WYDYMAŁA16, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałość materiałów II, WM 2, Wydymała II, Wydymałka sem3,4, WYDYMAŁA 1


1.Siły występujące w prętach i wywołane nimi zagadnienia wytrzymałości : Siły wewnętrzne : -są to siły powstające na powierzchniach myślowego przecięcia pręta , - są to oddziaływania jednej części pręta na drugą , -siły te można zapisać przez siłę ogólną W i moment ogólny M. Jeżeli siły przedstawimy w postaci składowych na osie x1,x2 i x3 to możemy w ten sposób wyróżnić tzw. Proste zagadnienia wytrzymałości : a) rozciąganie lub ściskanie od siły normalnej N. b) ścinanie od siły ścinającej T. c) skręcanie od momentu skręcającego Ms. d)zginanie od momentu gnącego Mg

2.Moment gnący i siła tnąca w belkach : Moment gnący w dowolnym przekroju belki określa się jako sumę algebraiczną momentów od obciążeń działających po jednej stronie belki . Siłę tnącą w dowolnym przekroju belki określa się jako sumę algebraiczną sił prostopadłych do osi belki działających po jednej stronie . I w ten sposób otrzymujemy : - dla obciążenia siłą skupioną P:T(1)=P, Mg(1)=-P*(a-x1) , -dla obciążenia ciągłego q :T(1)=∫qdx1=q*(a-x1), Mg(1)=∫q*(x-x1)dx=-1/2*q*(a-x1)2

3.Naprężenia i działania na nim : Naprężenie jest to natężenie sił wewnętrznych ,czyli ich wartość przypadająca na jednostkę pola powierzchni przekroju: pj=lim∆Wj/∆A=dWj/dA [N/mm2]=[Mpa]. Jak widać wektor naprężenia ma zwrot i kierunek zgodny ze zwrotem i kierunkiem oddziaływania siły ∆W ,ale wektor ten można rozłożyć na trzy składowe (równoległe do osi x1,x2i x3 ). Tak więc można zapisać że pj=σ*ej ,gdzie σ tensorem naprężenia . Tensor naprężenia zazwyczaj jest definiowany przez swoje składowe - wektory naprężenia . Do obliczeń można także używać składowych tego tensora σ=pj*ej

4.Naprężenia główne i ich wyznaczenie : Naprężenie główne jest to taki stan naprężenia w którym występują jedynie naprężenia normalne ( naprężenia styczne =0) . Wartości tych naprężeń łatwo jest wyliczyć wiedząc że determinant z macierzy: σ11-σ σ12 σ13 , σ21 σ22-σ σ2331 σ32 σ33-σ ,jest równy 0 dla naprężeń głównych :det[σij-σбij]=σ3-Iσσ2+IIσσ-IIIσ=0. Pierwiastki tego równania noszą nazwę naprężeń głównych . 3 niezmienniki podstawowe tensora naprężeń Iσ112233ij ,IIσ=1/2*(σiiσkkikσik),IIIσ=Det[σik]

5. Równania równowagi wewnętrznej : Równanie momentów wzg osi równoległej do x1: -σ32dx1dx2*(dx3/2)-[σ32+(∂σ32/∂x2)*dx3]*dx1dx2*(dx3/2) +σ23dx1dx3*(dx2/2)+ [σ23+(∂σ23/∂x2)*dx2]*dx1dx3*(dx2/2)=0 czyli σ2332 .Warunek równowagi sił w kierunku osi x2:[σ22+(∂σ22/∂x2)*dx2]*dx1dx322dx2dx1dx3+[σ32+(∂σ32/∂x3)*dx3]*dx1dx2- σ32dx3dx1dx2 +[σ12+(∂σ12/∂x1)*dx1]*dx2dx3- σ12dx1dx2dx3+ Y2dx1dx2dx3=0 .Po podzieleniu równania przez dx1dx2dx3 otrzymujemy:(∂σ12/∂x1)+(∂σ22/∂x2)+(∂σ32/∂x3)+Y2=0 .Równanie ogólnie :(∂σij/∂xi)+Yj=0 (i,j=1,2,3)

