Kowariancja:

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona:

Gdzie s_x i s_y to są odchylenia standardowe badanych zmiennych.

Ostatecznie otrzymujemy:

Po pewnych przekształceniach wzór ma postać:

Przykład:

W celu ustalenia, jaka jest zależność stopnia zużycia maszyn od okresu ich użytkowania zebrano dane dotyczące 15 maszyn w pewnej fabryce:

Nr maszyny	Okres eksploatacji w latach	Stopień zużycia w %
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	7 2 6 9 2 4 3 1 11 10 4 8 5 2 1	27 6 28 33 8 12 12 8 45 40 13 32 17 10 9

Ustal siłę zależności między tymi cechami.

Rozwiązanie:

Ustalamy, która zmienna jest zależna (Y), a która niezależna (X).

Rysujemy korelacyjny diagram rozrzutu:

W oparciu o wykres stwierdzamy, że zależność jest przypuszczalnie liniowa i wobec tego liczymy współczynnik korelacji liniowej.

W tym celu musimy wyliczyć średnie i odchylenia standardowe obu cech. Obliczenia pośrednie zawarte są w tabeli poniżej:

Nr	Czas eksploatacji w latach (x)	Zużycie w % (y)	x^2	y^2	x*y
1	7	27	49	729	189
2	2	6	4	36	12
3	6	28	36	784	168
4	9	33	81	1089	297
5	2	8	4	64	16
6	4	12	16	144	48
7	3	12	9	144	36
8	1	8	1	64	8
9	11	45	121	2025	495
10	10	40	100	1600	400
11	4	13	16	169	52
12	8	32	64	1024	256
13	5	17	25	289	85
14	2	10	4	100	20
15	1	9	1	81	9
Ogółem	75	300	531	8342	2091

Komentarz:

Między zużyciem maszyny a okresem jej użytkowania występuje bardzo silna zależność liniowa dodatnia.

---