Wykład 3.

Opis parametryczny zbiorowości statystycznej - miary skośności i miary koncentracji

s. 55 - 67

• miary skośności:

•moment trzeci standaryzowany

•współczynniki skośności

• koncentracja jako kurtoza

• moment czwarty standaryzowany

• koncentracja jako nierównomierność

Skośność - pozwala określić czy w zbiorowości występuje przewaga jednostek o wartościach cechy mniejszych (skośność prawostronna) czy też większych od średniej (skośność lewostronna).

Podział miar skośności

klasyczne:	mieszane:	pozycyjne:
absolutne: moment trzeci centralny - m3(x) względne: moment trzeci centralny standaryzowany - m3(t)	absolutne: miara skośności względne: współczynnik skośności - Ws1	absolutne: pozycyjna miara skośności względne: współczynnik skośności - Ws2

Klasyczne miary skośności - obliczenia

trzeci moment centralny standaryzowany:

trzeci moment centralny:

• szereg szczegółowy i surowy materiał statystyczny

• szereg rozdzielczy punktowy

trzeci moment centralny standaryzowany:

interpretacja kierunku skośności:

m₃(t) = 0 - brak skośności

m₃(t) > 0 - skośność prawostronna

m₃(t) < 0 - skośność lewostronna

pomocnicza interpretacja siły skośności:

m₃(t) ∈ (0 ; 0,34) - skośność słaba

m₃(t) ∈ <0,34 ; 0,67) - sk. średnia

m₃(t) ∈ <0,67 ; 1> - sk. silna

m₃(t) > 1 - sk. bardzo silna

Mieszane miary skośności - obliczenia

Miara skośności:

Ms = 0 - brak skośności

Ms > 0 - skośność prawostronna

Ms < 0 - skośność lewostronna

Współczynnik skośności:

interpretacja kierunku skośności:

W_s1 = 0 - brak skośności

W_s1 > 0 - skośność prawostronna

W_s1 < 0 - skośność lewostronna

pomocnicza interpretacja siły skośności:

W_s1 ∈ (0 ; 0,34)

W_s1 ∈ <0,34 ; 0,67)

W_s1 ∈ <0,67 ; 1>

W_s1 > 1

Pozycyjne miary skośności - obliczenia

Pozycyjna miara skośności:

- brak skośności

- sk. prawostronna

- sk. lewostronna

Pozycyjny współczynnik skośności:

interpretacja kierunku skośności:

W_s2 = 0 - brak skośności

W_s2 > 0 - skośność prawostronna

W_s2 < 0 - skośność lewostronna

pomocnicza interpretacja siły skośności:

W_s2 ∈ (0 ; 0,34)

W_s2 ∈ <0,34 ; 0,67)

W_s2 ∈ <0,67 ; 1>

W_s2 > 1

czwarty moment centralny standaryzowany

czwarty moment centralny

szereg szczegółowy i surowy materiał statystyczny:

szereg rozdzielczy punktowy:

MIARY ZMIENNOŚCI - zadania i odpowiedzi

1. Zbadaj zróżnicowanie czasu dojazdu do pracy (w min) pracowników pewnej firmy wykorzystując miarę klasyczną

Xi0 - Xi1	ni
5-30 30-60 60 i więcej	30 65 5
Razem	100

Odp. można wykorzystać dwie miary: V(S) i V(d), ale częściej oblicza się V(S):

S² = 226,31 min² , S = 15,04 min - czas dojazdu do pracy poszczególnych pracowników różni się przeciętnie od średniego czasu o 15,04 min, V(S) = 0,39 (lub 39%)- zróżnicowanie czasu dojazdu do pracy jest średnie (wyraźne).

[d = 12,45 min, V(d) = 0,33 (lub 33%)].

2. Zbadano wzrost wybranej grupy modelek. Wyniki przedstawiono w szeregu przedziałowym:

Xi0 - Xi1	ni
175-180 180-185 185-195	10 30 60
Razem	100

Wiedząc, że dla drugiej grupy modelek otrzymano następujące parametry:: środkowy wzrost =188 cm, Q₃ = 192 cm, Q₁ = 178 cm - porównać zmienność wzrostu obu grup modelek.

Odp. ponieważ dla drugiej grupy modelek podane są tylko miary pozycyjne - należy porównać zmienność miarą pozycyjną (do porównań trzeba stosować tą samą miarę dla jednej i dla drugiej zbiorowości)

I grupa modelek:: V(Q) = 0,02 (lub 2%) - zmienność wzrostu jest mała [Q₁ = 182,5 cm, Q ₂ = 186,67 cm, Q₃=190,83 cm, Q = 4,17 cm]

II grupa modelek: V(Q) = 0,04 (lub 4%) - zmienność wzrostu jest mała [Q = 7 cm]

Zmienność wzrostu dwóch grup modelek jest mała, ale w drugiej grupie nieznacznie większa niż w pierwszej.