6. Przemieszczenie i odkształcenie - związki między nimi: Wektor przemieszczenia jest to różnica położeń punktu O przed i po zdefiniowaniu u=x-x0 , u1=x1-x10 . Jednak przemieszczenie punktu A położonego nieskończenie blisko punku O jest na ogół różne od u z czego wynika u'=u=du . Przyrost wszystkich trzech składowych przemieszczenia wzdłuż kierunków osi współrzędnych przybierają postać T=[tik]= u11 u12 u13 ,u21 u22 u23 ,u31 u32 u33 gdzie :uik=∂ui/∂xk =1/2*(∂ui/∂xk+∂uk/∂xi) +1/2*(∂ui/∂xk-∂uk/∂xi),2 -część określa sztywne obroty ciała , 1-wspó. symetrycznego tensora małych odkształceń :εikki=1/2*(∂ui/∂xk+∂uk/∂xi).Współrzędne tensora małych odkształceń ε112233 określają odkształcenie liniowe w kierunku osi układu , zaś współrzędne ε122331określają połowę kątów odkształcenia postaciowego w płaszczyznach wyznaczonych osiami współrzędnych .

7. Zależności przy obrocie tensora naprężenia : Chcąc otrzymać zależności przy obrocie tensora odkształcenia należy wziąć kwadraty długości pewnego odcinka różniczkowego dx przed i po odkształceniu:ds02=dxi0dxi0,ds2=dxjdxj . Wiedząc że: dxi=∂xi/∂xj0*dxj0 można stwierdzić iż: ds2-ds02=(∂xi/∂xk0)*dxk0*(∂xi/∂xl0)*dxl0-dxm0dxm0 =[(∂xi/∂xk0)*(∂xi/∂xl0)-бkl]*dxk0*dxl0 =(uik+uki+ujiujk)* dxi0*dxk0 ,a dla małych odkształceń ( pomijamy uji, ujk ): ds2-ds02=2*εik*dxi0*dxk0 . Ponieważ w dwóch różnych układach współrzędnych kwadrat długości odkształconego odcinka musi pozostać taki sam , można zapisać zależność εqr'*dxq'*dxr'=εik*dxi0*dxk0 jeżeli zapiszemy cosinusy kierunkowe jako αqi=dxi0/dxq0 ,to otrzymamy zależność przy obrocie tensora odkształcenia εqr'=εikqirk (i,k=1,2,3 q,r=1',2',3' )

8. Związki fizyczne materiału i uogólnione prawo Hook'e : Związki fizyczne materiału wiążą ze sobą tensory naprężenia i odkształcenia , dla ciał sprężystych związki takie można zapisać w postaci :σij=Cijklklkl=Sklijij gdzie Cijkl są współrzędnymi tensora sztywności , zaś są współrzędnymi tensora sztywności . Jak widać (dla i,j,k,t =1,2,3) tensory te posiadają 81 współrzędnych . Ze względu na symetrię tensorów naprężenia i odkształcenia oraz wyraźnie określające energie sprężystą materiału liczba niezależnych stałych sprowadza się do 21 dla materiału anizotropowego oraz do 9 dla materiału izotropowego . W zagadnieniach wytrzymałości materiałów zazwyczaj używa się innych oznaczeń stałej tj :S1111=1/E ,S1122=-v/E ,S1212=2*(S1111-S1122)=[2*(1+v)]/E=1/G ,E- moduł Younga , v -wsp. Poissona ,G-mod. Kirchoffa. Stosując te oznaczenia do przyjętych związków fizycznych otrzymujemy: ε11=1/E*σ1122=-v/E*σ11 33=-v/E*σ11. Jeśli zsumujemy te wzory to otrzymamy tkz. Uogólnione prawo Hook'e: ε11=1/E*[σ11-v*(σ2233)] ,ε22=1/E*[σ22-v*(σ3311)] ,ε33=1/E*[σ33-v*(σ1122)] ,ε12=1/2G*σ1223=1/2G*σ2331=1/2G*σ31

10. Wyznaczenie właściwej energii sprężystości i jej podział na część objętościową i postaciową : Właściwą energie sprężystości można wyznaczyć rozpatrując czyste rozciąganie:U=1/2*σ1111 lub rozpatrując czyste ścinanie U=1/2*σ12*(2ε12)=1/2*(σ12122121) .Energie właściwą możemy więc opisać wzorem: U=1/2*σikik . Jeśli rozłożymy tensor naprężenia i odkształcenia na cześć dewiatoryczną i kulistą: σik=sik+1/3*σjjikik=eik+1/3*ellik . Po podstawieniu i wykonaniu działań otrzymuje się: U=1/2*sik*eik+1/6*σjj*ell=Up+U0 ,Up -postaciowa część energii , Uo -objętościowa część energii.

