej, obraz półkuli mieści się w kole o promieniu 2R. Bieguny odwzorowują się w postaci punktów, a równoleżniki i południki - w postaci okręgów lub łuków kół niewspółśrodkowych, z wyjątkiem dwóch linii siatki - linii prostych, które są obrazami południka styczności i równoleżnika leżącego przeciwstawnie do równoleżnika styczności.

Z: Odwzorowanie stereograficzne początkowo znalazło zastosowanie w astronomii przy sporządzaniu map sklepienia niebieskiego. W połowie XVI w. wykorzystywano je do przedstawienia planiglobów (dwie półkule w położeniu poprzecznym). Z czasem rozszerzono zastosowanie na prezentację obszarów okołobiegunowych, kontynentów i innych regionów o zbliżonym do koła. Ze względu na równokątność zaczęto je stosować do opracowania map topograficznych. W celu uzyskania lepszego rozkładu zniekształceń najczęściej używana jest wówczas siatka stereograficzna rzutowana na płaszczyznę sieczną.

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) ortograficzne:

Do grupy rzutów perspektywicznych należy także odwzorowanie ortograficzne. Powstaje ono wówczas, gdy punkty węzłowe siatki geograficznej rzutowane są na płaszczyznę promieniami wychodzącymi z punktu znajdującego się w nieskończoności, co oznacza, że promienie rzutujące są równoległe i padają prostopadle na płaszczyznę rzutów. Siatkę stosowano początkowo w pracach związanych z astronomią i geometrią. Najstarsze mapy świata wykonane w tym odwzorowaniu (w położeniu biegunowym i poprzecznym) pochodzą z przełomu XV i XVI w.

Obrazy południków w siatce ortograficznej w położeniu biegunowym (normalnym) tworzą pęk odcinków przecinających się w punkcie głównym O odwzorowania, którym jest biegun styczności. Równoleżniki są współśrodkowymi okręgami o rzeczywistych długościach (oczywiście wyrażonych w skali.

Aby narysować siatkę azymutalną ortograficzną w położeniu poprzecznym, należy płaszczyznę, na którą rzutujemy punkty węzłowe siatki geograficznej, umieścić stycznie do równika. Sposób rzutowania jest taki sam jak w położeniu normalnym, ale w związku z innym umiejscowieniem płaszczyzny odwzorowawczej powstaje zupełnie inny obraz południków i równoleżników. Promienie rzutujące prostopadłe do płaszczyzny rzutu są równoległe do płaszczyzny równika, a zatem wszystkie równoleżniki i równik odwzorują się na odcinki równoległe do siebie, o długościach równych średnicom tych równoleżników na kuli. Środkowy południk w siatce jest odcinkiem o długości średnicy kuli ziemskiej 2R. Skrajne południki półkuli są półokręgami zbiegającymi się w biegunach; tworzą okrąg o promieniu równym promieniowi ziemskiemu R. Pozostałe południki odwzorowują się jako elipsy, których duże osie pokrywają się z obrazem południka punktu głównego. Obraz tego południka i obraz równika dzielą siatkę na cztery symetryczne części. Odległości między równoleżnikami na południku styczności szybko maleją w miarę oddalania się od równika. Tak samo zachowują się odległości między południkami na równiku i równoleżnikach - gwałtownie maleją w miarę oddalenia od środkowego południka.

Ortograficzna siatka azymutalną w położeniu ukośnym tworzy obraz, jaki widzimy z dużej odległości na nachylonym pod pewnym kątem globusie. Oczywiście i w tym położeniu można odwzorować jedynie półkulę. Siatka ukośna także ma kształt koła o promieniu kuli ziemskiej (R w skali). Południk środkowy odwzorowuje się jako odcinek dzielący siatkę kartograficzną na dwie symetryczne części.

Z: Odwzorowanie ortograficzne nie znajduje szerszego zastosowania ze względu na znaczne zniekształcenia długości, pól i kątów, nie odznacza się także szczególnymi zaletami. W siatce ortograficznej Ziemia przyjmuje wygląd ciała niebieskiego oglądanego z bardzo dużej odległości. Ze względu na możliwość plastycznego pokazania sferyczności powierzchni Ziemi czy innych ciał niebieskich, siatka ta używana jest w kartografii do opracowania map Księżyca i planet oraz do ilustracji astronomicznych podstaw geografii, np. do ilustracji ruchu obiegowego Ziemi i zmian jej oświetlenia w różnych porach roku.

---