3. Miarą klasyczną zbadać dyspersję wieku pracowników pewnej firmy:

23, 35, 24, 35, 35, 41, 35, 40, 35, 42

Odp. S² = 37,25 lat^2,, S = 6,1 lat - wiek poszczególnych pracowników różni się od średniego wieku przeciętnie o 6,1 (lat), V(S) = 0,18 (lub 18%)- dyspersja wieku pracowników jest mała.

[zamiast V(S) można wykorzystać V(d)].

4. zbadać rozproszenie czasu oczekiwania na odprawę celną wykorzystując:

1. miarę klasyczną,

2. miarę pozycyjną,

3. czym można wyjaśnić różnice w wynikach obu miar?

Xi	ni
2 3 4 5 6	2 5 3 2 2
Razem	14

odp

1. S² = 1,59 h², S = 1,26 h - czas oczekiwania na poszczególnych przejściach granicznych różni się przeciętnie od średniego czasu o 1,26 h, V(S) = 0,33 (lub 33%) - rozproszenie czasu oczekiwania jest małe

2. V(Q) = 0,29 (lub 29%) - rozproszenie czasu oczekiwania jest małe [Q₁ = 3 h, Q₂ = 3,5 h, Q³ = 5 h, Q = 1 h]

3. miary klasyczne obliczane są na podstawie wszystkich wartości w szeregu, a pozycyjne miary zmienności badają jedynie zmienność w dwóch środkowych ćwiartkach zbiorowości - eliminują wiec wpływ wartości skrajnych (z początku i z końca szeregu). Dlatego miara pozycyjna wskazuje mniejszą zmienność.

MIARY SKOŚNOŚCI i KONCENTRACJI - zadania i odpowiedzi

1. Jakiej miary skośności nie można wykorzystać do zbadania skośności czasu dojazdu do pracy (w min) pracowników pewnej firmy:

Xi0 - Xi1	ni
5-30 30-60 60 i więcej	30 65 5
Razem	100

Odp. nie można wykorzystać W_s (mieszana miara skośności) ponieważ nawet po sztucznym domknięciu przedziału [60-90] nie można obliczyć dominanty (przedział dominanty i przedziały z nim sąsiadujące mają różną rozpiętość).

2. Zbadano wzrost wybranej grupy modelek. Wyniki przedstawiono w szeregu przedziałowym:

Xi0 - Xi1	ni
175-180 180-185 185-195	10 30 60
Razem	100

1. zbadać skośność rozkładu wzrostu tej grupy modelek przy pomocy miary klasycznej,

2. Wiedząc, że dla drugiej grupy modelek otrzymano następujące parametry:: średni wzrost = 180 cm, środkowy wzrost =188 cm, Q₃ = 192 cm, D = 189 cm, S = 7 cm, Q₁ = 178 cm - porównać skośność wzrostu obu grup modelek.

Odp. A) M.₃(t) = -0,73 skośność duża, prawostronna tzn, że występuje znaczna przewaga modelek o wzroście wyższym od średniego. [M₃(X) = -66,38 cm³, S³ = 91,13 cm³]

B) ponieważ z parametrów podanych dla drugiej grupy modelek można obliczyć pozycyjny Ws i mieszany W_s, a dla pierwszej grupy można obliczyć M₃(t) i pozycyjny W_s (mieszanego W_s nie można policzyć bo różne rozpiętości przedziałów uniemożliwiają obliczenie D) do porównania można wykorzystać jedynie pozycyjny W_s

I grupa modelek:: W_s = -0,0012 skośność lewostronna, bardzo mała

II grupa modelek: =- 0,43 skośność lewostronna, średnia

Skośność wzrostu drugiej grupy modelek (średnia) jest większa niż w pierwszej (mała), kierunek skośność w obu grupach jest lewostronny tzn., że występuje przewaga modelek o wzroście wyższym od średniego.

3. Porównać skośność wieku pracowników dwóch firm wiedząc, że dla I firmy otrzymano następujące wyniki:

23, 35, 24, 35, 35, 41, 35, 40, 35, 42

a dla drugiej firmy: D = 28 lat, S² = 25 lat², Q₃ = 31 lat, Q₁ = 27 lat, średni wiek = 30 lat

Odp. Skośność wieku w pierwszej firmie jest mała, lewostronna (W_s = -0,08). W drugiej firmie skośność jest większa niż w pierwszej - wyraźna i różni się również kierunkiem od pierwszej - prawostronna (W_s = 0,4).

Należało wykorzystać mieszany W_s.