11. Wytężenie i przykłady teorii wytrzymałości : Wytężenie określa stopień narażenia materiału na zniszczenie wg. przyjętego kryterium . Przyjmuje się , że wytężenie jest pewną funkcją stanu naprężenia , której liczbowa wartość jest miarą zniszczenia materiału w danym punkcie . Teoria Zniszczenie nie może zależeć od układu współrzędnych , w którym tensor jest opisany , czyli dla dowolnego układu współrzędnych teoria wytrzymałości musi podawać ten sam wynik . Najprościej zapewnić to wprowadzając niezmiennik tensorów naprężenia lub odkształcenia . -W teorii nie powinien występować niezmiennik III. Stwierdzenie to oparte jest na założeniu o symetrii materiału . Zniszczenie nie może zależeć od znaku naprężeń stycznych , działających na izotropowy ośrodek jednorodny. -Teoria powinna zawierać człony dające w efekcie naprężenia w potędze nie wyższej niż 4 . Wynika to z faktu , że równania wyższych stopni niż 4 nie mają rozwiązań zależnych od współczynników równania W=W(σik)=W(σ123) (i,k =1,2,3 )

12. Uogólniona teoria wytrzymałości: Zasady budowy uogólnionej teorii wytrzymałości: --Teoria ta powinna dać się zapisać za pomocą niezmienników tensora naprężeń. ---Teoria ta nie powinna zawierać niezmiennika III . -W teorii tej nie powinny występować człony dające w efekcie naprężenia w potędze nie wyższej niż 4. Funkcja spełniająca wszystkie te założenia przedstawia się następująco : W=AIσ+BIσ2+CIIσ+DIσ4+EIσ2IIσ+FIIσ2. W rozważaniach będziemy używać przybliżenia kwadratowego :W=AIσ+BIσ2+CIIσ≤1 . Stałe A, B, C wyznacza się w prostych doświadczeniach tzn. jednoosiowego rozciągania (Rr=Rm) i ściskania (Rc) , oraz czystego ścinania (Rτ) , jako: A=1/Rr , B=1/(Rr*Rc) ,C=-1/Rt2 ostatecznie otrzymujemy: (1/Rr-1/Rc)*Iσ—[(RrRc-3Rt2)/(3RrRcRt2)]*Iσ2 +(1/3Rt2)*σH2≤1

13. Momenty bezwładności- zależności : Zależności dotyczące przesunięcia układu współrzędnych (wzory Steinera):Ix1c=Ix1-(e2)2*A , Ix2c=Ix2-(e1)2*A , Ix1cx2c=Ix1x2-e1e2*A .Zależności dotyczące obrotu układu współrzędnych: Ix1'c=1/2*(Ix1c+Ix2c)+1/2*(Ix1c-Ix2c)*cos2α--Ix1cx2csin2α , Ix2'c=1/2*(Ix1c+Ix2c)-1/2*(Ix1c-Ix2c)*cos2α+Ix1cx2csin2α , Ix1'cx2'c=1/2*(Ix1c-Ix2c)*sin2α+Ix1cx2ccos2α

14. Rozciąganie i ściskanie -zagadnienia: Obliczając naprężenia i odkształcenia prętów rozciąganych ( ściskanych ) przyjmuje się następujące założenia : -- W dowolnym przekroju pręta występują naprężenia normalne. ---Naprężenia te rozłożone są w sposób równomierny na całym przekroju . - Przekroje płaskie i prostopadłe do osi wzdłużnej pręta przed obciążeniem pozostają po obciążeniu nadal płaskie i prostopadłe do niej . Naprężenie normalne w dowolnym przekroju pręta jest równe σ(x)=N(x)/A , a wzdłużne bezwzględne u(x) jest równe: u(x)=∫ε(x)dx , ε(x)=σ(x)/E=N(x)/EA , z prawa Hook'a . A więc ostatecznie u(x)=∫(N(x)/EA)*dx

