|
|
|
|
|
|
Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.
W doświadczeniu tym potrzebne nam będą następujące rekwizyty: wahadło rewersyjne, wahadło matematyczne oraz układ czasowo-zaliczający.
Do jego przeprowadzenia powinniśmy znać poniższe pojęcia oraz prawa:
Wahadło matematyczne - jest to punktowy ciężar zawieszony na nierozciągliwej, bezmasowej nici o długości d. W przypadku małych drgań wahadła matematycznego są one (w przybliżeniu) harmoniczne. Jego okres wyraża wzór:
T = 2π·(d/g)1/2,
gdzie g - przyspieszenie ziemskie, d - długość nici.
Wahadło fizyczne - jest to ciało sztywne wykonujące wahania wokół poziomej osi zawieszenia przechodzącej przez nie. Jego drgania są również w przybliżeniu harmoniczne, o okresie:
T = 2π·(I/mzg)1/2,
gdzie I - moment bezwładności względem osi zawieszenia, z - odległość środka ciężkości od punktu zawieszenia, g - przyspieszenie ziemskie. Wielkość d = I/mz nosi nazwę długości zredukowanej wahadła fizycznego.
Okres wahań - czas dla ruchu periodycznego, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.
Moment siły - nazywamy nim wektor osiowy:
,
gdzie: r - promień wodzący zaczepiony w pewnym wybranym punkcie (względem tego punktu wyznacza się moment siły), F - wektor działającej siły.
Moment bezwładności punktu materialnego o masie m względem osi odległej o r definiuje się następującym równaniem:
I = m · r2.
Ruch harmoniczny - ruch nazywamy takowym, gdy siła działająca na ciało jest skierowana do jednego punktu, będącego położeniem równowagi i jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi:
F = - k · (x - x0),
gdzie: x0 jest położeniem równowagi, a k - stałą sprężystości.
Ruchem harmonicznym prostym nazywamy taki przypadek, kiedy amplituda drgań jest stała w czasie, natomiast z ruchem harmonicznym tłumionym mamy do czynienia, gdy amplituda zmniejsza się w sposób wykładniczy.
Wahadło rewersyjne - rodzaj wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy (przesuwny obciążnik). Dzięki temu możliwe jest osiągnięcie identyczności okresu drgań przy obu sposobach zawieszenia.
Środek ciężkości - jest to punkt ciała lub układu ciał, w którym przyłożona jest wypadkowa siła ciężkości działająca na ciało. W jednorodnym polu grawitacyjnym położenie środka ciężkości pokrywa się z położeniem środka masy.
Długość zredukowana - możemy ją wyznaczyć mając wahadło fizyczne o danej długości oraz matematyczne, którego długość możemy regulować. Oczywiście możemy tak dobrać długość tego drugiego, aby okresy drgań obu wahadeł były równe. W ten sposób określamy długość zredukowaną wahadła fizycznego. Jest ona równa długości posiadającego taki sam okres wahadła matematycznego.
Pomiary i obliczenia:
wahadło matematyczne:
Po przekształceniu równania na okres w wahadle matematycznym, otrzymujemy wzór na przyspieszenie ziemskie:
Obliczanie błędu:
Błędy pomiaru:
ΔT = ± 0,001 [s]
Δl = ± 0,001 [m]
l.p. |
długość [m] |
10 okresów [s] |
okres [s] |
1 |
0,20 |
9,016 |
0,902 |
2 |
0,25 |
9,973 |
0,997 |
3 |
0,30 |
11,009 |
1,101 |
g1 = 9,7045 ± 0,0030 [m/s2]
g2 = 9,7705 ± 0,0030 [m/s2]
g3 = 9,9291 ± 0,0027 [m/s2]
Średnie przyspieszenie ziemskie wynosi:
[m/s2].
Odchylenie standardowe wynosi:
[m/s2], co stanowi ok. 1,8% całkowitej wartości.
wahadło rewersyjne:
Przyspieszenie ziemskie wyliczamy z następującego wzoru:
'
gdzie lr = 1,11 [m].
Błąd obliczamy z tego samego wzoru, z którego korzystaliśmy w przypadku wahadła matematycznego.
Błędy pomiaru:
ΔT = ± 0,001 [s]
Δl = ± 0,01 [m]
l.p. |
długość [m] |
10 okresów (I) [s] |
okres(I) [s] |
10 okresów (II) [s] |
okres(II) [s] |
1 |
0,20 |
19,527 |
1,953 |
17,220 |
1,722 |
2 |
0,25 |
19,368 |
1,937 |
16,650 |
1,665 |
3 |
0,30 |
19,193 |
1,919 |
16,306 |
1,631 |
4 |
0,35 |
19,057 |
1,906 |
16,181 |
1,618 |
5 |
0,40 |
18,944 |
1,894 |
16,100 |
1,610 |
6 |
0,50 |
18,763 |
1,876 |
16,314 |
1,631 |
7 |
0,60 |
18,677 |
1,868 |
16,777 |
1,677 |
8 |
0,70 |
18,773 |
1,877 |
17,378 |
1,738 |
9 |
0,80 |
18,994 |
1,899 |
18,075 |
1,808 |
10 |
0,90 |
19,476 |
1,948 |
18,827 |
1,883 |
Z wykresu odczytujemy T dla punktu przecięcia - wynika stąd, iż T = 2,1 [s].
W następujący sposób obliczamy przyspieszenie ziemskie:
[m/s2]
Błąd wyliczamy poprzez zastosowanie tego samego wzoru, co w przypadku wahadła matematycznego:
Δg = ±0,002 [m/s2]
Ostateczny wynik pomiaru:
g = 9,940 ± 0,002 [m/s2]
Wnioski:
Jak widać po przeprowadzeniu doświadczenia - dokładniejsze pomiary uzyskaliśmy posługując się wahadłem matematycznym. Przyjmuje się, iż faktyczne przyspieszenie ziemskie wynosi g = 9,80665 [m/s2], tak więc wyniki przez nas otrzymane są całkiem poprawne. Jedynie w przypadku wahadła rewersyjnego widać trochę większe odchylenie od realnej wartości. Wpływ na to mógł mieć fakt, iż wartość T odczytywaliśmy z wykresu., posługując się metodą tzw. ekstrapolacji (prognozowania), stosowaną w dziedzinach takich, jak statystyka czy ekonometria.