4. zbadać skośność czasu oczekiwania na odprawę celną wykorzystując miarę pozycyjną:

Xi	ni
2 3 4 5 6	2 5 3 2 2
Razem	14

odp. W_s = 0,5 skośność wyraźna, prawostronna [Q₁ = 3 h, Q₂ = 3,5 h, Q₃ = 5 h]

5. Zbadać kurtozę rozkładu stażu pracy w pewnej firmie:

Xi0 - Xi1	ni
3-5 5-7 7-9 9-11 11-13	3 4 16 9 8
Razem	40

odp.M₄(t) = 2,52 [M₄(X) = 66,86 lat⁴, S⁴ = 26,52 lat⁴]- koncentracja jest mniejsza od koncentracji rozkładu normalnego tzn., że rozkład jest spłaszczony tzw. platykurtyczny.

Przykład wykorzystania poznanych parametrów statystycznych do porównania dwóch zbiorowości:

Na podstawie wyników reprezentacyjnego badania aktywności ekonomicznej ludności w listopadzie 1992 r. GUS oszacował liczbę kobiet pracujących oraz kobiet bezrobotnych (w tys.) w Polsce według grup wieku (w latach):

oszacował liczbę kobiet pracujących oraz kobiet bezrobotnych (w tys.) w Polsce według grup wieku (w latach):

wiek w latach Xi0 - Xi1	kobiety pracujące (w tys.) ni	kobiety bezrobotne (w tys.) ni
15-25 25-35 35-45 45-55 55-65	726 1718 2338 1246 798	327 385 333 136 40
Razem	6826	1221

Należy dokonać analizy porównawczej dwóch zbiorowości - kobiet pracujących i bezrobotnych.

Wskazówka: w przypadku dużych wartości cechy lub dużych liczebności wygodniej jest zamienić szereg liczebności (n_i) w szereg częstości (f_i) lub udziałów procentowych (f_i%)

Odp. Wyniki obliczeń i analiza:

kobiety pracujące	kobiety bezrobotne
(średnia) x = 39,52 lat D = 38,62 lat Me = 39,14 lat S^2 = 132,51 lat^2 S = 11,51 lat V(S) = 0,29 M3(X) = 205,72 lat^3 M3(t) = 0,14 M4(X) = 40281,67 lat^4 M4(t) = 2,29	x = 33,1 lat D = 30,27 lat Me = 32,4 lat S^2 = 115,41 lat^2 S = 10,74 lat V(S) = 0,33 M3(X) = 587,13 lat^3 M3(t) = 0,47 M4(X) = 33277,72 lat^4 M4(t) = 2,5

1. Porównując udziały procentowe w szeregach można stwierdzić wyraźne różnice w strukturze wieku obu porównywanych zbiorowości kobiet. Wśród kobiet pracujących dominują osoby w wieku 35 -45 lat, natomiast wśród bezrobotnych najwięcej jest kobiet w wieku 25 - 35 lat. W najmłodszej grupie wiekowej odsetek kobiet bezrobotnych jest ok. 2,5 raza większy od odsetka kobiet pracujących. Z kolei w grupie najstarszej sytuacja jest odwrotna. Z szeregów wynika, że bezrobocie dotyczy przede wszystkim kobiet młodszych,

2. Porównując parametry rozkładów można stwierdzić, że:

• średni wiek kobiet pracujących jest o ok. 6 lat wyższy od średniego wieku kobiet bezrobotnych. Również pozostałe średnie są odpowiednio wyższe - mediana o ok. 7 lat, a dominanta o ponad 8 lat,

• zróżnicowanie wieku jest w obu zbiorowościach małe - współczynnik zmienności jest nieco wyższy u kobiet bezrobotnych, gdzie odchylenie standardowe stanowi 33% średniej arytmetycznej,

• skośność rozkładu wieku kobiet pracujących jest mała (najwięcej jest kobiet w wieku około 40 lat,a roczniki młodsze i starsze są w przybliżeniu jednakowo liczne), prawostronna, natomiast rozkład wieku kobiet bezrobotnych charakteryzuje się również skośnością prawostronną, ale jest to skośność wyraźna (występuje wyraźna przewaga kobiet młodszych - w wieku niższym niż 33,1 lat),

• oba rozkłady są spłaszczone, przy czym rozkład wieku kobiet pracujących jest nieco bardziej spłaszczony (w typowym obszarze zmienności wieku w obu zbiorowościach znajduje się mniej niż ok.68% kobiet).

Przykładowe zestawy na kolokwium

ZESTAW 1

1. Ceny akcji firmy “X” (w zł) kształtowały się na kolejnych 35 sesjach giełdowych następująco:

xi	fi
10 11 12 13	0,3 0,4 0,2 0,1
Razem	1,0

wiedząc, że dla akcji “firmy Y” otrzymano następujące wyniki:

xio - xi1	ni
10 - 20 20 - 35 35 - 40 40 i więcej	5 10 15 5
Razem	35

1. [1,5 pkt.] porównać zmienność rozkładów cen akcji obu firm,

2. [1,5 pkt] porównać skośność rozkładów cen akcji obu firm,

3. [1,5 pkt.] zbadać kurtozę rozkładu cen akcji firmy “X” oraz firmy “Y”.