15. Skręcanie prętów okrągłych : Zależność na moment skręcający zapisujemy jako: Ms=∫ρσsdA . Przy obliczaniu okrągłych prętów skręcanych przyjmujemy , że przekroje płaskie i prostopadłe do osi pręta przed obciążeniem pozostają płaskie i prostopadłe to tej osi po obciążeniu , a także dowolny promień przekroju poprzecznego pozostaje prosty po obciążeniu .Na rys. przedstawiony jest ele. pręta wycięty dwoma równoległymi płaszczyznami odległymi o dx oraz dwoma przekrojami obwodowymi odległymi od siebie o dp . Zauważamy (na podstawie geometrii rozważanego ele.) : γ(ρ)=ρ*dφ/dx . Jak widać wycinek AA'BB' ele pręta poddany jest czystemu ścinaniu , a więc zgodnie z prawem Hook'a można zapisać : γ(x)=σs/G . A więc σs=G*dφ/dx*ρ wtedy zależność na moment skręcający przyjmuje postać: Ms=G*dφ/dx*∫ρ2dA , gdzie całka jest geometryczna sztywność skręcania . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać: dφ/dx=Ms/GIs φ=Msl/GIs , σs=Ms/Is

16. Skręcanie prętów o przekrojach dowolnych : Przy skręcanie prętów o przekrojach dowolnych (nie kołowych ) należy wziąć pod uwagę to iż przekroje te nie pozostają płaskie po przyłożeniu obciążeniu . Spowodowane jest to tym że rozkład naprężeń w tych przekrojach jest nierównomierny , w narożach zew. naprężenia osiągają wartość 0 , a wew. Dążą do nieskończoności . Maksymalne naprężenia skręcające oraz kąt skręcenia odcinka o dł. „l” obliczamy wg. wzorów : σs max=Ms/Ws ,φ(x)=Msx/GIs , gdzie :Ws- wskaźnik wytrzymałości na skręcanie , Is- sztywność geometryczna. -Dla rur cienkościennych : Ws=2Fбmin , Is=4F2/∫(ds/б) =4F2/∑(sii)

17. Zginanie -klasyfikacja zagadnień : Zginaniem nazywa się stan obciążenia gdy siły wew. sprowadzają się do : --momentu gnącego i siły tnącej (zginanie z udziałem sił poprzecznych ), --tylko do momentu gnącego (zginanie czyste ) . Innym podziałem jest podział w zależności od położenia płaszczyzny w której działa obciążenie: -- gdy płaszczyzna obciążenia przechodzi przez jedną z gł. cen. osi bezwładności (zginanie proste ) , --gdy płaszczyzna obciążenia jest dowolnie zorientowana wzg. gł. cen. osi bezwładności (zginanie ukośne)

18. Naprężenia normalne przy zginaniu—wzory: Naprężenia normalne przy zginaniu można wyliczyć rozpatrując przypadek zginania prostego. Wyrażenie na moment gnący wyraża się następująco: Aby wyznaczyć naprężenia normalne σg należy rozważyć warstwę obojętną zginanej belki oraz oddaloną od niej o x2 warstwę rozciąganą . Z zależności geometrycznych wynika :dx1/ρ=[(1+ε)dx1/(ρ+x2] =>ε=x2/ρ a korzystając z prawa Hook'a można zapisać : ε=σg/E => σg=E/ρ*x2 . Wtedy korzystając z zależności na moment gnący zapisujemy: E/ρ*∫x22dA=Mg gdzie ∫x22dA=I3 - moment bezwładności wzg. osi x2 . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać : 1/ρ=Mg/EI3 σg=Mg/I3*x2 czyli σg(x1)=Mg(x1)/I3*x2

19. Naprężenia styczne przy zginaniu -wzory: Naprężenia styczne przy zginaniu można wyznaczyć rozpatrując przypadek zginania prostego z udziałem siły tnącej . Wyrażenia na moment gnący i siłę tnącą mają postać: ∫x2σgdA=Mg(x1) , ∫σTdA=T(x1) . Aby wyznaczyć naprężenia styczne σT poniższego fragmentu belki: σTb(x2)dx1=∫(σg+dσg)dA'-∫σgdA' wynika stąd ,że σTb(x2)=(dMg(x1)/dx1)*[(∫x2dA')/I3] , gdzie dMg(x1)/dx1=T(x1) --siła tnąca , a S=∫x2dA' -- moment styczny pola A' wzg osi x3 . Uwzględniając powyższe zależności można zapisać: σT=(T(x1)/I3)*(S/b(x2))

20.Linia ugięcia belki przy zginaniu—wzory: Kształt linii ugięcia belki przy zginaniu określają : lokalna krzywizna: χg(x1)=1/ρ(x1)=Mg(x1)/EI3 , ugięcie v(x1) , oraz kąt zginania ψ(x1) . Z geometrii różniczkowej dla małych ugięć belki , można zapisać zależności :ψ(x1)=dv/dx1 , 1/ρ(x1)=(-d2v/dx12)/√[1+(dv/dx1)2]3≈-(d2v/dx12) , a więc (d2v/dx12)=-(Mg(x1)/EI3) -- jest to równanie różniczkowe linii ugięcia belki rozwiązując je dla przypadku stałej sztywności na całej długości pręta , otrzymujemy : EI3*(dv/dx1)=EI3ψ(x1)=-∫Mg(x1)dx1+C , EI3v(x1)=-∫[∫Mg(x1)dx1]dx1+Cx1+D , stałe C i D obliczamy z warunków podporowych: dla x1=0 ,v(x1)=0, i dla x1=l v(x1)=0 , dla x1=0 ,v(x1)=0 , ψ(x1)=0 .Do rozwiązania bardziej złożonych obciążeń belki stosuje się tzw. metodą Clebsha.

21. Zginanie prętów silnie zakrzywionych : Prętami silnie zakrzywionymi nazywamy pręty których stosunek największej wysokości przekroju h do promienia krzywizny geometrycznej R jest większy od 0,2.Rozpatrując warstwę obojętną tego pręta można zapisać : rdψ=r11 ,a rozważając warstwę rozciąganą odległą o x2 od warstwy obojętnej dochodzimy do zależności : ε=[(r1+x2)dψ1-(r+x2)dψ]/[(r+x2)dψ)] , po przekształceniu tych zależności i zastosowaniu prawa Hooke'a otrzymujemy: σg=E*[(r/r1)-1]*[x2/(r+x2)] , ale aby określić promień krzywizny warstwy obojętnej r należy rozpatrzyć zależność : ∫σgdA=0 ,E*[(r/r1)-1]*∫[x2/(r+x2)]*dA=0 ponieważ [(r/r1)-1]≠0, bo r≠r1 to ∫[x2/(r+x2)]*dA=0 po wprowadzeniu ρ=r+x2 , ∫[(ρ-r)/r]dA=A-r*∫dA/ρ=0 , r=A/(∫dA/ρ) , Mg==∫x2σgdA=E*[(r/r1)-1]*∫[x22/(r+x2)]dA , ∫[x22/(r+x2)]dA =∫[(x22+rx2-rx2)/(r+x2)]dA= ∫x2dA-r*∫[x2/(r+x2)]dA 1-całka w wcześniejszym równaniu stanowi moment statyczny S , 2-jest równa 0 zatem : Mg=E*[(r/r1)-1]*S , σg=(Mg/S)*[x2/(r+x2)]