2. Wynagrodzenia netto 10 pracowników wrocławskiego oddziału pewnej firmy w miesiącu czerwcu 2001 r. były następujące: 8 pracowników otrzymało 1200 zł, księgowa 2400 zł, kierownik oddziału 7000 zł

1. [0,9 pkt.] obliczyć wartości poznanych parametrów położenia,

2. [0,6 pkt.]określić który z parametrów najlepiej opisuje średni poziom wynagrodzeń w czerwcu 2001 r.; odpowiedź uzasadnić.

3. [1 pkt.] Wykorzystanie momentów statystycznych w statystyce opisowej.

ZESTAW 2

1. [5 pkt] Struktura zarejestrowanych bezrobotnych w Polsce według płci i wieku w 1998 r. (stan w dniu 31 XII) przedstawia się następująco:

wiek	kobiety - fi%	mężczyźni - fi%
25-35 35-45 45-55 55-65	35 30 25 10	30 30 25 15
Razem	100	100

Wykorzystując wybrane miary klasyczne dokonać wszechstronnej analizy porównawczej rozkładów wieku kobiet i mężczyzn.

2. W jakim wieku jest najwięcej bezrobotnych:

1. [0,5 pkt.] kobiet,

2. [0,5 pkt.] mężczyzn?

3 [1 pkt.] Wartość środkowa - definicja, zastosowanie, przykład wyznaczania dla szeregu szczegółowego.

ZESTAW 3

Zad. 1. 24 pracowników pewnej firmy zbadano ze względu na staż pracy (w latach) oraz wydajność pracy w miesiącu marcu 2001 (w sztukach na godzinę). Informacje o stażu pracy przedstawiono w szeregu rozdzielczym.

xio - xi1	fi
1-3 3-5 5-7 7-9	0,2 0,3 0,3 0,2
Razem	1,0

Wiedząc, że: a) 25% pracowników ma wydajność nie wyższą niż 2,5 sz/h, b) 25% nie niższą niż 5,5 sz/h, c) kwartyl trzeci różni się od mediany o 1 sz/h, d) moment drugi centralny = 4 sz/h², e) M₃ (X) = 7 sz/h³,

f) M₄(X)=25 sz/h⁴ g) K = 0,4,

porównać w rozkładach obu cech:

• [1,5 kt] zróżnicowanie,

• [1,5 pkt] skośność (miarą pozycyjną)

• [1,5 pkt] skupienie wartości wokół średniej arytmetycznej.

Zad. 2. [1,5 pkt] Poniżej podane są dwa skumulowane szeregi rozdzielcze. Obliczyć przeciętną wartość cechy dla każdego z szeregów, dobierając odpowiedni parametr położenia. Uzasadnić wybór miary dla każdego szeregu.

Xi	cum ni		Yi	cum ni
mniej niż 5 5-10 10-15 15-20 20 i więcej Razem	1 26 66 106 110 *		mniej niż 5 5-10 10-15 15-20 20 i więcej Razem	8 18 58 70 80 *

Zad. 3. [1 pkt] Zwykłe momenty statystyczne - charakterystyka i wykorzystanie.

ZESTAW 4

Zad. 1. 24 pracowników pewnej firmy zbadano ze względu na wysokość ostatniej premii (w zł) oraz wydajność pracy w miesiącu marcu 2001 (w sztukach na godzinę). Otrzymano następujące wyniki:

wydajność	ni		premia	fi%
2-4 4-6 6-8 8-10	4 8 10 2		200 300 400 500	20 30 30 20

Na podstawie powyższych szeregów porównać w rozkładach obu cech:

• [1,5 kt] zróżnicowanie (miarą klasyczną),

• [1,5 pkt] skośność (wszystkimi miarami oprócz pozycyjnej)

• [1,5 pkt] kurtozę.

Zad. 2. Poniższa tabela przedstawia zużycie wody w gospodarstwach domowych (w m³/ osobę) w 1993 r. w miastach Polskich liczących ponad 300 tys. mieszkańców:

Miasto Warszawa Bydgoszcz Gdańsk Katowice Kraków Lublin Łódź Poznań Szczecin Wrocław

zużycie wody 60 55 55 55 55 50 50 50 48 48

Źródło: dane umowne

1. [0,9 pkt] zbudować szereg rozdzielczy liczebności na podstawie powyższych danych (uwzględnić wszystkie elementy szeregu),

2. [0,6 pkt] określić środkowe i najczęstsze zużycie wody.

Zad. 3. [1 pkt] Własności (wady i zalety) kwartyla drugiego.

2008-09-27 Statystyka Opisowa Wykład II

1

---