22. Belka na sprężystym podłożu - wzory: Powyższy rysunek przedstawia belkę na sprężystym podłożu obciążoną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q(x) , oddziałuje na nią także reakcja podłoża p(x) wzdłuż długości belki . jeżeli reakcja podłoża p jest liniową funkcją przemieszczenia belki v to podłoże posiada właściwości sprężyste : p=kv gdzie k -współczynnik sprężystości podłoża .w przypadku małych ugięć równanie różniczkowe linii ugięcia linii ugięcia belki wyznacza się następująco : d2v/dx12=Mg(x1)/EI3 => EI3*d3v/dx13=dMg/dx1=T(x1) , EI3*d4v/dx14=dT/dx1=q1 gdzie q1==q-p=q-kv - natężenie obciążenia belki siłami czynnymi. Po podstawieniu otrzymujemy:EI3*d4v/dx14=q-kv czyli d4v/dx14+4β4v=q/EI3 , gdzie β=4√[k/4EI3] . Rozwiązując to równanie otrzymujemy : v=q/k+eβx1*(Acosβx1+Bsinβx1)+e-βx1*(Ccocβx1+Dsinβx1) . Stałe całkowania : A,B ,C, D wyznacza się z warunków brzegowych: ψ=dv/dx1 , Mg(x1)=-EI3*(d2v/dx12) , T(x1)=-EI3*(d3v/dx13)

23. Wytrzymałość złożona prętów -zasady obliczeń: Wytrzymałość złożona jest to wytrzymałość na złożony stan obciążeń jednoczesne złożenie obciążeń zginania , rozciągania , skręcania , ścinania gdy w danym punkcie przekroju występują naprężenia normalne σn i styczne σt . Podczas obliczeń wyznacza się naprężenia zredukowane które wylicza się z hipotezy: -- Hubera : σzred=√[σn2+3σt2] , --Columba-Treski : σzred=√[σn2+4σt2] . Naprężenia te powinno wyznaczać się w punkcie , w którym wytężenie materiału jest największe . Naprężenia normalne pochodzące od momentu Mg i siły N można sumować algebraicznie : σn=σ+σg . Naprężenia styczne pochodzące od momentu Mt i i siły T sumujemy geometrycznie : σtsT

24.Wyboczenie prętów - definicja : Wyboczeniem nazywa się wygięcie pręta spowodowane osiągnięciem lub przekroczeniem przez siłę ściskającą wartości krytycznej .Zjawisko wyboczenia związane jest z postaciami równowagi ciał odkształcalnych : z równowagą statyczną (trwałą) i niestateczną (chwiejną) . Postacią stateczną dla pręta ściskanego siłą P mniejszą od siły krytycznej Pkr jest pionowa postać równowagi , znaczy to że jeżeli pręt zostanie wygięty impulsem bocznym to to wróci do postaci pionowej z chwilą zaniku impulsu . Natomiast gdy siła P osiągnie wartość krytyczną Pkr pionowa postać pręta stanie się postacią równowagi niestatecznej i pręt pod wpływem małego impulsu prostopadłego do osi może przybrać nową postać równowagi o osi wygiętej .

25.Wzory Eulera na wyboczenie prętów smukłych : Wzór Eulera ma zastosowanie przy wyboczeniu sprężystym prętów . Aby wyprowadzić wzór należy rozpatrywać przypadek zamocowania obustronnie przegubowego pręta , ściskanego siłą osiową P . Jak widać w stanie równowagi w postaci wygiętej oprócz siły podłużnej w pręcie pojawia się moment gnący Mg(x1)=Pv(x1) . Wiedząc że równanie różniczkowe ugięcia osi wybaczonego pręta ma postać :d2v/dx12=-(Mg/EI) ,otrzymujemy : d2v/dx12=-k2v , gdzie k2=P/EI . Rozwiązaniem tego równania jest: v(x1)=Asin(kx1)+Bcos(kx1) Stałe A iB wyznacza się z warunków brzegowych (dla x1=0 v=0 , dla x1=l v=0 ) , wynikają stąd następujące zależności : B=0 , Asin(kl)=0 , a więc gdy A=0 -prostoliniowa postać równowagi (v=0 dla każdego x1 ) ,gdy zaś sin(kl)=0 -wygięta postać równowagi i stąd : kl=nπ => P=(n2π2EI)/l2 . Siłą ta w istotny sposób zależy od zamocowania pręta i tak dla różnych sposobów zamocowania otrzymujemy ogólną postać wzoru Eulera : Pkr=(π2EI)/ls2

26.Smukłość i smukłość graniczna: Znając wzór na siłę krytyczną : Pkr2EI/ls2 , możemy wyprowadzić wzór na naprężenie krytyczne: σkr=Pkr/A= π2EI/ls2A , a wprowadzając pojęcie promienia bezwładności :i=√[I/A] oraz smukłości : λ=ls/i , otrzymujemy : σkr2E/λ2 , wiedząc że Wzór Eulera był wyprowadzony przy założeniu że odkształcenia zachodzą w granicy stosowalności prawa Hook'e ( naprężenia ściskające w pręcie są mniejsze od granicy proporcjonalności σkr≤RH ) : π2E/λ2≤RH , λ≥π*√[E/RH]=λgr --smukłość graniczna . Wyboczenia zachodzące dla smukłości większych i równych smukłości granicznej nazywamy wyboczeniem sprężystym.

27.Wyboczenia niesprężyste , zakres stosowania i obliczenia : Wyboczenie niesprężyste jest to wyboczenie powodujące w pręcie odkształcenia trwałe ( po zdjęciu obciążenia pręt nie wraca do pozycji wyjściowej : .Zjawisko takiego wyboczenia zachodzi gdy smukłość pręta jest mniejsza od smukłości granicznej : λ<λgr .Do obliczeń takiego wyboczenia stosowane są następujące przybliżenia : --przybliżenie parabolą Johsona-Ostenfekta o równaniu : σkr=A-Bλ2 , stałe A i B wyznacza się z warunku że parabola ta musi być styczna do hiperboli Eulera oraz że dla λ=0 naprężenia:σkr=Re ,Rc -granica plastyczności materiału pręta , a więc: σkr=Re*[1-(λ2/2λ02)] gdzie: λ0= π*√[2E/Re] -- pkt styczności . -przybliżenie prostą Tetmajera ( stosowane w obliczeniach modeli dokładnych ) o równaniu: σkr=a-bλ , stałe a i b wyznacza się z warunku że : dla λ=0 σkr=Re ,dla λ=λgr σkr=RH

28. Podstawowe przypadki wyboczenia prętów:

29.Zależność pomiędzy siłą wyboczeniową a smukłością pręta:

30.Ściskanie mimośrodkowe pręta: W warunkach rzeczywistych , idealne ściskanie współosiowe nie jest możliwe dlatego rozważa się ściskanie mimośrodkowe ( przesunięcie siły o pewną wartość e względem osi pręta ) . Z rys możemy zapisać zależność na moment zginający w dowolnym przekroju belki : Mg(x1)=Pa+Pv , zaś równanie ugięcia belki przyjmuje postać : (d2v/dx12)+k2v+k2a=0 , gdzie : k2=P/EI , rozwiązując to równanie różniczkowe otrzymujemy : v(x1)=Asin(kx1)+Bcos(kx1)-a . Stałe A i B wyznacza się z warunków brzegowych : dla: x1=0 v=0 czyli B-a=0 => B=a , dla: x1=l , v=0 czyli Asin(kl)+acos(kl)-a=0 , A=a*[(1-cos(kl))/sin(kl)] . Po podstawieniu stałych do równania ugięcia belki i przekształceniu otrzymujemy: v=a*{[cosk*((l/2)-x1)]/cos(kl/2)—1}, k=√[P/EI]=(π/l)*√[(l22)*(P/EI)]=(π/l)*√[P/Pkr] , vmax=a*{1/[cos((π/2)*√[p/pkr])]-1}, Mg max=P*(a+vmax)=Pa/[cos((π/2)*√[P/Pkr])] , σmax=P/A+ Pa/[Wgcos((π/2)*√[P/Pkr])]



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
test z wydymałki, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wy
Pytania egzaminacyjne111, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semes
zadania wyd16, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrz
spis wy, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałoś
Ogólne wzorki, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrz
Kształt, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałoś
WZORY1, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałość
WZORY11, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałoś
wydymała123, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzym
WYDYMAŁA1, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymał
GOTOWE, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymałość
wydymała 1teor6, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wyt
WYDYMAŁA1ggg, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzy
wydymała456, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzym
WYD1scigi, Przodki IL PW Inżynieria Lądowa budownictwo Politechnika Warszawska, Semestr 4, Wytrzymał

więcej podobnych podstron